石仁斌，陳曉釗

（山東科技大學(xué)公共課教學(xué)部，山東 泰安 271019）

1 引言

光在傳播過程中遇到障礙物時，能繞過障礙物的邊緣繼續(xù)前進(jìn)，這種偏離直線傳播的現(xiàn)象稱為光的衍射現(xiàn)象。荷蘭物理學(xué)家克里斯蒂安·惠更斯(Christiaan Huygens）提出次波的假設(shè)，以此來定性解釋波的傳播現(xiàn)象，并提出了惠更斯原理。法國物理學(xué)家奧古斯汀-讓·菲涅爾（Augustin-Jean Fresnel）提出了“次波相干疊加”的概念，對惠更斯原理作了補(bǔ)充，提出了惠更斯-菲涅爾原理。為了簡單形象地解釋光的衍射現(xiàn)象，菲涅爾提出了“半波帶”概念，給出了分析衍射現(xiàn)象的半波帶法，半波帶法能定量分析光的衍射。這種方法簡單明了且運(yùn)算不復(fù)雜，但是不精準(zhǔn)、存在偏差。采用惠更斯-菲涅爾原理可以精確計算光的衍射，但是計算復(fù)雜。本文利用半波帶法和惠更斯-菲涅爾原理法兩種方法分析單縫夫瑯和費(fèi)衍射，并對兩種方法進(jìn)行比較。

2 單縫夫瑯和費(fèi)衍射

依照光源、衍射縫、屏三者的相互位置，可將衍射分成兩種，一種叫做菲涅爾衍射，一種叫做夫瑯和費(fèi)衍射。圖1所示為菲涅爾衍射（光源S和顯示衍射圖樣的屏P，與衍射縫R之間的距離為有限遠(yuǎn)），圖2所示為夫瑯和費(fèi)衍射（光源S和顯示衍射圖樣的屏P，與衍射縫R之間的距離為無限遠(yuǎn)）。

圖1 菲涅爾衍射

圖2 夫瑯和費(fèi)衍射

3 用菲涅爾半波帶法分析單縫夫瑯和費(fèi)衍射

3.1 惠更斯原理

在研究波的傳播時，總可以找到同相位各點(diǎn)的位置，這些點(diǎn)的軌跡是一個等相面，稱為波面?；莞乖岢龃尾ǖ募僭O(shè)來闡述波的傳播現(xiàn)象，從而建立了惠更斯原理?；莞乖砜杀硎鰹椋航橘|(zhì)中波動傳播到的各點(diǎn)都可以看作是發(fā)射次波的波源，而在其后的任意時刻，這些次波的包絡(luò)就是新的波前。惠更斯原理可以解釋光的直線傳播、反射、折射和雙折射等現(xiàn)象，但是它不能解釋波的干涉和衍射現(xiàn)象。

3.2 惠更斯—菲涅爾原理

惠更斯原理可以解釋光通過衍射屏?xí)r為什么傳播方向會發(fā)生改變，但不能解釋為什么會出現(xiàn)衍射條紋，更不能計算出條紋的位置和光強(qiáng)的分布。

菲涅爾根據(jù)惠更斯的“次波”假設(shè)以及波的疊加原理和干涉原理，提出了“次波相干疊加”的概念，從而對惠更斯原理作了物理性的補(bǔ)充。他認(rèn)為，從同一波面上各點(diǎn)發(fā)出的次波是相干波，在傳播到空間某一點(diǎn)時，各次波進(jìn)行相干疊加的結(jié)果，決定了該處的波振幅?；莞乖磉M(jìn)一步發(fā)展得出的原理就叫做惠更斯-菲涅爾原理。

根據(jù)菲涅爾“次波相干疊加”的設(shè)想，如果已知光波在某時刻的波陣面S，如圖3所示，dS為某波陣面S上的任一面元，是發(fā)出球面次波的次波源，而空間任意點(diǎn)P的光振動，則取決于波陣面S上所有面元發(fā)出的次波在該點(diǎn)互相干涉的總效應(yīng)。利用惠更斯-菲涅爾原理，可以對P點(diǎn)的光振動進(jìn)行定量的計算，但運(yùn)算比較復(fù)雜。對于單縫夫瑯和費(fèi)衍射，根據(jù)惠更斯-菲涅爾原理，可以對任意相干點(diǎn)的光振動進(jìn)行定量計算。

