黃緒宏，許維炳，王 瑾，閆維明，陳彥江

(北京工業(yè)大學工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點試驗室，北京 100124)

顆粒阻尼器最早由沖擊減振器發(fā)展而來，用于渦輪機葉片的減振研究中[1]，然而由于單顆粒沖擊阻尼器在減振過程中會產(chǎn)生較大的噪聲及其對設計參數(shù)的敏感性限制了其在實際中的應用。多顆粒阻尼器(Multi-particle damper, M-PD)的引進改進了單顆粒沖擊阻尼器沖擊力大及魯棒性差的缺點。具有減振效果好、作用頻帶寬、成本低、布置靈活、使用壽命長等優(yōu)點，因而在航空及機械振動控制領(lǐng)域得到了廣泛的研究與應用[2-3]，其在土木工程領(lǐng)域中的應用與發(fā)展近年來也得到了關(guān)注與重視[4-6]。

Papalou 和Masri[7]用鎢粉代替?zhèn)鹘y(tǒng)的單顆粒沖擊阻尼器，以單層框架結(jié)構(gòu)作為研究對象在寬頻隨機激勵下進行振動臺試驗研究，重點分析了質(zhì)量比、容器尺寸、激勵水平等不同因素對顆粒阻尼器耗能特性的影響。Saeki[8]在水平簡諧激勵下以單自由度結(jié)構(gòu)(Single-degree of freedom, SDOF)作為研究對象，基于試驗研究及離散單元法研究了相關(guān)參數(shù)對M-PD 減振性能的影響，結(jié)果表明顆粒質(zhì)量和尺寸對顆粒阻尼器性能影響顯著。許維炳和王瑾[9-10]針對M-PD 在土木工程領(lǐng)域中的應用進行了詳細的研究，并以實際高架連續(xù)橋梁縮尺模型及三層框架縮尺模型作為研究對象，進行了地震荷載作用下減震效果分析。魯正等[6,11]基于試驗研究及離散單元法對地震荷載及風荷載作用下M-PD 減振性能進行了詳細分析，驗證了M-PD 減振效果。M-PD 試驗研究初步探索了其減振性能及機理，為M-PD 理論模型建立及工程應用提供了參考及試驗依據(jù)。

M-PD 具有復雜的非線性特性，合理有效的力學模型對于進一步認識M-PD 及實際工程應用具有重要意義。Papalou 和Masri[7]基于等效前后剩余體積及質(zhì)量相同的原則將M-PD 等效為單顆粒阻尼器，并基于試驗研究驗證了模型的合理性。許維炳[9]將調(diào)頻型顆粒阻尼器(Particle tuned mass damper, PTMD)等效為雙調(diào)諧質(zhì)量阻尼器，在試驗驗證基礎上進行了理論分析并提出了簡化設計方法。魯正等[12]參考Papalou 提出的等效原則將多顆粒等效為單顆粒，并基于接觸單元法建立了PTMD 等效力學模型，通過地震作用下結(jié)構(gòu)響應試驗驗證了等效方法的合理性，最后基于該等效方法也給出了PTMD 的簡化設計方法。王寶順等[13]在考慮滾動摩擦效應的基礎上提出了對應等效單顆粒力學模型，并進行了參數(shù)影響分析。為考慮顆粒之間相互作用對減振效果的影響，Huang 等[14]提出了等效連體顆粒質(zhì)量模型。值得注意的是：在機械領(lǐng)域顆粒阻尼器的振動以高頻振動為主，阻尼顆粒的速度很大；而土木工程結(jié)構(gòu)相比機械振動頻率低，阻尼顆粒與腔體之間的相對速度一般小于5 m/s[15]。在顆粒未發(fā)生堆積時，阻尼顆粒在運動過程中以滾動為主，且考慮顆粒之間相互作用后的顆粒在振動過程中運動狀態(tài)更加復雜。顆粒滾動可能會引起顆粒群額外的慣性屬性，甚至會因此影響M-PD 減振性能及減振機理。

