羅 琴，王 艷

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331）

0 引言

準(zhǔn)確分割圖像是圖像處理的一項(xiàng)重要的任務(wù)。到目前為止，圖像分割的一個(gè)主要挑戰(zhàn)是對(duì)含噪聲、灰度不均的復(fù)雜圖像進(jìn)行分割。

幾何活動(dòng)輪廓模型可分兩大類：基于邊緣的模型［1-2］和基于區(qū)域的模型［3-10］。前者通常利用圖像的梯度信息來(lái)吸引活動(dòng)輪廓接近圖像目標(biāo)邊界，進(jìn)而提取出來(lái)；后者是利用演化輪廓內(nèi)外的區(qū)域信息來(lái)控制輪廓的運(yùn)動(dòng)。其中，分片常值（Piecewise Constant，PC）模型（常被稱為C-V 模型）［11］和區(qū)域可變灰度擬合（Region-Scalable Fitting，RSF）模型［12］是最具代表性的。在實(shí)際應(yīng)用中，這兩類模型各有優(yōu)點(diǎn)和不足的地方。

將目標(biāo)和背景的灰度假設(shè)為常值的C-V 模型是基于區(qū)域的全局活動(dòng)輪廓模型，由于對(duì)全局均值的過(guò)度依賴，當(dāng)分割灰度不均圖像時(shí)，這種假設(shè)會(huì)導(dǎo)致模型在分割灰度不均圖像時(shí)出現(xiàn)演化曲線的錯(cuò)誤分割。近些年，很多研究者從不同方向?qū)-V 模型進(jìn)行拓展或改進(jìn)［13-14］，例如，Zhang 等［15］提出一個(gè)選擇性局部或全局分割（Selective Local or Global Segmentation，SLGS）模型，在C-V 模型的基礎(chǔ)上大幅提高了分割速度；但由于依賴圖像的全局信息，故對(duì)灰度不均圖像的分割效果不理想；Li 等［12］提出的基于圖像局部區(qū)域的可變灰度擬合的RSF 模型，克服了C-V 模型在灰度不均圖像分割中的不足，但從分割結(jié)果中可以看出，過(guò)度依賴圖像的局部信息使得它對(duì)初始化輪廓和噪聲較敏感。為了有效地解決RSF模型對(duì)初始輪廓敏感的問(wèn)題，劉瑞娟等［16］提出融合局部圖像信息的SLGS（SLGS with Local Information，SLGSLI）模型和張栩源等［17］提出了自適應(yīng)灰度擬合（Adaptive Intensity Fitting，AIF）模型，雖然在一定程度上降低了RSF 模型對(duì)初始輪廓的敏感性，但由于仍需要初始輪廓，所以并未從根本上解決初始輪廓敏感問(wèn)題。陳星等［18］提出了結(jié)合全局信息的局部圖像灰度 擬 合（Local Intensity Fitting Combined with Global Information，LIFCGI）模型，雖然在無(wú)初始輪廓的情形下能夠分割一些真實(shí)圖像和人造圖像，但無(wú)法分割灰度不均圖像。

為了更好地解決輪廓初始化問(wèn)題，本文在SLGS模型的啟發(fā)下，從偏微分方程的角度提出了一個(gè)新的區(qū)域活動(dòng)輪廓模型。模型在演化過(guò)程無(wú)需設(shè)定初始輪廓，因此有效地避免了輪廓初始化給分割過(guò)程帶來(lái)的諸多問(wèn)題。將局部和全局信息線性組合獲得模型最終的擬合項(xiàng)，通過(guò)調(diào)整權(quán)重參數(shù)，使得本文模型有效地分割噪聲圖像和灰度不均圖像。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 C-V模型

假設(shè)I(x)是待分割圖像，φ(x)是水平集函數(shù)。C-V 模型通過(guò)極小化下面的能量泛函來(lái)實(shí)現(xiàn)分割：

其中：Ω是圖像區(qū)域；c1和c2分別為圖像區(qū)域在演化曲線內(nèi)部和外部的灰度平均值；δ(φ(x))和H(φ(x))分別是Dirac 函數(shù)和Heaviside 函數(shù)。式（1）中前兩項(xiàng)分別擬合演化曲線內(nèi)外的全局圖像，最后一項(xiàng)為長(zhǎng)度項(xiàng)，控制演化曲線的長(zhǎng)度。

由變分法和最速下降法，導(dǎo)出控制水平集函數(shù)演化的偏微分方程：

C-V 模型假設(shè)圖像的目標(biāo)和背景的灰度均值區(qū)別較大，故在灰度不均性較弱的圖像中能取得較好的分割效果。

1.2 SLGS模型

式（2）中水平集函數(shù)演化的主要作用力為：

其中：α是大于零的常數(shù)。SLGS模型收斂迅速、耗時(shí)短和全局最優(yōu)的特點(diǎn)，但對(duì)于噪聲比較敏感，不能有效分割灰度不均圖像。

