陳秀君
(廣州市培英中學(xué) 廣東廣州 510000)
分類討論思想,是指在解決某一個(gè)問(wèn)題時(shí),不能夠用同一種方法進(jìn)行研究時(shí),需要制定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)將問(wèn)題切割成幾個(gè)能用不同形式去解決的小問(wèn)題,將這些小問(wèn)題一一加以解決,最后歸納概括各類解決結(jié)果,這就是分類討論思想。[1]分類討論思想貫穿于整個(gè)高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),通過(guò)分類能使大量抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題區(qū)間化、簡(jiǎn)單化。簡(jiǎn)而言之,分類討論思想即“先分后合”的一種解題策略,對(duì)學(xué)生的理性思維能力和數(shù)學(xué)理論知識(shí)要求都比較高。
分類討論思想在高中數(shù)學(xué)各階段模塊學(xué)習(xí)中的應(yīng)用非常廣泛,但很多學(xué)生對(duì)分類討論思想理解不透徹、掌握不扎實(shí),不明白為什么要分類,以誰(shuí)為對(duì)象分類,應(yīng)該怎么分類,導(dǎo)致解題思路非?;靵y漏洞百出。下面三個(gè)例題都是研究函數(shù)的單調(diào)性,是分類討論思想的一個(gè)典型應(yīng)用,是高考考查的重要知識(shí)點(diǎn)之一,它也是解決最值、極值、恒成立、不等式證明等相關(guān)函數(shù)問(wèn)題的靈魂,這類問(wèn)題對(duì)學(xué)生的各方面能力要求比較高。但解決問(wèn)題要抓住事物的本質(zhì),判斷函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)就是分析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)各子區(qū)間上的符號(hào)。三個(gè)例題有共性:導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)是由含有參數(shù)的二次函數(shù)型函數(shù)決定;也有不同之處:導(dǎo)函數(shù)中參數(shù)的位置不同。通過(guò)這三個(gè)例題的分析解答,可引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析思考,善于挖掘研究對(duì)象的特征:哪些因素確定不變,哪些因素是變化的,即清楚產(chǎn)生討論的原因。防止學(xué)生遇到參數(shù)就盲目討論的傾向。
解析:(?。?a <0 即a >0 時(shí),x2=-a 舍去
x∈(0,1)時(shí),f'(x)<0,f(x)為減函數(shù)
x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)為增函數(shù)
(ⅱ)0 <-a <1,即-1 <a <0 時(shí)
x∈(0,-a),(1,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)為增函數(shù)
x∈(-a,1),f'(x)<0,f(x)為減函數(shù)
(ⅲ)-a >1,即a <-1 時(shí)
x∈(0,1),(-a,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)為增函數(shù)
x∈(1,-a)時(shí),f'(x)<0,f(x)為減函數(shù)
(ⅳ)-a=1 即a=-1 時(shí)
x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)為增函數(shù)
解析:
第一層次分類:(針對(duì)a=0 還是a≠0 進(jìn)行討論)
x∈(0,1)時(shí),m(x)>0,則f'(x)<0,f(x)為減函數(shù)
x∈(1,+∞)時(shí),m(x)<0,則f'(x)>0,f(x)為增函數(shù)
第二層次分類:(針對(duì)a <0 還是a >0 進(jìn)行討論)
x∈(0,1)時(shí),m(x)>0,則f'(x)<0,f(x)為減函數(shù)
x∈(1,+∞)時(shí),m(x)<0,則f'(x)>0,f(x)為增函數(shù)
解析:
第一層次分類:(針對(duì)a=0 還是a≠0 進(jìn)行討論)
令f'(x)=0 得x=-1
x∈(0,+∞)時(shí),m(x)<0,則f'(x)>0,f(x)為增函數(shù)
(ⅱ)a≠0 時(shí)
第二層次分類:(針對(duì)a <0 還是a >0 進(jìn)行討論)
①a <0 時(shí),函數(shù)開(kāi)口向下
第三層次分類:(針對(duì)Δ ≤0 還是Δ >0 進(jìn)行討論)
x∈(0,+∞)時(shí),m(x)<0,則f'(x)>0,f(x)為增函數(shù)
第二層次分類:
②a >0 時(shí),函數(shù)開(kāi)口向上第三層次分類:(針對(duì)Δ ≤0 還是Δ >0 進(jìn)行討論)
后兩道題難度大,分類討論情況錯(cuò)綜復(fù)雜,變化元素多,分類層次多。像這類題掌握分類的思路基本從以下幾點(diǎn)展開(kāi):①?zèng)Q定導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的函數(shù)形如二次函數(shù)且二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)時(shí),函數(shù)是否二次函數(shù)即a=0 還是a≠0 是我們分類的第一個(gè)標(biāo)準(zhǔn);②a≠0 時(shí),二次函數(shù)若能直接因式分解求出零點(diǎn),這時(shí)函數(shù)開(kāi)口向上還是向下即a>0與a<0是我們分類的第二個(gè)標(biāo)準(zhǔn);③確定了二次函數(shù)的開(kāi)口方向,二次函數(shù)的零點(diǎn)在不在定義域的范圍之類,兩零點(diǎn)的之間的大小如何又是我們分類的第三個(gè)標(biāo)準(zhǔn);④a≠0 時(shí),二次函數(shù)不能直接因式分解,這時(shí)我們還必須針對(duì)判別式判斷函數(shù)是否有零點(diǎn)展開(kāi)討論。當(dāng)然整個(gè)過(guò)程中一定要利用數(shù)形結(jié)合的思想,直觀地借助二次函數(shù)圖像的變化來(lái)幫助我們制定分類的標(biāo)準(zhǔn),結(jié)合圖像分區(qū)間討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),從而對(duì)原函數(shù)在各區(qū)間上的單調(diào)性作出判斷。這樣一層層討論下去,讓學(xué)生體會(huì)成功帶來(lái)的精神享受,慢慢愛(ài)上數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué),有足夠的自信去學(xué)好數(shù)學(xué),面對(duì)困難能迎難而上。