對于等效單顆粒力學模型而言，由于其構(gòu)造簡單，且沖擊單顆粒阻尼器相關(guān)理論分析成果可以被應用到該模型的理論分析中，因此具有較好的推廣性。假設顆粒發(fā)生周期2 次碰撞，Masri 等[16-17]分別給出了單自由度結(jié)構(gòu)及多自由度結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)解析解，并通過求解誤差傳遞矩陣對周期運動的穩(wěn)定性進行了討論。Popplewel 等[18]在周期多次碰撞理論分析基礎上指出當發(fā)生周期2 次碰撞時減振效果最優(yōu)，并對最優(yōu)碰撞間距進行了理論推導[19]。閆維明等[20]在周期運動解析基礎上推導得到了最優(yōu)碰撞間距，并對并聯(lián)式單向單顆粒阻尼器進行了優(yōu)化設計。

鑒于此，在不考慮顆粒堆積的前提下，本文擬通過引入慣容器來考慮顆粒群滾動及其他非線性影響因素對多顆粒阻尼器減振機理的影響，建立具有慣容屬性的多顆粒阻尼器等效單顆粒力學模型。結(jié)合阻尼顆粒的運動狀態(tài)，分別進行未碰撞時及發(fā)生碰撞后MPD-SDOF 系統(tǒng)的響應分析，重點討論了慣容系數(shù)q 對未碰撞時位移放大系數(shù)及周期2 次碰撞穩(wěn)態(tài)解析解的影響，并分別基于數(shù)值仿真分析及振動臺試驗研究對理論解析的合理性進行驗證?？紤]慣容影響后的理論分析結(jié)果可為土木工程領(lǐng)域中多顆粒阻尼器減振機理分析及優(yōu)化設計提供理論基礎。

1 考慮慣容屬性的多顆粒阻尼器—單自由度結(jié)構(gòu)力學模型

多顆粒阻尼器通過運動過程中顆粒之間及顆粒與容器之間碰撞和摩擦，消耗、存儲并傳遞振動能量，藉此以達到減輕結(jié)構(gòu)振動的目的。多顆粒在運動過程中表現(xiàn)出很強的非線性特性，因此進行帶有多顆粒阻尼器結(jié)構(gòu)的精確分析是相當困難的。研究表明，在顆粒未發(fā)生堆積時，多顆粒可以等效為單顆粒從而建立多顆粒阻尼器等效力學模型[21,7]。多顆粒等效為單顆粒的原則為：1)顆粒在等效前后的質(zhì)量相等；2)顆粒在等效前后顆粒材料特性及形狀不發(fā)生變化；3)等效前后顆粒阻尼器內(nèi)空隙與腔體體積比一致。

與機械領(lǐng)域相比，土木工程領(lǐng)域結(jié)構(gòu)振動以水平振動為主，結(jié)構(gòu)振動具有低幅低頻的特性，顆粒在運動過程中以滾動為主，且多顆粒在振動過程中運動狀態(tài)更加復雜。然而目前顆粒阻尼器力學模型建立過程中，忽略了顆粒滾動對減振機理的影響。借鑒車輛工程中加速阻力的概念[22]，假設顆粒在外荷載作用下(簡諧激勵或地震動激勵)相互獨立滾動，則顆粒群對應加速阻力FJ可由下式表示：

圖 1 兩端點慣性元件—慣容Fig.1 Two-terminal inertial element—inerter

圖 2 力學模型Fig.2 Mechanical model

2 未碰撞時結(jié)構(gòu)響應分析

圖 3 考慮慣容后 隨μ及λ 變化規(guī)律Fig.3 Change rule of with μ and λ after considering q

圖 4 位移放大系數(shù)頻響曲線Fig.4 Frequency response curve of displacement amplification coefficient

