李建鑫 ，陳 鴻 ，王晉祺

(1.中北大學(xué) 儀器與電子學(xué)院，山西 太原 030051；2.上海無(wú)線電設(shè)備研究所，上海 201109)

0 引言

近年來，基于機(jī)器視覺的眼鏡鏡片輪廓提取系統(tǒng)因?yàn)槠鋬?yōu)良的效率與成本而被市場(chǎng)快速推廣[1]。然而在利用機(jī)器視覺提取鏡片輪廓過程中，會(huì)有難以避免的環(huán)境干擾光造成誤差，嚴(yán)重影響提取的鏡片輪廓數(shù)據(jù)的光順與精度。

B 樣條曲線擬合的定義一般是指：給定一組已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)，要求尋找一條B 樣條曲線逼近或通過這些數(shù)據(jù)點(diǎn)[2]。對(duì)B 樣條曲線擬合問題的研究在高精加工領(lǐng)域有著非常重要的地位，有諸多學(xué)者取得了大量卓有成效的成果[3-4]。目前最小二乘法使用最普遍的B 樣條曲線擬合方法，目標(biāo)是極小化各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與所擬合的B 樣條曲線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離平方和[2]。然而由環(huán)境干擾光造成的誤差總是集中分布，且偏差的方向總是向內(nèi)，不適合使用最小二乘法進(jìn)行擬合。

本文針對(duì)環(huán)境干擾光造成的鏡片輪廓上的誤差進(jìn)行了特征分析，并結(jié)合鏡片輪廓為凸曲線的特征，給出了專門適用的基于三次B 樣條曲線擬合的方法：首先依據(jù)一定的特征剔除受環(huán)境干擾光影響產(chǎn)生誤差的輪廓段；然后使用基于三次B 樣條曲線的保形插值算法對(duì)被剔除的輪廓部分進(jìn)行插補(bǔ)。最后通過實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了對(duì)該算法提高數(shù)據(jù)精度效果的量化分析，驗(yàn)證了該算法對(duì)環(huán)境干擾光造成的誤差有著顯著的修復(fù)效果。

1 環(huán)境干擾光造成的誤差特征分析

基于機(jī)器視覺的眼鏡鏡片輪廓提取系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為圖1 所示的投影模型，A 面是一個(gè)平行光源，B 是待提取輪廓的物體，C 面是感光器件。當(dāng)平行光由A 面射向C 面時(shí)，待提取輪廓的物體B 對(duì)平行光進(jìn)行遮擋，在C面產(chǎn)生待提取物體的投影B′，由感光器件C 對(duì)投影B′進(jìn)行測(cè)量以提取輪廓[5]。然而環(huán)境中存在不可避免的干擾光，如在圖1 中由D 點(diǎn)發(fā)出的光，會(huì)在B 的投影的輪廓上生成一個(gè)光斑D′。

圖1 輪廓提取系統(tǒng)模型圖

系統(tǒng)提取到的輪廓由有序的離散坐標(biāo)點(diǎn)組成，現(xiàn)實(shí)中的眼鏡鏡片輪廓線為凸曲線，因此理想中提取到的輪廓應(yīng)為由n 個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的凸n 邊形。圖2 所示為利用機(jī)器視覺提取的眼鏡鏡片輪廓圖，在輪廓上取一個(gè)區(qū)域I，圖3 為圖2 中此區(qū)域的放大圖。

圖2 眼鏡鏡片輪廓圖

圖3 I 區(qū)域局部放大圖

在圖3 中可以明顯觀察出提取到的輪廓上有許多凹陷的部分，這正是因?yàn)槿鐖D1 中的光斑D′的影響。將輪廓上凹陷的頂點(diǎn)稱為輪廓的凹點(diǎn)，并把凹點(diǎn)作為環(huán)境干擾光所造成的誤差的特征體現(xiàn)。