1.3 RSF模型

RSF 模型基于可變區(qū)域灰度擬合能量擬合局部圖像，具體講，它通過(guò)極小化以下能量泛函來(lái)實(shí)現(xiàn)分割：

其中：M1(φ)=H(φ)；M2(φ)=1-H(φ)；Kσ(x-y)是高斯核函數(shù)；ν為長(zhǎng)度項(xiàng)系數(shù)；f1(x)和f2(x)是點(diǎn)x小鄰域內(nèi)演化曲線內(nèi)、外的加權(quán)灰度均值，是一種與尺度參數(shù)σ有關(guān)的局部量；最后一項(xiàng)是無(wú)需重新初始化項(xiàng)。RSF 模型是通過(guò)統(tǒng)計(jì)以每個(gè)像素點(diǎn)為中心的局部區(qū)域信息來(lái)進(jìn)行灰度擬合，故該模型能夠較好地處理灰度不均圖像。然而，過(guò)度依賴局部信息也導(dǎo)致該模型對(duì)噪聲和初始化輪廓比較敏感，不同的初始輪廓可能會(huì)導(dǎo)致模型的解為局部極小值而非全局最優(yōu)，甚至是不收斂的解。

2 本文模型

2.1 模型描述

正如前文所述，每個(gè)模型都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)。C-V 模型是基于全局信息的活動(dòng)輪廓模型，對(duì)初始輪廓和噪聲不敏感，然而對(duì)全局均值的過(guò)度依賴使得該模型不能分割灰度不均圖像，而且模型的計(jì)算量較大；SLGS模型提高了分割效率，但無(wú)法分割灰度不均性較嚴(yán)重的圖像和高強(qiáng)度的噪聲圖像；RSF模型基于圖像局部區(qū)域的可變灰度來(lái)擬合圖像，能有效地分割灰度不均圖像，由于對(duì)局部信息的過(guò)度依賴，使得它對(duì)噪聲和初始輪廓較敏感。本文提出了一個(gè)新的基于區(qū)域的活動(dòng)輪廓模型來(lái)分割灰度不均圖像和噪聲圖像。該模型線性加權(quán)F1(φ，x)+F2(φ，x)，以此作為分割的擬合項(xiàng)，通過(guò)適當(dāng)選擇控制權(quán)系數(shù)ω，該模型可以有效分割灰度不均圖像和噪聲圖像。同時(shí)，由于本文模型可以在無(wú)初始輪廓下進(jìn)行分割，故可以完全避免輪廓初始化對(duì)模型分割過(guò)程的不利影響。本文模型水平集演化的偏微分方程定義為：

其中：參數(shù)ω為全局驅(qū)動(dòng)力和局部驅(qū)動(dòng)力的權(quán)重系數(shù)，其作用是控制全局力和局部力在模型中所起的作用。

參數(shù)ω的取值依賴于圖像的特征，特別地：對(duì)于灰度不均圖像，為了增大局部力，參數(shù)ω選取較小的值，如ω=0.2；對(duì)噪聲圖像，為了突出全局項(xiàng)的作用，參數(shù)ω選取較大的值，如ω=21。此外，在無(wú)初始輪廓的情況下，本文模型的水平集函數(shù)可以簡(jiǎn)單初始化為常值函數(shù)，使得本文模型的分割效率大大提升。

2.2 數(shù)值實(shí)現(xiàn)

為了計(jì)算未知函數(shù)φ的相關(guān)歐拉-拉格朗日方程，函數(shù)H和δ用一個(gè)正則化的函數(shù)Hε和δε來(lái)近似，分別定義為：

本文采用有限差分法求解微分方程（7），利用中心差分法近似計(jì)算空間域的偏導(dǎo)數(shù)，向前差分法近似計(jì)算時(shí)間域的偏導(dǎo)數(shù)。離散網(wǎng)格的空間步長(zhǎng)為h，時(shí)間步長(zhǎng)為Δt。水平集函數(shù)φ在點(diǎn)x處n時(shí)刻的值可表示為式（7）的離散形式為：

本文模型的算法實(shí)現(xiàn)步驟：

1）初始化φ(x，y，t= 0)= 0。

4）檢驗(yàn)演化曲線C在相鄰兩次迭代時(shí)的長(zhǎng)度改變量|L(C(n))-L(C(n- 1))|不超過(guò)一個(gè)給定的閾值ξ，或者迭代次數(shù)不小于預(yù)先給定的常值N，則停止迭代；如果不穩(wěn)定收斂，則重復(fù)2）～3）。