3 周期2 次碰撞穩(wěn)態(tài)解析解

研究表明，簡諧激勵下當顆粒發(fā)生穩(wěn)定周期2 次碰撞時減振效果最優(yōu)[27]。Masri 等[16-17]分別給出了單自由度結(jié)構(gòu)及多自由度結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)解析解，并通過數(shù)值仿真試驗驗證了解析解的準確性。與沖擊阻尼器相比，考慮顆粒群慣容屬性后穩(wěn)態(tài)周期2 次碰撞的穩(wěn)態(tài)解析解發(fā)生改變。為了從理論解析的角度上評價顆粒阻尼器減振機理及能量變化規(guī)律，本文將顆粒與結(jié)構(gòu)的振動過程劃分為多個非碰撞過程及碰撞過程分別建立運動微分方程，以此得到周期2 次碰撞穩(wěn)態(tài)解析解。

3.1 MPD-SDOF 運動微分方程

當阻尼顆粒不與結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞時，由式(3)得未碰撞時體系運動方程為：

其中：F0為對應外部激勵荷載幅值；ω 為外部荷載激勵頻率；假設顆粒發(fā)生穩(wěn)態(tài)周期運動后，某次周期運動初始時刻顆粒位于容器左側(cè)，φ 為對應初始時刻外部激勵荷載初始未知相位角，t 為穩(wěn)定后簡諧激勵作用的時間；meq為等效質(zhì)量。則對應未碰撞時MPD-SDOF 運動位移關(guān)于時間的解析表達式如下所示：

當阻尼顆粒與結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞時，由于碰撞接觸時間短且碰撞為正碰撞，可以用恢復系數(shù)e 表示碰撞前后主體結(jié)構(gòu)及阻尼顆粒的速度跳躍關(guān)系[16]。由動量交換及碰撞恢復系數(shù)定義可知碰撞前后主體結(jié)構(gòu)及阻尼顆粒的速度關(guān)系如下所示：

3.2 周期2 次碰撞穩(wěn)態(tài)解析解的邊界條件

由文獻[16]分析可知，當MPD-SDOF 發(fā)生對稱2 次碰撞穩(wěn)定周期運動后，體系運動狀態(tài)關(guān)于平衡狀態(tài)對稱，即顆粒及單自由度結(jié)構(gòu)的周期運動位移-速度相軌跡是相對平面原點對稱的一條封閉曲線，如圖5 所示。

圖 5 MPD-SDOF 位移-速度相位圖Fig.5 Phase diagram of MPD-SDOF

假設圖5 為MPD-SDOF 開始穩(wěn)態(tài)運動的一個完整運動周期。A—B 段表示第一次碰撞過程主體結(jié)構(gòu)及阻尼顆粒的運動狀態(tài)，B—C 段表示第一次碰撞后非碰撞階段主體結(jié)構(gòu)及阻尼顆粒運動狀態(tài)，C—D 段表示第二次碰撞過程主體結(jié)構(gòu)及阻尼顆粒的運動狀態(tài)，D—A 段表示第二次碰撞后非碰撞階段主體結(jié)構(gòu)及阻尼顆粒運動狀態(tài)。其中，A 點表示第一次碰撞前的時刻(t=0-)，B 點表示第一次碰撞后的時刻(t=0+)，C 點表示第二次碰撞前的時刻(t=(π/ω)-)，D 點 表 示 第 二 次 碰 撞 后 的 時 刻(t=(π/ω)+)。則對應MPD-SDOF 穩(wěn)態(tài)運動邊界條件如下所示。