2 凹點(diǎn)的定義與檢測(cè)方法

根據(jù)上述在幾何上這樣定義眼鏡鏡片輪廓上的凹點(diǎn)：在眼鏡鏡片的多邊形輪廓上取一個(gè)頂點(diǎn)B，在頂點(diǎn)B的順時(shí)針方向取任意的頂點(diǎn)A、在頂點(diǎn)B 的逆時(shí)針方向取任意的頂點(diǎn)C，當(dāng)滿足時(shí)，如果存在這樣的頂點(diǎn)A、頂點(diǎn)C，使在的順時(shí)針方向，則頂點(diǎn)B 為此多邊形輪廓的凹點(diǎn)。

對(duì)凹點(diǎn)的檢測(cè)程序流程圖如圖4 所示。

遍歷輪廓上所有頂點(diǎn)后，找到輪廓上的所有凹點(diǎn)。這些凹點(diǎn)不僅本身就是誤差，而且在后續(xù)的磨削加工中，這些凹點(diǎn)還會(huì)造成對(duì)其他頂點(diǎn)的過切，進(jìn)一步惡化眼鏡鏡片輪廓的精度。因此本文采用首先剔除輪廓上檢測(cè)出來的所有凹點(diǎn)，然后再對(duì)剔除凹點(diǎn)的部分進(jìn)行插補(bǔ)的方案。剔除所有凹點(diǎn)后的輪廓頂點(diǎn)圖如圖5 所示。

3 基于B 樣條曲線的保形插值方法

3.1 B 樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式

一條k 次B 樣條曲線可以用一條分段的有理多項(xiàng)式矢函數(shù)來表達(dá)[6-7]，其表達(dá)的公式為：

圖4 凹點(diǎn)檢測(cè)流程圖

圖5 剔除凹點(diǎn)后的輪廓圖

式中，di(i=0，1，2，…，n)為構(gòu)造B 樣條曲線的n+1 個(gè)控制頂點(diǎn)；Bi，k(u) 表示的是k 次規(guī)范的B 樣條基函數(shù)，由節(jié)點(diǎn)矢量u=[u0，u1，u2，…，ui+k+1]根據(jù)de Boor-Cox 遞推公式定義：

3.2 B 樣條曲線的保形插值方法

眾所周知B 樣條曲線不具有插值性，待B 樣條曲線插值通過的點(diǎn)被稱為型值點(diǎn)，構(gòu)造插值B 樣條曲線需要先用型值點(diǎn)求出控制點(diǎn)，然后再用控制點(diǎn)生成B 樣條曲線[8]。

常用的求控制點(diǎn)的方法有反算法[9]和迭代算法[10]。然而這兩種算法運(yùn)算量較大，并且用這兩種算法求出的控制點(diǎn)所構(gòu)造的B 樣條曲線無(wú)法保證具有和型值點(diǎn)多邊形相同的凹凸性。目前有針對(duì)基于權(quán)因子的NURBS保形插值曲線的研究[11]，然而權(quán)因子的確定較為復(fù)雜，運(yùn)算量較大。綜合考慮該算法的使用場(chǎng)景，本文采用株洲工學(xué)院方逵教授提出的保形B 樣條插值算法[12]并針對(duì)適用場(chǎng)景進(jìn)行了改進(jìn)。

定理1：如果相鄰的3 個(gè)控制點(diǎn)dk、dk+1、dk+2共線，且dk+1=(dk+dk+2)/2，則三次均勻B 樣條曲線插值控制點(diǎn)dk+1[12-13]。

根據(jù)定理1，按如下過程求得控制點(diǎn)：設(shè)需要插值的型值點(diǎn)為Vi(i=0，1，2，…，n)，型值點(diǎn)構(gòu)成的多邊形輪廓為(V0，V1，V2，…，Vn)，如圖6 所示。

圖6 型值點(diǎn)多邊形

定義三次B 樣條插值曲線P(u)的端點(diǎn)切矢量為給定值T0、Tn。在內(nèi)部型值點(diǎn)Vi處的切矢量Ti為：

則三次B 樣條插值曲線的控制點(diǎn)定義為：

其中，λi是可調(diào)節(jié)參數(shù)。根據(jù)定理1，以di(i=0，1，2，…，3n)為控制頂點(diǎn)的準(zhǔn)均勻三次B 樣條曲線插值所有的型值點(diǎn)Vi(i=0，1，2，…，n)。

