叱 鑫，董登科，常文魁，張文東

(中國(guó)飛機(jī)強(qiáng)度研究所，陜西 西安 710065)

1 引 言

飛機(jī)結(jié)構(gòu)中的廣布疲勞損傷[1](Widespread Fatigue Damage，WFD)一般表現(xiàn)為多個(gè)機(jī)構(gòu)細(xì)節(jié)處同時(shí)出現(xiàn)具有足夠尺寸和密度的裂紋，從而使結(jié)構(gòu)不再滿足其損傷容限要求。多部位損傷(Multiple Site Damage，MSD)是WFD的一種，其特征是同一結(jié)構(gòu)件中同時(shí)存在多條疲勞裂紋。隨著疲勞裂紋在循環(huán)載荷的作用下互相影響并連通，飛機(jī)將不再滿足剩余強(qiáng)度要求，從而可能產(chǎn)生災(zāi)難性的事故。

結(jié)構(gòu)的廣布疲勞損傷主要研究3個(gè)方面的問(wèn)題：裂紋萌生、裂紋擴(kuò)展以及剩余強(qiáng)度[2]。以往的研究多集中于MSD結(jié)構(gòu)的裂紋擴(kuò)展與剩余強(qiáng)度評(píng)估，有關(guān)MSD裂紋發(fā)生預(yù)測(cè)的問(wèn)題關(guān)注較少。

薛景川[3]等提出了一種基于概率統(tǒng)計(jì)理論的MSD發(fā)生概率計(jì)算方法，可以通過(guò)單一細(xì)節(jié)疲勞壽命的分布特征，估算出多細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)的MSD發(fā)生概率。Zhang[4]等根據(jù)單細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)裂紋萌生壽命的概率，給出了多細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)多條裂紋萌生概率的數(shù)值計(jì)算公式，并討論了細(xì)節(jié)數(shù)量和應(yīng)力水平對(duì)MSD發(fā)生概率的影響。王傳勝[5]等提出了一種定量計(jì)算飛機(jī)結(jié)構(gòu)發(fā)生多部位損傷可能性的方法，該方法認(rèn)為當(dāng)結(jié)構(gòu)中有2個(gè)或2個(gè)以上細(xì)節(jié)發(fā)生裂紋時(shí)，結(jié)構(gòu)發(fā)生多部位損傷，并給出了方法介紹和理論推導(dǎo)。奚蔚[6]等提出了一種廣布疲勞損傷裂紋萌生壽命概率分布的分析模型，可以由單細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)裂紋萌生壽命概率分布得到多細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)中依次出現(xiàn)的各條裂紋萌生壽命的概率分布，并結(jié)合試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。

根據(jù)疲勞應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，可以認(rèn)為結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)疲勞壽命是服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的。本文在此基礎(chǔ)上，通過(guò)材料典型元件的S-N曲線，結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)，得到廣布疲勞損傷對(duì)接結(jié)構(gòu)各細(xì)節(jié)處疲勞壽命的概率分布，并利用蒙特卡羅模擬預(yù)測(cè)了廣布疲勞損傷對(duì)接結(jié)構(gòu)孔邊出現(xiàn)MSD裂紋的先后順序。圖1所示為本文的研究?jī)?nèi)容及流程。

圖1 對(duì)接結(jié)構(gòu)MSD裂紋發(fā)生概率預(yù)測(cè)內(nèi)容與流程

2 典型元件S-N曲線試驗(yàn)

試驗(yàn)采用2524-T3鋁合金材料，試驗(yàn)件的厚度為1.6mm，共33件。試驗(yàn)件尺寸如圖2所示。

圖2 2524-T3試驗(yàn)件幾何尺寸

采用INSTRON1332疲勞試驗(yàn)機(jī)(如圖3所示)，進(jìn)行320MPa、280MPa、250MPa、220MPa、200MPa、180MPa、160MPa等7個(gè)不同應(yīng)力水平下的試驗(yàn)。每個(gè)應(yīng)力水平下，試驗(yàn)件的數(shù)量為4～5件。試驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