1) 第一次碰撞對應體系運動狀態(tài)邊界條件為：

2) 第二次碰撞對應體系運動狀態(tài)邊界條件為：

3.3 周期2 次碰撞穩(wěn)態(tài)解析解求解

1) 由第一次碰撞狀態(tài)邊界條件式(12)及碰撞前后主體結(jié)構(gòu)及阻尼顆粒速度關(guān)系式(11)可得：

由式(10)得運動過程中顆粒運動速度為：

由式(16)及B—C 段顆粒速度邊界條件得：

聯(lián)立式(14)、式(15)、式(17)、式(18)可得單自由度結(jié)構(gòu)及顆粒速度邊界條件關(guān)于待定參數(shù)C1的解：

式中，δa、δb、δc、δd是關(guān)于e、m2、q、μ的常數(shù)。

2) 由半個運動周期內(nèi)顆粒運動位移為2x0-d 得：

將式(10)代入式(23)得：

式中，S1、S2、S3為常數(shù)，由式(29)解得：

方程存在解的條件為：

3.4 穩(wěn)態(tài)解存在的碰撞間距d 取值范圍討論

圖 6 MPD-SDOF 運動狀態(tài)Fig.6 Motion state of MPD-SDOF

式(31)給出了碰撞間距取值上限值的理論解。周期運動穩(wěn)態(tài)解在推導過程中通過運動周期的端點運動狀態(tài)即t=0、t=π/ω 狀態(tài)最終求解單次碰撞穩(wěn)態(tài)解析解，但是當碰撞間距較小時，顆粒在(0, π/ω)時間段內(nèi)可能與結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞，這也就限制了碰撞間距取值的最小值。在相鄰兩次碰撞之間，阻尼顆粒與結(jié)構(gòu)之間的間距應滿足：

式中，B1、B2、C1、C2皆為碰撞間距d 的參數(shù)，由于式(34)的極值點較難求得理論解，本文基于二分法求得對應最小碰撞間距，其他參數(shù)與3.3 節(jié)的相關(guān)參數(shù)取值相同，圖7 給出了碰撞區(qū)間d 隨慣容系數(shù)q、頻率比ω/ωn及碰撞恢復系數(shù)e 的變化曲線。圖中dmax為式(31)所對應的最大碰撞間距；dmin為穩(wěn)態(tài)解析解存在的最小碰撞間距取值。

由圖7 可知：

1)碰撞恢復系數(shù)e 越小，顆粒群與結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞時耗能越大。碰撞后的顆粒能量較小會導致顆粒群無法在較大的碰撞間距d 取值下仍然保持周期運動，因此隨著碰撞恢復系數(shù)e 的減小，周期運動碰撞間距dmax取值逐漸變小。除此之外，當激勵頻率ω 遠離結(jié)構(gòu)自身頻率ωn時，碰撞恢復系數(shù)對dmax影響較大；相比之下，當ω/ωn=1 時，dmax受碰撞恢復系數(shù)e 影響較小。這主要是由于結(jié)構(gòu)自身運動受ω/ωn影響導致的(圖4(a))。當ω 遠離結(jié)構(gòu)自身頻率ωn時，此時結(jié)構(gòu)位移較小，dmax取值較小，但是當e 較大時，仍然可以在較大的碰撞間距取值下保持周期運動；當ω/ωn=1 時，此時結(jié)構(gòu)自身位移較大，因此即使e 較小也可以在較大的碰撞間距取值下保持周期運動。

2)慣質(zhì)比λ 對周期運動碰撞間距取值影響分析表明，當ω 遠離結(jié)構(gòu)自身頻率ωn時，由于λ 不利于顆粒與結(jié)構(gòu)之間的相對運動(圖4(b))，隨著λ 的增加，dmax逐漸減小。當ω/ωn=1 時，此時dmax取值受λ 影響出現(xiàn)交叉現(xiàn)象。這是由于λ 的增加不僅減小了顆粒與容器之間的相對運動，也降低了結(jié)構(gòu)自身運動幅值(圖4(a))。在上述雙重因素影響下，當e 較小時，λ 越大導致dmax越??；相反當e 較大時，λ 越大導致dmax越大。