圖3 次波相干疊加

3.3 用菲涅爾半波帶法分析單縫夫瑯和費(fèi)衍射

圖4 中所示，AB 為單縫的截面，其寬度為b。按照惠更斯-菲涅爾原理，波面AB 上的各點(diǎn)都是相干的次波源，次波射線與入射方向之間的夾角為θ，叫做衍射角θ。

圖4 單縫衍射條紋的位置

(1)沿入射光方向傳播的各次波射線

沿入射光方向傳播的各次波射線被透鏡會聚于焦點(diǎn)O。由于AB 是同相面，而透鏡又不會引起附加的光程差，所以它們到達(dá)點(diǎn)O時仍保持相同的相位而互相加強(qiáng)。這樣，在正對狹縫中心的O處是一條明紋的中心，這條明紋叫做中央明紋。

(2)與入射光方向成θ角的次波射線

對于某確定的衍射角θ，設(shè)BC 恰好等于入射單色光束半波長的整數(shù)倍，即

這相當(dāng)于把BC 分成k等分。作彼此相距的平行于AC 的平面，這些平面把波面AB 切割成了k個波帶。可以近似地認(rèn)為，所有波帶發(fā)出的子波的強(qiáng)度都是相等的，且相鄰兩個波帶上的對應(yīng)點(diǎn)所發(fā)出的次波，在點(diǎn)Q 處的光程差均為，所以這種波帶叫做半波帶。于是，相鄰兩半波帶的各次波將兩兩成對地在點(diǎn)Q處相互抵消，依次類推，偶數(shù)個半波帶相互干涉的總效果是使點(diǎn)Q 處呈現(xiàn)為干涉相消。所以，對于某確定的衍射角θ，若BC 恰好等于半波長的偶數(shù)倍，即單縫上波面AB 恰好能分成偶數(shù)個半波帶，則在屏上對應(yīng)處將呈現(xiàn)為暗條紋的中心。對于某確定的衍射角θ，若BC 恰好等于半波長的奇數(shù)倍，即單縫上波面AB 恰好能分成奇數(shù)個半波帶，則在屏上對應(yīng)處將呈現(xiàn)為明條紋的中心。

綜上所述，當(dāng)平行單色光垂直單縫入射時，單縫衍射明暗條紋的條件為

根據(jù)暗條紋公式，有

當(dāng)k=1 時，叫做第一級暗條紋，對應(yīng)的衍射角θ1滿足，；

當(dāng)k=2 時，叫做第二級暗條紋，對應(yīng)的衍射角θ2滿足，；

當(dāng)k=3 時，叫做第三級暗條紋，對應(yīng)的衍射角θ3滿足，；

……

根據(jù)明條紋公式，有

當(dāng)k=1 時，叫做第一級明條紋，對應(yīng)的衍射角滿足，；

當(dāng)k=2 時，叫做第二級明條紋，對應(yīng)的衍射角滿足，；

當(dāng)k=3 時，叫做第三級明條紋，對應(yīng)的衍射角滿足，。

4 用惠更斯—菲涅爾原理法分析單縫夫瑯和費(fèi)衍射

4.1 衍射圖樣的光強(qiáng)

如圖4 所示，平行光束垂直于縫的平面入射時，波面和縫平面重合。將縫分為一組平行于縫長的窄帶，從每一條這樣的窄帶發(fā)出次波的振幅正比于窄帶的寬度dx。設(shè)光波的初相位為0，b為縫的寬度，A0為整個狹縫所發(fā)出的次波在θ=0的方向上的合振幅，狹縫上單位寬度的振幅為A0dx/b，則狹縫處各窄帶所發(fā)次波的振動可用下式表示：