圖3 INSTRON1332疲勞試驗(yàn)機(jī)

表1 2524-T3試件試驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)疲勞統(tǒng)計(jì)學(xué)原理[7]，結(jié)構(gòu)的疲勞壽命服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其概率密度為：

(1)

取同一應(yīng)力水平下一組壽命的對(duì)數(shù)均值和對(duì)數(shù)方差為μ和σ，則μ即為該應(yīng)力水平下50%可靠度的疲勞壽命。根據(jù)正態(tài)分布(見(jiàn)圖4)性質(zhì)[8]：

圖4 正態(tài)分布

P{|X-μ|≤2σ}=0.9544

(2)

即95%的數(shù)值是在距離平均值兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，從而得到該應(yīng)力水平下95%可靠度的疲勞壽命μ0=μ+2σ，如表2所示。擬合得到50%可靠度和95%可靠度的2524-T3材料典型元件S-N曲線，如圖5、圖6所示。

表2 典型元件疲勞壽命的對(duì)數(shù)均值和對(duì)數(shù)方差

圖5 50%可靠度2524-T3材料典型元件S-N曲線

圖6 95%可靠度2524-T3材料典型元件S-N曲線

3 對(duì)接結(jié)構(gòu)孔邊細(xì)節(jié)處壽命概率密度

本文的研究對(duì)象為對(duì)接平板結(jié)構(gòu)，如圖7所示，板寬為250mm，上板厚為2.29mm，下板厚為1.8mm，上下板由鉚釘連接，孔徑為5mm，列間距ρ=20mm。

圖7 試驗(yàn)件幾何尺寸

由文獻(xiàn)[9]可知，單細(xì)節(jié)處裂紋疲勞壽命服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，含相似多細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)中，對(duì)于n個(gè)相互獨(dú)立的細(xì)節(jié)，每個(gè)細(xì)節(jié)所承受的應(yīng)力水平大小不同。假設(shè)結(jié)構(gòu)中各細(xì)節(jié)相互獨(dú)立，且相互之間不發(fā)生影響，則其裂紋疲勞壽命的概率密度分別為f1(x),f2(x),…,fn(x)。

確定疲勞壽命的概率密度，只需確定對(duì)數(shù)正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)，即均值μ和方差σ。其中，均值μ的確定是根據(jù)應(yīng)力嚴(yán)重系數(shù)對(duì)有限元模擬對(duì)接結(jié)構(gòu)各細(xì)節(jié)處的應(yīng)力值進(jìn)行修正，并結(jié)合50%可靠度2524-T3材料典型元件S-N曲線得到，方差σ的確定可由正態(tài)分布的性質(zhì)結(jié)合50%和95%可靠度2524-T3材料典型元件S-N曲線得出。

3.1 內(nèi)力分布計(jì)算

圖8為簡(jiǎn)單連接件的受力狀態(tài)，可以看出，當(dāng)外載傳遞到鉚釘孔附近時(shí)，傳遞方式分為釘傳載荷和旁路載荷。

圖8 簡(jiǎn)單連接件及其受力狀態(tài)

由文獻(xiàn)[10]可知，連接件內(nèi)力公式：

(3)

式中，R為釘傳載荷；P為外載；C為緊固件彈性段的柔度系數(shù)；Fsh為上板的彈性柔度系數(shù)；Fxi為下板的彈性柔度系數(shù)。

上板柔度系數(shù)：

Fsh=ρ/(WtshE)

(4)

下板柔度系數(shù)：

Fxi=ρ/(WtxiE)

(5)

單面搭接件的緊固件柔度系數(shù)：

(6)

式中，D為緊固件直徑；t1為較薄板的厚度；t2為較厚板的厚度；E為板彈性模量；Kdc為緊固件材料修正系數(shù)，對(duì)于鋁釘，Kdc=1。

代入公式求得：

C=7.3×10-5(mm/N)