圖 7 周期運動碰撞間距取值區(qū)間探討Fig.7 Value interval of d for periodic motion

3.5 解析解的穩(wěn)定性討論

對于非光滑動力系統(tǒng)而言，周期運動解的穩(wěn)定性分析對于進一步認識周期運動特性具有重要意義。文獻[16]在求解單顆粒碰撞周期運動穩(wěn)態(tài)解析解的基礎上，通過求解誤差傳遞矩陣P 討論了周期解的穩(wěn)定性。對于一個2 自由度體系，假設體系運動微分方程為：

式中，Z1, Z2, Z3, Z4為必要的狀態(tài)分量，運動微分方程一個特解可表示為：

假設該特解受到外部擾動而存在一定的誤差，則考慮誤差項后為：

對應周期解漸進穩(wěn)定的充分必要條件為：

假設在結(jié)構(gòu)體系周期運動的某次碰撞后引入誤差，則對應n 次碰撞后誤差項可以表示為：

3.5.1 考慮慣容的MPD-SDOF 周期解的誤差傳遞矩陣P 理論推導

表 1 擾動前后狀態(tài)對比Table 1 State comparison before and after disturbance

已知當顆粒不與結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞時，結(jié)構(gòu)體系位移如式(10)所示，對應體系速度為：

其中：

B1(0+Δt0)及B2(0+Δt0)一階近似值如下所示：

其中：

誤差傳遞矩陣P 是與體系自身參數(shù)及周期運動碰撞邊界條件相關(guān)的矩陣，當誤差傳遞矩陣P 的特征值的模滿足式(40)時，對應穩(wěn)態(tài)周期碰撞運動穩(wěn)定。

3.5.2 穩(wěn)態(tài)周期碰撞運動穩(wěn)定性理論推導數(shù)值驗證

選取3.3 節(jié)對應MPD-SDOF 體系作為研究對象，以對應對稱周期2 次碰撞條件作為初始條件，并基于MATLAB 自帶ode45 算法以驗證周期運動某次碰撞后擾動對體系運動穩(wěn)定性的影響。模擬過程中當顆粒不與結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞時，體系運動方程參考式(9)；當顆粒與結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞時，認為碰撞瞬時完成，參考式(11)。由于算法自身誤差缺陷，周期解穩(wěn)定性分析過程中不再引入誤差量。將體系參數(shù)及周期運動碰撞邊界條件分別代入式(82)并求解P 的特征值，理論公式計算結(jié)果表明，當τ=τ1時，對應周期運動不穩(wěn)定；當τ=τ2時穩(wěn)定。對應碰撞后[0，20π/ω]時間段內(nèi)的MATLAB數(shù)值模擬如圖8 所示。

圖 8 周期運動數(shù)值模擬Fig.8 Numerical simulation

由圖像可知，當τ=τ1時，由于算法自身缺陷，周期運動并不穩(wěn)定；當τ=τ2時，即使存在擾動，周期運動也較為穩(wěn)定。本文采用的穩(wěn)定分析方法具有實際參考價值。

3.5.3 慣容系數(shù)q 對周期運動穩(wěn)定性分析

為進一步分析慣容系數(shù)q(q=λm2)對周期運動穩(wěn)定區(qū)間的影響，選取3.3 節(jié)對應MPD-SDOF 體系作為研究對象，進行正交參數(shù)分析，基于式(82)分析慣容系數(shù)對周期解穩(wěn)定區(qū)間的影響如圖9 所示，圖中虛線對應圖7 碰撞間距取值區(qū)間。

