山東建筑大學(xué)理學(xué)院 山東 濟(jì)南 250101

自然界中有四大相互作用力，分別是強(qiáng)相互作用力、弱相互作用力、電磁相互作用力和萬(wàn)有引力。建立一個(gè)大統(tǒng)一理論統(tǒng)一這四個(gè)相互作用力是所有物理學(xué)家畢生的追求。但是這個(gè)模型從其存在的假設(shè)開始，物理學(xué)家們至今沒(méi)有找到和建立這樣的理論。令人欣慰的是，溫伯格和薩拉姆兩位優(yōu)秀的物理學(xué)家給出了一種合理的弱電統(tǒng)一模型[1]。他們的模型可以通過(guò)組合群SU(2)×U(1)表示，用其計(jì)算所得的理論數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)中得到的數(shù)值結(jié)果高度吻合，其中包括玻色子得到質(zhì)量，光子的靜止質(zhì)量為零等[2]。群SU(2)×U(1)由描述弱相互作用的SU(2)群和描述電磁相互作用的U(1)群組合得到。該模型在現(xiàn)有的知識(shí)框架下，以及未來(lái)對(duì)于構(gòu)建大統(tǒng)一理論都具有極為重要的作用。而的上同調(diào)群可以用來(lái)描述非線性西格瑪模型中對(duì)稱保護(hù)下拓?fù)鋺B(tài)的分類，在后續(xù)的理論計(jì)算中起著尤為重要的作用[3]。

1 理論基礎(chǔ)

群的上同調(diào)理論是數(shù)學(xué)家在拓?fù)鋷缀沃幸氲耐負(fù)洳蛔兞浚涮厥獾男再|(zhì)可以使得原有的較為復(fù)雜的幾何變得更為直觀。在物理學(xué)上，上同調(diào)理論可以用來(lái)解釋各種對(duì)稱結(jié)構(gòu)，比如在電磁場(chǎng)中，電場(chǎng)可以看作一階微分形式，磁通量看作二階微分形式，當(dāng)把這兩種形式都包含在一種函數(shù)空間時(shí)，其能量空間可以通過(guò)微分算子聯(lián)系，而通過(guò)微分算子構(gòu)成的德拉姆上同調(diào)(deRhamcohomology)群正好是其電磁場(chǎng)的介質(zhì)區(qū)域的Betti數(shù)。而在拓?fù)淞孔訄?chǎng)中，上同調(diào)群的優(yōu)越性得到了更大的展現(xiàn)，由于不需要給所算空間規(guī)定度量，上同調(diào)理論可以不依賴與以往的度量空間而直接對(duì)整個(gè)拓?fù)淇臻g進(jìn)行積分運(yùn)算，因此就能使用這些空間的商空間來(lái)表示某些物理現(xiàn)象，而其中較為特殊的酉群SU(n)就可以來(lái)描述相對(duì)應(yīng)比較主流的幾種模型，例如弱相互作用的SU(2)群以及強(qiáng)相互作用的SU(3)群等。

2013年，陳謝和文小剛等人在文章《Symmetry protected topological orders and the group cohomology of their symmetry group》中給出了有關(guān)U(1)和SU(2)的上同調(diào)群的計(jì)算結(jié)果[4]。

2 公式推導(dǎo)

根據(jù)Kunneth方程，群SU(2)×U(1)的上同調(diào)可以表示為

因?yàn)?是一個(gè)域，所以式(3)中的Torsion項(xiàng)被消除。我們分別取d為0，1，2，3等整數(shù)，則根據(jù)簡(jiǎn)單的推導(dǎo)就能得到SU(2)×U(1)的上同調(diào)群為

3 結(jié)果與討論

通過(guò)上述的推導(dǎo)，我們可以看到當(dāng)d為偶數(shù)時(shí)，SU(2)×U(1)的上同調(diào)群為?；而當(dāng)d為奇數(shù)時(shí)，其上同調(diào)群為一常數(shù)?1。因此，只有當(dāng)空間維數(shù)d為偶數(shù)時(shí)，SU(2)×U(1)的上同調(diào)群才能用于描述非線性西格瑪函數(shù)中的分類問(wèn)題。我們可以看到上述推導(dǎo)過(guò)程中根據(jù)域?的特性而省略了Torsion項(xiàng)，這樣的方法在平坦空間上的映射可以省去繁瑣的推導(dǎo)項(xiàng)。但是根據(jù)物理現(xiàn)實(shí)的需要，很多所需要計(jì)算的上同調(diào)群的映射空間并不是平坦的空間或者域，所以我們需要對(duì)非域空間的映射的上同調(diào)計(jì)算進(jìn)行簡(jiǎn)化處理。我們可以注意到Torsion項(xiàng)比它之前項(xiàng)所需要的乘積階數(shù)要高一階，因此我們可以根據(jù)這一特性，使用群拓展的觀點(diǎn)將Torsion項(xiàng)看成是低維群的拓展群，從而使得其可以合理地歸入純上同調(diào)項(xiàng)。而上述類似的推導(dǎo)方法同樣適用于其他酉群的上同調(diào)運(yùn)算。

4 總結(jié)

在拓?fù)淇臻g相關(guān)的物理模型的計(jì)算中，通過(guò)群的上同調(diào)運(yùn)算，復(fù)雜的拓?fù)淠Ｐ涂梢院?jiǎn)化為不同類型的拓?fù)淙?。文章從基本的U(1)和SU(2)的上同調(diào)群著手，進(jìn)一步推導(dǎo)了SU(2)×U(1)的上同調(diào)群，而所得的結(jié)果可以用于求解高階的弱電統(tǒng)一理論。使用群上同調(diào)的方法既可以免去引入度量時(shí)帶來(lái)的不必要的結(jié)構(gòu)麻煩，也可以使得最終對(duì)于空間結(jié)構(gòu)的分類變得更加直觀了當(dāng)。