(7)

計(jì)算得到釘傳載荷：

(8)

旁路載荷：

(9)

3.2 應(yīng)力嚴(yán)重系數(shù)

拉伸疲勞載荷下的應(yīng)力嚴(yán)重系數(shù)[10]計(jì)算公式：

(10)

由內(nèi)力分布計(jì)算可知，該連接件最外端一排孔為最危險(xiǎn)細(xì)節(jié)，查閱文獻(xiàn)[10]，將α=1.1(鉆孔)、β=0.75(鉚釘)、Sck·n=312.5MPa、Kjy≈1.05、PR1=4.13kN、D=5mm、t=1.8mm、θ≈1.4、Ktn≈2.4、PP1=9.37kN、W=250mm代入公式(10)，可得：

SSF≈2.0

(11)

3.3 疲勞壽命對(duì)數(shù)均值μ和方差σ的確定

利用有限元軟件Abaqus對(duì)試驗(yàn)件進(jìn)行模型建立(見(jiàn)圖9)，并進(jìn)行疲勞拉伸模擬，帶板與蒙皮之間使用梁?jiǎn)卧狹PC連接模擬鉚接連接。根據(jù)應(yīng)力云圖顯示，選取應(yīng)力較大的外端一列孔為研究對(duì)象，得到各個(gè)孔邊細(xì)節(jié)處平行于外載方向的應(yīng)力S11。根據(jù)前文中得到的應(yīng)力嚴(yán)重系數(shù)SSF≈2，對(duì)孔邊細(xì)節(jié)處應(yīng)力值進(jìn)行修正，得到修正后應(yīng)力值。

圖9 試驗(yàn)件有限元模型

(12)

將前文中得到的50%和95%可靠度的S-N曲線放在同一坐標(biāo)系中，如圖10所示。

圖10 50%和95%可靠度材料典型元件S-N曲線

95%可靠度疲勞壽命的均值為：

μ0=μ+2σ

(13)

圖11為試驗(yàn)件孔的編號(hào)。對(duì)于1號(hào)孔左細(xì)節(jié)處，取同一應(yīng)力水平在圖中作水平線，與兩條曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)差值即為2σ，從而得到裂紋疲勞壽命在該應(yīng)力水平下的對(duì)數(shù)方差σ，如圖12所示。

圖11 試驗(yàn)件孔編號(hào)

圖12 1號(hào)孔左細(xì)節(jié)處在S-N曲線上的值

表3為各細(xì)節(jié)處壽命的對(duì)數(shù)均值和對(duì)數(shù)方差，以1號(hào)孔左細(xì)節(jié)處為例，由表3中數(shù)據(jù)可得該細(xì)節(jié)處對(duì)數(shù)壽命的概率密度為：

表3 對(duì)接結(jié)構(gòu)疲勞壽命的對(duì)數(shù)均值和對(duì)數(shù)方差

(14)

4 蒙特卡羅模擬預(yù)測(cè)裂紋發(fā)生順序

蒙特卡羅[11](Monte-Carlo)法又稱隨機(jī)抽樣技巧或統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法，是以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)，利用隨機(jī)模擬和統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的方法求某些數(shù)學(xué)、物理和工程問(wèn)題近似解的數(shù)值方法，基本思想是通過(guò)隨機(jī)抽樣試驗(yàn)，得到所求問(wèn)題發(fā)生的概率。

疲勞壽命的對(duì)數(shù)破壞概率分布函數(shù)為：

(15)

在該對(duì)數(shù)正態(tài)分布中，若有：

P{X≤xa}=α

(16)

則稱xa為X的下側(cè)分位數(shù)。由正態(tài)分布性質(zhì)可得：

F(xa)=P{X≤xa}=α∈[0，1]

(17)