圖 9 周期運動穩(wěn)定區(qū)間Fig.9 Value interval of d for stable periodic motion

由圖9 可知，不同激勵下，周期運動穩(wěn)定區(qū)間明顯小于周期解存在的區(qū)間，且穩(wěn)定區(qū)間不一定連續(xù)。穩(wěn)定區(qū)間與周期解存在的最大碰撞間距dmax變化規(guī)律相近。隨著e 的增加，周期運動穩(wěn)定區(qū)間逐漸右移。當激勵頻率ω 遠離結(jié)構(gòu)自身頻率ωn時，隨著λ 的增加穩(wěn)定區(qū)間向左偏移；當ω/ωn=1 時，隨著λ 的增加穩(wěn)定區(qū)間斜率逐漸增加。需要注意的是，當ω/ωn=1 時，隨著e 的增加(e>0.7)，碰撞間距取值區(qū)間反而有所降低。這可能是由于共振頻率激勵下，結(jié)構(gòu)位移及顆粒相對位移較大，此時e 越大，體系自身所具有的能量越大，對應周期運動越不宜穩(wěn)定。同時，求解過程提示僅存在單個初始相位角τ 使系統(tǒng)的周期運動穩(wěn)定，且該相位角對應結(jié)構(gòu)運動最大位移較小的體系。這表明運動過程中結(jié)構(gòu)體系易從能量較高的狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰枯^低的狀態(tài)。相比之下，結(jié)構(gòu)體系能量較低的周期運動穩(wěn)定性更好。

4 理論解析試驗驗證

4.1 試驗設計

為進一步驗證基于考慮慣容影響的等效單顆粒力學模型進行的非碰撞階段理論分析及周期運動解析的合理性，設計進行了簡諧激勵下單層鋼框架電磁振動臺試驗。試驗布置如圖10 所示。其中試驗模型的頂部鋼板尺寸為500 mm×500 mm×5 mm；4 根框架柱高為500 mm，橫截面尺寸為30 mm×5 mm；阻尼器腔體垂直于結(jié)構(gòu)振動方向?qū)挒?00 mm，沿振動長度方向設置滑道控制兩側(cè)碰撞板之間的距離從而控制顆粒填充率。沿振動方向的最大長度為370 mm。通過電磁振動臺臺面及結(jié)構(gòu)頂層布置的激光位移傳感器分別拾取結(jié)構(gòu)位移及實際振動臺輸入，并對應布置3 個加速度傳感器拾取加速度響應。其中鋼框架的質(zhì)量為17.96 kg，剛度為5400 N/m，結(jié)構(gòu)附加阻尼比為1.3%。試驗簡諧激勵幅值取0.02 g，選擇8 mm 鋼珠作為阻尼顆粒，附加質(zhì)量比為6%。通過調(diào)整兩側(cè)碰撞板間距依次進行30%、80%、90%、100%填充率在不同激振頻率作用下的簡諧激勵振動臺試驗，其中填充率γ 取顆粒有序正方形排列投影面積與容器底面積之比。

圖 10 試驗模型Fig.10 Test model

4.2 未碰撞時理論解析試驗驗證

為初步驗證考慮顆粒群慣容屬性的合理性及重要性，首先進行未碰撞時理論解析試驗驗證。調(diào)整碰撞板間距進行填充率γ=30%時的振動臺試驗研究(當γ=30%時，顆粒群整體幾乎不與結(jié)構(gòu)發(fā)生碰撞，此時認為結(jié)構(gòu)體系處于未碰撞階段)，拾取結(jié)構(gòu)及振動臺臺面位移響應計算均方根位移RMS 及位移均方根放大系數(shù)β 作為評價多顆粒阻尼器減振效果指標，位移均方根及放大系數(shù)計算如下：

式中：xi為第i 個時間步的位移響應；N 為時間步數(shù)；上標s 和t 分別代表結(jié)構(gòu)和振動臺臺面的位移響應。通過對比實測均方根位移放大系數(shù)頻響曲線及位移放大系數(shù)頻響曲線(式(6))確定多顆粒阻尼器慣質(zhì)比λ。對比曲線如圖11 所示。其中λ=0對應不考慮顆粒滾動對應擬合結(jié)果；λ=0.4 對應考慮顆粒滾動，但不考慮顆粒之間相互作用對應模型擬合結(jié)果；λ=0.8 對應基于試驗結(jié)果擬合得到的考慮顆粒之間相互作用對慣容影響的理論結(jié)果。