這些次波都可認(rèn)為是球面波，各自向前傳播。首先對衍射角θ為的所有次波進(jìn)行研究，在入射光束的平面波面AB 上各次波的相位都相等，光通過透鏡L2 后在焦平面E 上的同一點(diǎn)Q 處疊加。作平面AC 垂直于衍射方向BC，根據(jù)AC 面上各點(diǎn)的相位分布情況即可確定在Q 點(diǎn)相遇的各次波的相位關(guān)系。從平面AC 上各點(diǎn)沿衍射方向通過透鏡到達(dá)Q 點(diǎn)的光程相等，所以只要算出從平面AB 到平面AC 的各平行直線段之間的光程差就可以了。在圖4 中，MN 為衍射角θ等于的任一條光線。令A(yù)M=x，則MN=xsinθ，這就是分別從M 和A 兩點(diǎn)發(fā)出的次波沿與MN 平行方向到達(dá)平面AC 時的光程差。于是由（2）式得AC 面上N 點(diǎn)的光振動的表達(dá)式為：。

為簡化計算，上式中假設(shè)各次波到達(dá)Q 點(diǎn)時有相同的振幅（不考慮振幅與光程成反比的關(guān)系以及傾斜因子）。根據(jù)惠更斯-菲涅爾原理，將上式對整個縫寬（從x=0 到x=b）積分，可得衍射角θ為的所有次波在觀察點(diǎn)Q 疊加起來的合振幅：

令，故P 點(diǎn)的光強(qiáng)為

4.2 衍射圖樣的光強(qiáng)分布

當(dāng)光屏放置在透鏡L2 的焦平面上時，屏上出現(xiàn)衍射圖樣，光強(qiáng)的分布由(3)式?jīng)Q定。不同的衍射角θ對應(yīng)于光屏上不同的觀察點(diǎn)。首先來決定衍射圖樣中光強(qiáng)最大值和最小值的位置。即求出滿足光強(qiáng)的一階導(dǎo)數(shù)為零的那些點(diǎn)：

由此得sinu=0，u=tanu。

（1）單縫衍射光強(qiáng)中央最大值位置對應(yīng)的衍射角θ。

由sinu=0，解得滿足u0==0的那個方向，即 sinθ0=0，θ0=0。對應(yīng)光強(qiáng)中央最大值的位置，即中央明紋位置。也就是在焦點(diǎn)O 處的光強(qiáng)為：I=，為最大值。這里，各個次波相位差為零，所以振幅疊加相互加強(qiáng)。

（2）單縫衍射光強(qiáng)最小值位置對應(yīng)的衍射角θ。

由sinu=0，解得滿足uk==kπ的這些衍射方向，即sinθk=（k=±1,±2,±3,···）（最小值位置）

k=±1,sinθ1=，對應(yīng)第一級暗條紋中心位置；

k=±2,sinθ2=，對應(yīng)第二級暗條紋中心位置；

k=±3,sinθ3=，對應(yīng)第三級暗條紋中心位置；

……

（3）單縫衍射光強(qiáng)次最大位置對應(yīng)的衍射角θ。

圖5 直線y=u 和正切曲線y=tanu

在每兩個相鄰最小值之間有一最大值，這些最大值的位置可由超越方程u=tanu解得?？梢杂脠D解法求得u的值。作直線y=u和正切曲線y=tanu，如圖6 所示，它們的交點(diǎn)就是這個超越方程的解：u=0，u1=±1.43π，u2=±2.46π，u3=±3.47π，u4=±4.48π，……

由此可得：分列于中央主最大兩邊的其他最大值（稱為次最大）的位置為：

5 結(jié)束語

這里用半波帶法和惠更斯-菲涅爾原理法兩種方法解釋單縫夫瑯和費(fèi)衍射現(xiàn)象。可以看出，半波帶法簡單明了，但有誤差；惠更斯-菲涅爾原理法計算復(fù)雜，但精確。兩種方法得到的結(jié)果非常接近，都能很好地解釋單縫夫瑯和費(fèi)衍射現(xiàn)象。惠更斯-菲涅爾原理不是嚴(yán)格的理論產(chǎn)物，較大程度上是憑樸素的直覺而得到的。后來古斯塔夫·羅伯特·基爾霍夫（Gustav Robert Kirchhoff）和阿諾德·索末菲（Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld）根據(jù)一般的波動理論從理論上導(dǎo)出了與菲涅爾的公式十分接近的衍射公式。