已知眼鏡鏡片輪廓線是凸曲線，因此需要保證生成的插值三次B 樣條曲線也是凸的，根據(jù)B 樣條曲線的保凸的特性，當(dāng)控制多邊形(d0，d1，d2，…，d3n)為凸多邊形時(shí)，即可保證由此控制多邊形生成的B 樣條曲線為凸曲線。本文給出要使控制多邊形(d0，d1，d2，…，d3n)為凸多邊形對(duì)λi的要求。

如圖7 所示，由型值點(diǎn)Vi-2、Vi-1構(gòu)造矢量由型值點(diǎn)Vi+1、Vi+2構(gòu)造矢量。型值點(diǎn)Vi的切矢Ti所在的直線與所在的直線交于點(diǎn)Ri0，型值點(diǎn)Vi的切矢Ti所在的直線與所在的直線交于點(diǎn)Ri1。其中i=1 時(shí)將端點(diǎn)V0處的切矢量T0作為；i=n-1 時(shí)將端點(diǎn)Vn處的切矢量Tn作為不存在點(diǎn)Ri0；i=n 不存在點(diǎn)Ri1。

圖7 保形條件說明

為了使插值曲線保凸，即以di(i=0，1，2，…，3n)為頂點(diǎn)的控制多邊形(d0，d1，d2，…，d3n)為凸多邊形，λi需要滿足條件：

下面給出保凸插值的程序框圖，如圖8 所示。

圖8 保形插值的程序框圖

3.3 眼鏡鏡片輪廓的保形插值

雖然圖5 所示輪廓的頂點(diǎn)中已經(jīng)不存在凹點(diǎn)，但是相鄰頂點(diǎn)之間的間隔很不均勻，有的間隔過大，嚴(yán)重?fù)p失精度，且無(wú)法進(jìn)行后續(xù)的磨削加工。為此，本文基于上述的B 樣條曲線對(duì)去除凹點(diǎn)后的輪廓部分進(jìn)行插補(bǔ)處理。

圖5 顯示去除凹點(diǎn)后的輪廓總是被去除大量連續(xù)的頂點(diǎn)，這是因?yàn)檩喞系陌键c(diǎn)數(shù)量比較多，且總是集中出現(xiàn)。把這樣凹點(diǎn)連續(xù)出現(xiàn)的輪廓段稱為凹點(diǎn)段。如果兩段凹點(diǎn)段之間的間隔只有一個(gè)頂點(diǎn)，就把這兩個(gè)凹點(diǎn)段作為同一段來處理。將輪廓上的局部放大圖圖3 所顯示的輪廓上的凹點(diǎn)進(jìn)標(biāo)記，結(jié)果如圖9 所示，在圖9中凹點(diǎn)段(B，…，C)、凹點(diǎn)段(C，…，D)、凹點(diǎn)段(D，…，E)作為同一凹點(diǎn)段(B，…，E)進(jìn)行處理。

圖9 凹點(diǎn)段示意圖

對(duì)凹點(diǎn)段(B，…，E)的保凸插值：將點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)D、點(diǎn)E 作為型值點(diǎn)，將作為端點(diǎn)切矢量，按照?qǐng)D8所示流程生成插值曲線。結(jié)果如圖10 所示。

圖10 凹點(diǎn)段插補(bǔ)示意圖

對(duì)圖5 中的整個(gè)輪廓去除凹點(diǎn)部分進(jìn)行保凸插值并對(duì)插值曲線進(jìn)行等步長(zhǎng)離散化，結(jié)果如圖11 所示，在輪廓上消除了所有凹陷的部分，且因?yàn)橛扇蜝 樣條曲線進(jìn)行插補(bǔ)，所以光順度較好，對(duì)環(huán)境干擾光造成的誤差有明顯的修復(fù)效果。

圖11 修復(fù)誤差后的輪廓圖

4 設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)定量分析算法的效果

現(xiàn)實(shí)中的眼鏡鏡片輪廓線通常都是比較復(fù)雜的曲線，難以得知其準(zhǔn)確的輪廓數(shù)據(jù)，不便于對(duì)本文提出的平滑處理算法提高數(shù)據(jù)精度的有效性進(jìn)行量化分析。為此本文設(shè)計(jì)了以下的實(shí)驗(yàn)：