圖 11 未碰撞時等效模型試驗驗證Fig.11 Test verification in non colliding stage

由圖11 可知，當考慮顆粒之間相互作用對慣容系數(shù)q 的影響后(λ=0.8)，頻響曲線總體擬合結(jié)果最為理想，對應相關(guān)系數(shù)R2=0.96。本文提出的考慮慣容后的等效單顆粒模型能夠在一定程度上反應多顆粒阻尼器復雜非線性特性，對應理論解析是合理的。實測頻響曲線、λ=0.8 及λ=0.4 對應頻響曲線詳細對比顯示，對于多顆粒阻尼器，顆粒群在運動過程中的慣容屬性與結(jié)構(gòu)運動幅值存在一定的非線性關(guān)系。當x1/xg<15 時，實測頻響曲線偏向λ=0.8 曲線右側(cè)；而當x1/xg>15 時, 實測頻響曲線偏向λ=0.8 曲線左側(cè)。這可能是由于當結(jié)構(gòu)運動幅值較小時，顆粒之間相互作用較弱，此時顆粒運動相互獨立；而當結(jié)構(gòu)運動幅值較大時，顆粒之間相互作用增加，顆粒之間的及顆粒與結(jié)構(gòu)之間的相互作用增加了顆粒群的慣容屬性，顆粒在運動過程中可能處于多維度運動狀態(tài)。

4.3 周期2 次碰撞穩(wěn)態(tài)解析試驗驗證

為進一步驗證考慮慣容屬性后周期2 次碰撞穩(wěn)態(tài)解析的合理性，設計進行80%、90%及100%填充率下簡諧激勵振動臺試驗，其中等效模型參數(shù)取值參見文獻[7，21]，顆粒群對應碰撞恢復系數(shù)e 為0.25；80%、90%及100%填充率下碰撞間距d 分別取20.7 mm、13 mm 及6.9 mm。不考慮填充率對慣容系數(shù)的影響，取λ=0.8，并綜合考慮周期解的穩(wěn)定性，取理論解析中結(jié)構(gòu)最大位移較小的相位角作為對應理論周期運動。考慮周期穩(wěn)定運動的存在性，本文僅陳列部分結(jié)果，如圖12 所示。

由圖12 可知，周期運動發(fā)生后，試驗及模擬對應振動周期一致(T=2π/ω)，因此位移時程曲線除峰值外吻合較好。當γ=80%，ω/ωn=1.02 時，λ=0.8 對應均方根誤差為18.05%；λ=0 對應均方根位移誤差為60.24%。當γ=90%，ω/ωn=0.96 時，λ=0.8 對應均方根誤差為14.4%；λ=0 對應均方根位移誤差為23.23%。當γ=100%，ω/ωn=1.02 時，λ=0.8 對應均方根誤差為29.22%；λ=0 對應均方根位移誤差為44.94%。實測與理論解析對比分析結(jié)果顯示，考慮慣容屬性后擬合結(jié)果更加理想。本文得到的周期兩次對稱碰撞穩(wěn)態(tài)解析解是合理的。需要注意的是，當γ=100%時，由于顆粒排布較為密集，運動過程中顆粒之間的碰撞耗能小于低填充狀態(tài)下的耗能，等效模型中物理參數(shù)取值隨填充率的增加存在一定的非線性關(guān)系，因此λ=0.8 對應的周期運動解析結(jié)果的精度并不理想。多顆粒阻尼器物理參數(shù)等效原則還有待進一步研究。

