趙 輝，劉衍舟，黃 橙，王天龍

(1.重慶郵電大學 通信與信息工程學院，重慶 400065；2.重慶郵電大學 圖像與通信信號處理實驗室，重慶 400065)

0 引 言

壓縮感知(compressed sensing，CS)[1]理論區(qū)別于傳統(tǒng)Nyquist采樣定理，可以以低采樣速率對信號同時進行采樣與壓縮，是一種更為簡潔、有效的采樣技術。CS理論由稀疏表示、觀測矩陣的設計以及重構算法3部分組成，本文著重研究重構算法。最近研究表明，基于圖像非局部自相似性(nonlocal self-similarity，NSS)的重構模型能有效地保留細節(jié)，并在圖像重構中顯示出巨大的優(yōu)勢。NSS描述了在圖像中全局定位的高層次模式(例如邊緣和紋理)的重復性，非局部低秩(nonlocal low-rank，NLR)[2]模型得益于此特性，并廣泛應用于圖像處理[2-4]。

NLR模型的核心內(nèi)容主要包括兩方面，一是低秩矩陣構造。傳統(tǒng)低秩矩陣構造利用基于歐氏距離的相似塊匹配方法，在固定窗口內(nèi)搜索固定數(shù)目的相似塊，該相似塊匹配方法適合變化比較平滑的圖像塊，并且忽略了圖像結構的多樣性以及差異性，導致重構效果不佳。另一個核心內(nèi)容為低秩矩陣恢復，低秩矩陣恢復可借助矩陣秩最優(yōu)化問題求解，而矩陣秩最優(yōu)化問題中的秩函數(shù)是非凸非連續(xù)的，為NP-hand問題，直接對NP-hand問題求解難度較大，為此尋求一種原始秩函數(shù)替代方案成為了研究的重點。

針對以上問題，本文提出了一種自適應非局部低秩的圖像壓縮感知重構算法，算法通過一種基于歐氏距離和結構相似性[5](structural similarity，SSIM)相似塊匹配方法，自適應地選擇相似塊數(shù)目和搜索窗口尺寸，并用加權Schatten p-范數(shù)[6]作為秩函數(shù)求解矩陣秩最小化問題，從而提高重構算法重構性能。

1 CS理論及NLR-CS模型

CS理論指出，在某些情況下，通過求解優(yōu)化問題，可以精確的從一組被噪聲破壞的測量數(shù)據(jù)中恢復出原始信號。設維度為N的原始信號u∈RN×1， 通過以下變換獲得原始信號u的一些M(M?N) 線性非自適應測量y=Φu+v， 其中，y是觀測向量即觀測值，Φ∈RM×N是已知的觀測矩陣，v∈RM是觀測過程中可能引入的噪聲(如加性高斯白噪聲)。觀測矩陣Φ在觀測過程中可以當作一種退化操作，所以信號重構從本質(zhì)上來說，屬于一種病態(tài)的逆問題。然而，如果原始信號在稀疏變換域上是足夠稀疏(或可壓縮)的，且觀測矩陣與稀疏矩陣高度不相關，即滿足限制等距性質(zhì)(RIP)的條件，則可以從欠采樣量中精準地重構出原始信號。為獲得對噪聲具有更為穩(wěn)定性的估計，通常需要依賴于原始信號的先驗信息，然后，可以將原始信號的估計表述為一個基于正則化的優(yōu)化問題，其中，正則項中包含了圖像的某些先驗信息。求解此問題的一般優(yōu)化模型可以表述為

(1)

Gi={ic|d(ui,uic)

(2)

式中：Gi表示樣本塊ui的所有相似塊在圖像中的位置， d(·) 表示歐氏距離，T為相似度量閾值，uic表示樣本塊ui的第c個相似塊[7]。找到ui的所有相似塊后，再將相似塊按相似度從高到低的順序依次按列展開聚合成數(shù)據(jù)矩陣Pi=[ui,1,ui,2,…,ui,c]，Pi∈Rn×m。 由于這些圖像塊間是相似的，因此ui,1,ui,2,…,ui,c各元素值基本一致，所以數(shù)據(jù)矩陣Pi具有低秩特性。實際應用中，Pi通常會受到噪聲的影響，因此可以將數(shù)據(jù)矩陣Pi建模為Pi=Li+Si， 其中Li為低秩矩陣，Si為高斯噪聲矩陣，因此，NLR-CS[2]算法模型可以表示為

(3)

(4)