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

本文對(duì)灰度不均圖像與噪聲圖像進(jìn)行分割實(shí)驗(yàn)，并對(duì)比其他模型的結(jié)果，從以下幾個(gè)方面驗(yàn)證本文模型的有效性：

1）不受初始輪廓的影響；2）對(duì)灰度和噪聲的魯棒性；3）比較分割效率。從表1、表3 和表4 中，采用數(shù)值的平均值，可以看出本文模型比RSF 和SLGS 模型的迭代步數(shù)分別減少了約57%和31%，分割時(shí)間分別減少了約62%和14%。

數(shù)值實(shí)現(xiàn)采用有限差分法，實(shí)驗(yàn)環(huán)境如下：Matlab R2016a，Intel Corel I5-5200U 處理器，4 GB 內(nèi)存和Windows 8操作系統(tǒng)。

本文模型選取如下參數(shù)值：時(shí)間步長(zhǎng)Δt= 0.1，ε= 1，σ=3，參數(shù)μ∈[0，2]、ω∈[0，21]是兩個(gè)可調(diào)參數(shù)。當(dāng)待分割圖像的背景較為復(fù)雜時(shí)，μ和ω取較大的值；反之μ和ω取較小的值。若無(wú)特殊說(shuō)明，實(shí)驗(yàn)設(shè)置為μ= 0.1，ω= 0.2。

3.1 對(duì)初始輪廓的魯棒性

圖1 用一幅含自然噪聲圖像來(lái)驗(yàn)證本文模型對(duì)初始輪廓的魯棒性。本文模型的實(shí)驗(yàn)中μ= 2，ω= 21。從圖1 可以看出，本文模型對(duì)初始輪廓具有較強(qiáng)的魯棒性。

圖1 本文模型在四種不同初始輪廓下對(duì)噪聲圖像的分割結(jié)果Fig.1 Segmentation results of proposed model on a noise image with four different initial contours

3.2 灰度不均圖像的分割

圖2 中，實(shí)驗(yàn)樣本為五幅不同程度的灰度不均圖像，展示了在不同初始輪廓的情況下的分割效果。選取的模型有：RSF 模型、SLGS 模型和本文模型。從圖2（b）的框出部分可以看出，RSF 模型對(duì)輪廓初始化較為敏感。從圖2（c）的框出部分可以看出，由于SLGS 模型只考慮了圖像的全局信息，難以處理圖像的灰度不均現(xiàn)象。表1 給出了迭代步數(shù)和分割時(shí)間。從圖2和表1可以看出，本文模型在無(wú)初始輪廓的情況下能夠兼顧分割準(zhǔn)確性與分割速度，有效提取灰度不均圖像中的目標(biāo)。

圖2 三個(gè)模型對(duì)灰度不均圖像的分割結(jié)果Fig.2 Segmentation results of inhomogeneous images by three models

表1 三個(gè)模型分割圖2中圖像的迭代次數(shù)和分割時(shí)間Tab.1 Number of iterations and segmentation time of three models for segmenting images in Fig.2

3.3 噪聲圖像的分割

通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文所提模型對(duì)不同噪聲強(qiáng)度、不同噪聲種類的魯棒性。對(duì)噪聲圖像，參數(shù)σ∈[1，5]是一個(gè)可調(diào)參數(shù)，其值根據(jù)噪聲污染的強(qiáng)度來(lái)選取。當(dāng)噪聲污染較輕時(shí)，σ選取較小的值，例如σ= 1；當(dāng)噪聲污染較強(qiáng)時(shí)，σ選取較大的值，例如σ= 5。

圖3選取了零均值，方差分別為0.01、0.20的兩幅高斯噪聲圖像。參數(shù)取值σ= 1，3，5，7。從圖3 和表2 可以看出，在得到較好的分割結(jié)果前提下，方差為0.01 的高斯噪聲圖像中取σ= 1時(shí)迭代時(shí)間更少；在方差為0.20的高斯噪聲圖像中，取σ= 5時(shí)分割效果更好、分割時(shí)間更少。

圖3 本文模型在四種不同σ和兩種方差情況下的分割結(jié)果Fig.3 Segmentation results of proposed model with four different σ and two different variance

表2 本文模型分割圖3中圖像的迭代次數(shù)和分割時(shí)間Tab.2 Number of iterations and segmentation time of proposed model for segmenting images in Fig.3

圖4 展示了實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ头指畈煌潭鹊母咚乖肼晥D像的分割結(jié)果。為了驗(yàn)證本文模型的抗噪性，實(shí)驗(yàn)選取了零均值，方差分別為0.01、0.05、0.10 和0.20 的四幅高斯噪聲圖像。根據(jù)噪聲污染情況本文模型不同的參數(shù)。從圖4 所示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出：RSF模型對(duì)噪聲較為敏感，如圖4（b）的框出部分所示；SLGS 模型對(duì)于噪聲污染不嚴(yán)重的圖像，能夠得到較好的分割結(jié)果，但隨著噪聲污染的加重，該模型仍無(wú)法準(zhǔn)確分割；本文模型對(duì)噪聲強(qiáng)度具有足夠的魯棒性，均能有效地提取目標(biāo)邊界。