利用蒙特卡羅方法，在[0,1]區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取10000個(gè)點(diǎn)作為F(x)的值，其意義即為產(chǎn)生裂紋的概率P。調(diào)用MATLAB中的norminv函數(shù)：

X=norminv(P,mu,sigma)

(18)

可求得對(duì)數(shù)正態(tài)分布中10000個(gè)隨機(jī)不同F(xiàn)(x)值對(duì)應(yīng)的下側(cè)分位數(shù)，這些下側(cè)分位數(shù)即為裂紋隨機(jī)生成的10000個(gè)發(fā)生概率對(duì)應(yīng)的疲勞壽命。

MATLAB中的norminv函數(shù)如圖13所示。利用圖13中的方法對(duì)20個(gè)細(xì)節(jié)處的發(fā)生概率分別進(jìn)行10000次抽樣，得到各細(xì)節(jié)處裂紋多個(gè)發(fā)生概率對(duì)應(yīng)的壽命，對(duì)比相同概率下20個(gè)細(xì)節(jié)處的裂紋發(fā)生壽命，統(tǒng)計(jì)多個(gè)樣本中裂紋疲勞壽命最小的細(xì)節(jié)處的頻數(shù)，可估算出最先開(kāi)裂的細(xì)節(jié)處位置。

圖13 Matlab中的norminv函數(shù)

同一概率中的10000個(gè)樣本，最小疲勞壽命的數(shù)量最多的為1號(hào)孔右細(xì)節(jié)和10號(hào)孔左細(xì)節(jié)，則認(rèn)為該對(duì)接結(jié)構(gòu)最先可能發(fā)生疲勞裂紋的孔為1號(hào)和10號(hào)孔，說(shuō)明越靠近邊緣的孔產(chǎn)生疲勞裂紋的概率越大。

5 對(duì)接平板拉-拉疲勞試驗(yàn)

5.1 試驗(yàn)情況

試驗(yàn)采用平板矩形帶板連接的連接件，如圖14所示。帶板材料為2024-T3，厚度2.5mm，蒙皮材料為2524-T3，厚度1.8mm，件數(shù)12件。選擇1000kN疲勞試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行試驗(yàn)，試驗(yàn)應(yīng)力與載荷譜見(jiàn)表4。

表4 試驗(yàn)應(yīng)力與載荷譜

圖14 試驗(yàn)件示意圖

5.2 試驗(yàn)結(jié)果

按照載荷譜進(jìn)行試驗(yàn)，根據(jù)圖15中的編號(hào)記錄最先出現(xiàn)裂紋的位置，見(jiàn)表5。

圖15 試驗(yàn)件孔編號(hào)

表5 試驗(yàn)件最先出現(xiàn)裂紋的位置

取遠(yuǎn)端一列孔進(jìn)行研究，位置編號(hào)為A、B、C、D、E、F，統(tǒng)計(jì)出現(xiàn)裂紋的位置次數(shù)，見(jiàn)圖16。

圖16 出現(xiàn)裂紋的位置統(tǒng)計(jì)

由表5和圖16可以看出，兩端的孔比中間的孔更容易開(kāi)裂，預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值接近；越靠近邊緣的孔，最先開(kāi)裂的概率越大，并且開(kāi)裂概率從邊緣向中間逐漸降低。

6 結(jié) 論

本文根據(jù)疲勞統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，基于由應(yīng)力嚴(yán)重系數(shù)修正的S-N曲線及正態(tài)分布性質(zhì)，得到對(duì)接平板共線孔邊細(xì)節(jié)處裂紋疲勞壽命的概率分布，并利用蒙特卡羅模擬預(yù)測(cè)了廣布疲勞損傷對(duì)接結(jié)構(gòu)孔邊出現(xiàn)MSD裂紋的先后順序，給出了相應(yīng)的理論推導(dǎo)，得出的結(jié)論為越靠近邊緣的孔產(chǎn)生疲勞裂紋的概率越大，試驗(yàn)結(jié)果與理論預(yù)測(cè)相吻合。