式中：Pi=Riu=[Ri1u,Ri2u,…Ricu] 表示相似圖像塊組成的矩陣， rank(·) 為矩陣的秩，后一項為低秩矩陣正則項。

2 基于歐氏距離和SSIM的相似塊匹配方法

經(jīng)典的相似塊匹配方法，如式(2)所示，即歐氏距離匹配法，其相似性與歐氏距離成反比，度量依據(jù)為兩點間的灰度差，由于圖像結構復雜多變，致使該方法誤判率較高。而圖像相連像素點間灰度值其相關性較高，導致人眼不可避免的存在一些誤差，而對于圖像結構復雜的邊緣等區(qū)域，則顯得十分敏感。SSIM作為評價圖像質(zhì)量的指標，相比于PSNR、MSE、SAD等經(jīng)典圖像質(zhì)量評價指標而言，SSIM更加符合人眼視覺系統(tǒng)[7]，SSIM的數(shù)學定義可參見文獻[5]。

SSIM從不同的方面比較圖像的失真，即其相似性是通過多種影響因素進行綜合評估，其中，圖像的結構特征占主導，并且SSIM能夠有效的從圖像結構特征對兩幅圖像進行相似性判斷，因此，本文提出一種圖像相似性度量方案，即SSIM聯(lián)合歐氏距離。其主要思想是：首先，基于歐氏距離法在指定的區(qū)域內(nèi)選出樣本塊ui最相似的圖像塊2×c個(其中，c為需要的樣本塊個數(shù))構成圖像塊集Ci； 接著，獲取當前樣本塊ui與圖像塊集Ci中各圖像塊的SSIM值；然后，從圖像塊集Ci中選c個圖像塊構成圖像塊集Cui， 以SSIM值大小為選取標準；最后，將Cui中各圖像塊按列展開，以圖像塊的SSIM值大小為順序進行排列，然后構造成數(shù)據(jù)矩陣Pi。

3 自適應相似塊數(shù)目

將相似塊組聚合就可以構造成低秩矩陣，而相似塊數(shù)目或多或少均會影響低秩矩陣特性，從而影響重構效果。為此，選擇合適的相似塊數(shù)目對于重構效果至關重要，而本文基于圖像的不同結構區(qū)域，通過自適應策略選取相似塊數(shù)目。該策略主要利用圖像塊的塊結構稀疏度S(ρ)∈(0,1][8]， 根據(jù)塊結構稀疏度值的大小來判斷圖像塊所在區(qū)域的結構特征，當圖像塊位于圖像邊緣等復雜結構區(qū)域時，其值偏大；當處于圖像平滑區(qū)域時，其值較小。經(jīng)過實驗仿真分析，相似塊數(shù)目設置如下

(5)

式中：λ為經(jīng)驗值，一般可設置為0.55，kmax和kmin為所有點的塊結構稀疏度值中最大值與最小值[7]。

4 自適應搜索窗口大小

相似塊搜索方法主要分為兩種，全局搜索[8]和局部搜索[2]，前者復雜度較高且耗時；而后者則利用圖像塊與其鄰域相似性，在指定圖像區(qū)域內(nèi)進行搜索，降低較低復雜度的同時提高了搜索效率。但由于圖像結構特征導致不同位置的圖像塊與其鄰域相似性不一致，結構復雜區(qū)域其鄰域一致性較低，如邊緣等；結構簡單區(qū)域，如平滑區(qū)域，其鄰域一致性較高。為此，本文提出一種搜索窗口策略，即利用圖像自身結構特征的自適應匹配搜索窗口大小。該策略利用圖像塊結構稀疏度對圖像結構區(qū)域進行判定，結構復雜區(qū)域塊結構稀疏度值較大，結構簡單區(qū)域其稀疏度值較小，即圖像結構復雜度與塊結構稀疏度之間存在正比關系。自適應搜索窗口匹配策略表示如下

(6)

式中：Win=win×win為窗口大小。

5 低秩矩陣恢復

核范數(shù)已證明是原始秩函數(shù)的最緊凸性松弛,然而，由于核范數(shù)極小化對所有奇異值給予相同程度的處理，所以它并不是最適合替代原始秩函數(shù)的方法。為彌補核范數(shù)對原始秩函數(shù)逼近的不足，相繼提出了一系列原始秩函數(shù)的替代方案。文獻[9]提出一種全新的矩陣范數(shù)用來替換傳統(tǒng)的核范數(shù)，即截斷核范數(shù)(truncated nuclear norm，TRNN)。Zha等[10]利用奇異值的特性，對每個奇異值使用不同權重處理，提出了著名的加權核范數(shù)(weighted nuclear norm minimization，WNNM)。在TRNN基礎上，定義一種最小min(m,n)-r奇異值的p(0≤p≤1) 次冪之和的方案，即截斷Schatten p-范數(shù)[11]。接著，Zhang等[12]對每個奇異值分配不同的冪，然后給與不同權重的處理，即Schatten p-范數(shù)的方法。Xie等[6]提出了加權Schatten p-范數(shù),該范數(shù)結合了Schatten p-范數(shù)和加權核范數(shù)的優(yōu)點，取得了最好的效果。為此，本文將原始秩函數(shù)替換為加權Schatten p-范數(shù)。如下所示