圖4 三個(gè)模型對(duì)不同程度的高斯噪聲圖像的分割結(jié)果Fig.4 Segmentation results of different degree Gaussian noisy images by three models

表3 三個(gè)模型分割圖4中圖像的迭代次數(shù)和分割時(shí)間Tab.3 Number of iterations and segmentation time of three models for segmenting images in Fig.4

為比較不同模型對(duì)噪聲種類的魯棒性，本文將三個(gè)模型應(yīng)用于含有不同程度乘性斑點(diǎn)噪聲的圖像，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。圖5（a）的圖像2 的乘性斑點(diǎn)噪聲較大，因此實(shí)驗(yàn)中本文模型選取參數(shù)σ=5，其余圖像選取參數(shù)σ=3。從圖5 可以看出，RSF 模型對(duì)乘性噪聲較為敏感；SLGS 模型對(duì)于方差為0.10的乘性斑點(diǎn)噪聲分割效果較好，而對(duì)于方差為0.60的乘性斑點(diǎn)噪聲分割效果不理想；本文模型對(duì)這兩幅含不同程度乘性斑點(diǎn)噪聲的圖像得到了準(zhǔn)確、一致的分割效果。

圖5 三個(gè)模型對(duì)不同程度的乘性斑點(diǎn)噪聲圖像的分割結(jié)果Fig.5 Segmentation results of different degree multiplicative speckle noisy images by three models

表4 不同模型分割圖5中圖像的迭代次數(shù)和分割時(shí)間Tab.4 Number of iterations and segmentation time of three models for segmenting images in Fig.5

3.4 定量化分析

圖6 選取了四幅皮膚損傷圖像對(duì)所提模型進(jìn)行定量化評(píng)價(jià)。實(shí)驗(yàn)圖像均來(lái)自https：//isic-archive.com/api/vl，包含原始圖像和對(duì)應(yīng)的GT（Ground Truth）圖像。

評(píng)價(jià)指標(biāo)分別為Dice 相似系數(shù)（Dice Similarity Coefficient，DSC）、錯(cuò)誤率（Ratio of Segmentation Error，RSE）、假陽(yáng)性率（False Positive Ratio，F(xiàn)PR）和虛警率（False Alarm，F(xiàn)A）。DSC 越接近于1，RSE、FPR 和FA 越接近于0，表明分割結(jié)果越準(zhǔn)確。表5 給出了三個(gè)模型對(duì)這四幅圖像分割結(jié)果的平均指標(biāo)值。從表5 可以看出，本文模型取得了較為準(zhǔn)確的分割結(jié)果。

圖6 三個(gè)模型對(duì)不同皮膚損傷圖像的分割結(jié)果Fig.6 Segmentation results of different skin lesion images by three models

表5 圖6圖像分割結(jié)果的DSC、RSE、FPR和FA值Tab.5 DSC，RSE，F(xiàn)PR and FA of segmentation results shown in Fig.6

3.5 實(shí)際應(yīng)用

圖7 給出了本文模型對(duì)四幅實(shí)際應(yīng)用中不同類型圖像的分割結(jié)果。其中：圖7（a）的框出部分是醫(yī)學(xué)圖像，目標(biāo)邊緣較弱；其余兩幅圖像是紅外船舶圖像，紅外船舶圖像1 中目標(biāo)船舶邊緣較弱，紅外船舶圖像2 中背景不均勻，而且?guī)в性O(shè)備引起的噪聲。本實(shí)驗(yàn)中，對(duì)圖7（a）圖像4 選取σ=5，其余圖像選取σ=3。本文模型的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7（b）所示，可以看出，本文模型在無(wú)初始輪廓的情況下，對(duì)不同類型的實(shí)際圖像均取得了準(zhǔn)確的分割效果。

圖7 本文模型對(duì)不同類型圖像的分割結(jié)果Fig.7 Segmentation results by proposed model of different types of images

4 結(jié)語(yǔ)

本文受到SLGS模型的啟發(fā)，提出了一個(gè)偏微分方程形式的圖像分割模型。該模型在無(wú)初始輪廓的情況下，能夠?qū)叶炔痪鶊D像和噪聲圖像取得理想的分割結(jié)果；同時(shí)，還能有效提取目標(biāo)的模糊邊緣和弱邊緣。但是本文模型選取的權(quán)重系數(shù)ω 為特定值。因此，如何更好地提高模型的自適應(yīng)性和迭代速度，增加模型的應(yīng)用場(chǎng)景是接下來(lái)的工作。