(1)使用基于機(jī)器視覺的眼鏡鏡片輪廓提取系統(tǒng)提取標(biāo)準(zhǔn)圓形鏡片的輪廓，提取到的輪廓如圖12 所示。

(2)用本文提出的平滑處理擬合算法對(duì)環(huán)境干擾光造成的誤差進(jìn)行修復(fù)處理，效果圖如圖13 所示。

圖12 提取到的圓的輪廓圖

圖13 修復(fù)誤差后的圓的輪廓圖

(3)分別將平滑處理前和平滑處理后的輪廓數(shù)據(jù)用最小二乘法擬合圓，最小二乘法是一種最常見的數(shù)學(xué)優(yōu)化方法，通過最小化誤差的平方和找到與所提取到的輪廓數(shù)據(jù)最吻合的圓的參數(shù)方程[14]。

設(shè)最小二乘圓的參數(shù)方程為：

式中，(xc，yc)表示的是擬合出來的圓心坐標(biāo)，R 表示的是擬合出來的圓的半徑。最小化誤差的平方和建立的模型為：

式中，(xi，yi)表示的是提取的輪廓上的離散坐標(biāo)點(diǎn)。對(duì)該模型的求解屬于非線性最小二乘法問題[15]，計(jì)算復(fù)雜，運(yùn)算量較大。本文先將非線性最小二乘問題轉(zhuǎn)換為線性問題[16-17]，方法如下。令誤差項(xiàng)變?yōu)椋?/p>

為對(duì)此模型求解，參考文獻(xiàn)[16]、[17]，設(shè)中間變量：

式中，N 表示總點(diǎn)數(shù)。模型式(9)的解為：

根據(jù)式(11)，最小二乘擬合圓的圓心(xc，yc)和半徑R的估計(jì)值為：

由最小二乘法擬合圓的參數(shù)和輪廓數(shù)據(jù)(xi，yi)求得輪廓數(shù)據(jù)的最小二乘擬合過程中的均方差為：

最小二乘法擬合的圓的圓度誤差δ 為：

本文的目的是對(duì)提出的平滑處理算法的效果進(jìn)行量化分析，因此分別將平滑處理前和平滑處理后的輪廓數(shù)據(jù)用最小二乘法擬合圓的均方差與圓度誤差進(jìn)行比較。均方差與圓度誤差越小，說明輪廓數(shù)據(jù)與圓的吻合程度越高，此輪廓的精確程度要更好[18]。在不同的環(huán)境光下多次實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如表1 所示。

表1 修復(fù)誤差前后的輪廓數(shù)據(jù)擬合圓的對(duì)比

從表1 可以看出，在使用本文的平滑處理算法對(duì)輪廓數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后，最小二乘法擬合圓的均方差減少了80%～90%，圓度誤差減少了70%～80%，輪廓與標(biāo)準(zhǔn)圓的吻合程度顯著提高，輪廓數(shù)據(jù)的精度顯著增加。證明本文提出的平滑處理擬合算法對(duì)基于機(jī)器視覺的眼鏡鏡片輪廓提取系統(tǒng)有著良好的平滑去噪與誤差修復(fù)效果，大幅度提高了系統(tǒng)提取的輪廓的光順與精度。

5 結(jié)論

針對(duì)使用機(jī)器視覺提取輪廓過程中環(huán)境干擾光造成的誤差，本文通過分析誤差的特征，提出了一種全新的平滑擬合算法，并設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法可以顯著提高基于機(jī)器視覺的眼鏡鏡片輪廓提取系統(tǒng)的光順與精度，且該算法運(yùn)算高效、編程簡(jiǎn)單。該算法的應(yīng)用場(chǎng)景存在一定的限制，適用于輪廓是凸曲線的場(chǎng)景，但是對(duì)于輪廓上有較少拐點(diǎn)的情況，該算法也有一定的指導(dǎo)啟發(fā)意義，可以通過對(duì)輪廓進(jìn)行變形、分段等操作，構(gòu)造出凸曲線，以適用該算法。