(7)

式中： 0

6 重構算法模型

本文重構算法模型可以表示為

(8)

對于式(8)，可通過引入輔助變量轉換為其等價帶約束的形式，如下所示

(9)

接著，寫出式(9)的增廣拉格朗日函數(shù)形式，表示為

(10)

式中：a為拉格朗日常數(shù)，x為輔助變量，α為正常數(shù)。原始問題(8)的最優(yōu)解即為式(10)的鞍點，因此，可利用下式對式(8)涉及的問題進行迭代求解

(11)

a(t+1)=a(t)-(u(t+1)-x(t+1))

(12)

其中，t為迭代次數(shù)。最后使用ADMM方將原問題轉換成求解Li，x和u這3個子問題，具體求解過程如下

6.1 x-子問題求解

首先，固定Li和u， 由于式(13)本質(zhì)上是一個嚴格的凸二次函數(shù)的極小化問題，即

(13)

為得到式(13)的封閉解，對式(13)進行一階求導，令其導數(shù)為零，可得

(14)

6.2 Li-子問題求解

固定u和x，Li的優(yōu)化求解可以表示為

(15)

式中：Xi,s=Ri,sx。 式(15)可通過計算加權Schatten p-范數(shù)重寫如下

(16)

就奇異值特性而言，較大的奇異值往往占據(jù)著更大的權重，主要信息基本上集中在大奇異值上，即大奇異值更為重要。文獻[6]給出了加權Schatten p-范數(shù)的權重更新策略，如下所示

(17)

(18)

(19)

忽略等式(18)中的約束。式(16)可重新表示為

(20)

其中

(21)

且式中的h(Li) 函數(shù)為利普希茨(Lipschiz)連續(xù)的，對于這類函數(shù)可以利用文獻[14]中的方法進行處理，因此，可以將式(20)的解按下式進行處理

(22)

Li求解過程總結如算法1所示。

算法1：L(t)的求解

j=j+1；

Endfor

6.3 u-子問題求解

首先，固定Li和x，u的優(yōu)化問題可以表示為

(23)

該式也為一個嚴格的凸二次優(yōu)化問題，令其導數(shù)為零，可得其封閉解，具體如下

我國資源稟賦是富煤、貧油、少氣，目前已探明的常規(guī)天然氣儲量不夠豐富，人均水平更低；頁巖氣等非常規(guī)天然氣儲量雖然豐富，但目前開發(fā)程度還有限，產(chǎn)量還較低，短期內(nèi)在天然氣產(chǎn)量中占比不會太高。近年來，我國天然氣進口比重逐步提升，2016年對外依存度為 34%，2017年提高到接近38%，能源供應安全存在一定風險。此外，我國天然氣需求的季節(jié)性不平衡較高，特別是在冬季民生用氣和發(fā)電用氣之間存在矛盾，這些都是制約我國天然氣發(fā)電產(chǎn)業(yè)發(fā)展的基礎因素。

(24)

式中：I為單位矩陣。由于式(24)中包含了矩陣求逆的運算，計算復雜度較高，而圖像包含了大量數(shù)據(jù)，直接求解的話，對內(nèi)存和時間有較大的需求，因此，本文采用共軛梯度法[3]求解。

綜上所述，本文所提圖像重構算法具體過程如算法2所示。

算法2： 自適應NLR的圖像壓縮感知重構算法

輸入： 輸入原始圖像u采樣得到的CS觀測值y， 參數(shù)T，T0，K，p；

初始化：u0=ΦTy，λ，η，a；

Outerloop:fort=1∶T

(1) 將圖像劃分為重疊尺寸相同的樣本圖像塊ui；

(2) 獲取樣本圖像塊ui的塊結構稀疏度值；

(3) 由式(5)選出合適的相似塊數(shù)目；

(4) 由式(6)選出合適的搜索窗口大??；

(5) 對每個樣本圖像塊ui使用本文所提的匹配方法搜索相似塊， 然后利用圖像塊集構成矩陣低秩Pi

(6)Ift≤T0,Wi=[1,1,…,1]Τ;Endif

(7)InnerloopFork=1,2,…,K

1)通過式(14)更新x(t+1)