圖 12 碰撞階段試驗驗證Fig.12 Test verification in collision stage

考慮慣容與否對解析結(jié)果影響分析可知，當γ=80%，ω/ωn=1.02 時，λ=0.8 與λ=0 對應擬合結(jié)果誤差差別較大，這是由于模型自身力學屬性造成的。當λ=0 時認為顆粒在相鄰兩次碰撞之間做勻速運動。當γ=80%時，對應碰撞間距d 較大，此時顆粒與結(jié)構(gòu)之間發(fā)生碰撞時的能量耗散及動量交換較為充分，對應結(jié)構(gòu)位移較小。而當λ=0.8時，由于慣容的影響，顆粒在相鄰兩次碰撞之間的動能減小，顆粒的慣容作用不利于顆粒與結(jié)構(gòu)之間的碰撞耗散及動量交換，對應結(jié)構(gòu)位移較大。除此之外，由式(9)分析可知，慣容屬性增加了主體結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量，因此結(jié)構(gòu)位移更大。以上兩個影響因素綜合導致80%填充率下模型誤差較大，且λ=0 對應結(jié)構(gòu)位移響應小于λ=0.8 對應結(jié)構(gòu)位移響應。當γ= 90%，ω/ωn=0.96 時，相比較與80%填充率，模型之間誤差有所降低。這是由于慣容系數(shù)主要影響顆粒群非碰撞階段，而90%填充對應碰撞間距較小，因此擬合結(jié)果較為接近。當γ= 100%，ω/ωn=1.02 時，同樣因為碰撞間距較小，考慮慣容與否對擬合精度存在一定的影響但不明顯。但總體而言，在不同填充率下都存在λ=0.8 對應結(jié)構(gòu)位移高于λ=0 對應結(jié)構(gòu)位移的現(xiàn)象。

此外，本文通過求解周期解析解分析了顆粒運動狀態(tài)，但周期解的存在是有條件的，并非所有頻率比下均存在周期解。另外由于實際簡諧激勵輸入并不穩(wěn)定，這往往導致振動體系較難穩(wěn)定，實測數(shù)據(jù)與理論存在一定誤差。綜合80%、90%及100%填充率下不同頻率比對應擬合結(jié)果顯示，考慮顆粒群慣容屬性后擬合結(jié)果更好。本文基于考慮慣容屬性的等效單顆粒力學模型進行的理論解析是合理的。

5 結(jié)論

本文通過引入慣容器建立了具有慣容屬性的多顆粒阻尼器等效單顆粒力學模型。結(jié)合阻尼顆粒的運動狀態(tài)，依次進行了未碰撞時及發(fā)生碰撞后MPD-SDOF 系統(tǒng)的響應分析。主要結(jié)論如下：

(1) 當顆粒未發(fā)生堆積時，為考慮顆粒群滾動對多顆粒阻尼器減振效果的影響，本文引入了慣容器并建立對應等效單顆粒力學模型。理論分析及試驗研究結(jié)果表明，顆粒群的慣容屬性對顆粒阻尼器減振效果影響顯著。考慮慣容后能夠進一步考慮多顆粒阻尼器復雜的非線性特性，對應理論解析結(jié)果更加理想。

(3) 數(shù)值算例和試驗結(jié)果表明，本文推導求解的多顆粒阻尼器對稱2 次碰撞周期運動穩(wěn)態(tài)解析解及其周期運動的穩(wěn)定性分析是有效的。慣容系數(shù)(顆粒滾動)對顆粒阻尼器周期運動及穩(wěn)定性具有一定的影響。當激勵頻率ω 遠離結(jié)構(gòu)頻率ωn時，慣質(zhì)比λ 越大，周期運動存在的碰撞區(qū)間大小逐漸減小，且穩(wěn)定周期運動區(qū)間對應碰撞間距取值逐漸減??；當ω/ωn=1 時，隨著λ 的增加dmax受碰撞恢復系數(shù)e 增加的影響逐漸增加。

本文進行的理論解析為顆粒阻尼器參數(shù)影響分析及減振機理研究提供理論支撐，可為顆粒阻尼器減震分析及設計所借鑒。需要指出的是受限于設備參數(shù)，本文并未考慮激勵幅值對顆粒慣容屬性的影響，相關(guān)研究將在后續(xù)成果中體現(xiàn)。