4) 通過式(24)更新u(t+1)；

Endfor

(8) 根據(jù)式(12)更新a；

Endfor

7 實驗結果與分析

所有仿真實驗均在MATLAB 2016a上進行的，計算機運行內(nèi)存為6 GB，Intel(R) Core(TM) i5-4590，中央處理器(CPU) 3.00 GHz，并裝載windows10 64位操作系統(tǒng)。為了客觀評價重構算法的性能，選用TVNLR[16]、NLR-CS[2]和GSR-NCR[17]作為對比算法，峰值信噪比(PSNR/dB)、SSIM和完成一次圖像重構所需要的運行時間(Time/min)作為圖像重構質(zhì)量客觀評價指標，選用Barbara、Boats、Cameraman、Lena、Monarch、Parrots這6幅結構豐富且彼此間差異較大的圖像作為仿真圖像。

7.1 參數(shù)設置

本文進行圖像CS重構時，觀測矩陣為部分傅里葉矩陣，相關參數(shù)設置為：劃分的樣本圖像塊尺寸均為6×6；每隔5個像素點選取一個樣本塊，即樣本塊間的重疊間距為5個像素點；相似塊的數(shù)目按照第3小節(jié)所提自適應策略選取，結構復雜區(qū)域的相似塊數(shù)目為20個，平滑區(qū)域的樣本相似塊數(shù)目為45個；搜索窗口以當前樣本塊為中心自適應的選擇大小，結構復雜區(qū)域搜索窗口大小可以設置為30×30尺寸，即圖像的邊緣和紋理等區(qū)域，平滑區(qū)域搜索窗口大小設置為15×15；總的迭代次數(shù)為270次。

7.2 相似塊匹配方法的影響

只改變文獻[2]中算法的相似塊匹配方法，不區(qū)分圖像結構區(qū)域，即將相似塊數(shù)目和搜索窗口大小均固定，分別為45個和20×20的尺寸。在采樣率為0.20時進行實驗仿真，將本文所提相似塊匹配方法與傳統(tǒng)匹配方法進行對比，仿真結果見表1。

表1 不同匹配方法重構圖像PSNR/dB和SSIM比較

從表1中數(shù)據(jù)可知，本文所提相似塊匹配方法均能獲得最高的PSNR和SSIM，與對比方法相比，其效果更佳。因此，有效地驗證了本文所提相似塊匹配方法有效性。

7.3 相似塊數(shù)目的影響

文獻[2]中，選取的樣本相似塊的數(shù)目為45個，并沒有考慮圖像的結構區(qū)域，本文基于圖像結構區(qū)域自適應選取相似塊數(shù)目，為使復雜結構區(qū)域樣本圖像塊聚合而成的低秩矩陣能夠獲得更強的低秩特性，因此適當減少復雜結構區(qū)域相似塊的數(shù)目，這種策略有效地保證了圖像的結構區(qū)域?；谝陨峡紤]，平滑區(qū)域相似塊數(shù)目仍固定為45個，以結構復雜的Barbara圖片為仿真圖片，采樣率為0.20時，仿真結果見表2。

表2 結構區(qū)域不同相似塊數(shù)目重構圖像PSNR/dB比較

從表2中數(shù)據(jù)可知，復雜結構區(qū)域樣本塊數(shù)目為20個時，能夠獲得最佳重構效果。因此，當樣本塊位于圖像復雜的結構區(qū)域時，其相似塊數(shù)目取20個，當樣本塊位于圖像平滑區(qū)域時，樣本塊個數(shù)仍固定為45個。

7.4 搜索窗口大小的影響

當樣本塊位于圖像的邊緣、紋理等結構復雜的區(qū)域時，其鄰域一致性較低，以當前樣本塊為中心，在指定的局部搜索區(qū)域內(nèi)匹配相似塊，為了盡可能搜索到足夠多的圖像塊，應該擴大搜索區(qū)域；當樣本塊鄰域一致性較高時，即位于圖像的平滑區(qū)域，為了減小計算的復雜度，可以適當減小搜索區(qū)域的尺寸。傳統(tǒng)搜索窗口為固定大小，且在局部區(qū)域搜索，如文獻[2]，其搜索窗口大小為20×20。為了找出合適的平滑區(qū)域搜索窗口大小，可先固定復雜結構樣本塊的搜索窗口大小，因此，選取20×20大小的局部窗口進行仿真。其仿真結果見表3。

表3 平滑區(qū)域不同大小搜索窗口重構圖像的PSNR/dB和Time/min比較

從表3中數(shù)據(jù)可知，隨著搜索窗口尺寸的改變，PSNR值的變換波動較小，基本上處于一個平穩(wěn)的狀態(tài)，即搜索窗口大小的改變對圖像重構性能影響可忽略不計。但從重構時間而已，隨著搜索窗口的增大，重構需要的時間越來越多，當搜索窗口不大于15×15時，改變搜索窗口耗時變化相對較小。因此，基于重構性能與重構時間考慮，平滑區(qū)域搜索窗口的尺寸確定為15×15。接著，固定平滑區(qū)域樣本塊搜索窗口大小后，再對復雜結構區(qū)域樣本塊搜索窗口大小進行調(diào)整，其仿真結果見表4。

表4 復雜結構區(qū)域不同大小搜索窗口重構圖像的PSNR/dB比較

從表4中可知，窗口大小為30×30時，PSNR可以取得最高值，即位于復雜結構區(qū)域的樣本圖像塊，適當增大其搜索窗口的大小有利于重構效果。為此，本文在不同的結構區(qū)域，相似塊搜索區(qū)域大小也不一樣，當樣本塊位于結構復雜的區(qū)域時，搜索窗口可固定為30×30；當樣本塊位于平滑區(qū)域時，搜索窗口尺寸可規(guī)定為15×15。

7.5 算法重構性能評估

對無噪聲的自然圖像進行CS重構，圖1為Barbara測試圖像在采樣率為0.05時，各重構算法重構圖像的主觀視覺對比圖。該采樣率下獲得的圖像信息較少，GSR-NCR算法和TV算法重構出的圖像邊緣等細節(jié)模糊較嚴重，重構效果較差，利用圖像NSS的NLR-CS重構算法，在低采樣率時，能夠較好地重構出原始圖像，但圖像的邊緣等細節(jié)仍然不能取得較好的效果，而本文所改進的重構算法，在低秩矩陣的構造中，充分利用了圖像自身結構特征，以及最優(yōu)的替代秩函數(shù)求解，取得了最佳重構效果，最接近真實圖像，視覺效果優(yōu)于另外幾種算法。從圖中局部放大區(qū)域可以看出，相對于其它幾種算法重構出來的圖像，本文改進后的算法有更好的細節(jié)保護性能。為了更客觀評價各重構算法的性能，表5分別給出了在采樣率在0.05、0.10和0.20條件下，自然圖像無噪聲重構結果的客觀評價指標對比。從表5中仿真數(shù)據(jù)可以看出，與其它幾種對比算法相比，本文提出重構算法在客觀評價指標PSNR和SSIM上，均取得了最大值，就Barbara測試圖像而言，在采樣率為0.05時，較GSR-NCR算法、TVNLR算法和NLR-CS法PSNR增益分別高達8.83 dB、5.84 dB和0.54 dB。

圖1 Barbara標準測試圖像在采樣率為0.05時各算法重構主觀視覺對比

表5 各重構算法在不同采樣率下重構圖像的PSNR/dB和SSIM比較

通過以上仿真實驗分析，有效地驗證了本文所提自適應重構算法性能的優(yōu)異性。

8 結束語

為了彌補基于NSS的非局部低秩模型在圖像重構過程中忽略圖像自身的結構特征，使得重構圖像的效果不佳的問題，本文提出了一種圖像重構算法，即自適應非局部低秩重構算法。首先，計算樣本圖像塊的塊結構稀疏度值，根據(jù)塊結構稀疏度值來判定樣本塊所屬的區(qū)域結構特征，根據(jù)不同的結構區(qū)域自適應選取合適的搜索窗口尺寸和相似塊的數(shù)目；接著，聯(lián)合SSIM和歐氏距離，提出一種更為有效的相似塊匹配方案，即先利用歐氏距離在指定窗口區(qū)域內(nèi)選出一定數(shù)目的預選相似塊集，再計算預選相似塊的SSIM值，根據(jù)SSIM值大小，選出所需要的相似塊；最后，針對低秩矩陣最優(yōu)化問題，本文引入加權Schatten p-范數(shù)作為秩函數(shù)的逼近。實驗結果表明，提出的相似塊匹配方法優(yōu)于傳統(tǒng)的相似塊方法，且改進后的算法重構性能優(yōu)于對比算法。本文中所提出的相似塊組策略不僅可以應用在低秩矩陣構造中，同樣也可以應用在組稀疏表示中相似塊組的構造。由于本文算法只利用了一種圖像先驗信息，其適應性不強，后續(xù)的研究將聯(lián)合圖像其它先驗信息構造聯(lián)合正則項約束條件，提高重構算法的適應性，實現(xiàn)更好的重構效果。