汪 勇，胡良劍

(東華大學 理學院，上海 201620)

0 引 言

截斷Euler-Maruyama(EM)方法是MAO在提出的一種新的顯式方法[1]，用于研究高度非線性隨機微分方程數值解，并證明了該數值方法的Lp收斂性。之后，文獻[2]從步長的角度出發(fā)，改進了部分嚴格的限制性條件，并確保截斷EM方法的收斂性和穩(wěn)定性仍然成立。文獻[3]針對有限時間強收斂性的假設條件進行了分解，文獻[4]從穩(wěn)定性的角度出發(fā)，研究了部分截斷EM方法。之后，部分假設條件的限制被放松[5]，文獻[6]對假設條件做了進一步優(yōu)化。隨后，出現(xiàn)了更多關于隨機微分方程數值解的相關研究[7-10]，并且出現(xiàn)帶時滯的隨機微分方程數值解相關理論研究[11]。

本文考慮一個標量隨機微分方程

dx(t)=b(x(t))dt+σ(x(t))dW(t),t≥0

(1)

式中:b和σ為局部Lipschitz連續(xù)函數；W(t)為一維布朗運動；初值x(0)=x0>0。在許多包含數量問題的實踐中，比如對股票市場的研究以及生物種群模型的研究時，需要模型的解取正值。因此，當隨機微分方程(1)有一個正解，如何構造它的數值近似，以保證數值解也為正是主要研究問題。

對于數值解保正性的研究已經有了一些已知的結論[12-14]。文獻[15]證明了EM方法不能使任何一維隨機微分方程數值解保持正性。文獻[16]使用Lamperti變換，對擴散系數嚴格為正的原始隨機微分方程進行了變換，變?yōu)?/p>

dx(t)=F(x(t))dt+c0dW(t)

并采用隱式歐拉法對變換后的隨機微分方程進行離散化，使得在適當的假設條件下，隨機微分方程的數值解收斂到真實解。文獻[17]提出了一類在適當步長和權值下保正性的平衡隱式方法，收斂條件需滿足線性增長條件。

文獻[18]提出了Cox-Ingersoll-Ross(CIR)金融模型

x(0)=x0

且該模型在實踐中有所應用。

為了研究更普遍的具有保正性的隨機微分方程數值解問題，而不是特例，本文從一般的隨機微分方程出發(fā)，構造一個顯式對數EM格式。采用部分截斷EM方法，在保證隨機微分方程數值解收斂性的同時，能夠保持其正性。

1 預 備

由于只考慮隨機微分方程(1)的正解，因此假設系數b和σ為定義在R+上的實值函數，同時，假設b、σ為Lipschitz連續(xù)的。對于c∈R+，引入標量函數

定義

假設1 假設下列Feller條件

(2)

成立。由文獻[19]中命題5.17和5.18的相關結論可知，條件(2)等價于隨機微分方程(1)具有唯一強解x(t)，t≥0，并且其軌道包含在R+中，即

P(x(t)∈(0,∞),t≥0)=1

(3)

也就是說，假設條件(2)成立，那么?t≥0，隨機微分方程的解都為正。希望找到一般的數值方法構造式(2)在Feller條件下正的近似解。首先，采取對數變換，令

y=φ(x)=lnx,x∈R+

應用伊藤公式，得到轉化后的關于y(t)的隨機微分方程

dy(t)=f(y(t))dt+g(y(t))dW(t)

(4)

其中y(0)=y0=lnx0，并且

(5)

定理1 如果隨機微分方程(1)滿足假設1條件，那么隨機微分方程(4)在有限時間存在非爆炸唯一解，即

P(y(t)∈(-∞,∞),t≥0)=1

證明令

以及

此時，方程(4)的解的非爆炸性仍然可以用Feller-條件證明，即

又y=ln(x)，則可知

以及

可以得到，隨機微分方程(4)的解以概率1有限存在，即在有限時間不會趨于無窮。

引理1[3]假設方程(4)的系數為局部Lipschitz連續(xù)的，且滿足?γ≥1,p>2，?Kγ≥0，使得

(6)

任給n>0，考慮隨機微分方程

dyn(t)=fn(yn(t))dt+gn(yn(t))dW(t)

(7)

式中：

fn(y)=f((|y|∧n)sgn(y))

gn(y)=g((|y|∧n)sgn(y))

由于隨機微分方程(4)的系數滿足條件(6)，隨機微分方程(7)的系數滿足全局Lipschitz條件，所以當n→∞時，存在唯一的解yn(t)，依概率收斂到隨機微分方程(4)的精確解y(t)[3]。應用截斷EM方法于方程(7)，可以得到一個數值逼近yΔ,n(t)在Lp意義下強收斂到y(tǒng)n(t)。因此，?Δ，?nΔ，使得yΔ,nΔ(t)依概率收斂到y(tǒng)(t)。

然而，經過對數變換后，隨機微分方程(4)的系數為超線性增長甚至指數增長，給數值方法的構建帶來新的困難，所以基于全局Lipschitz條件或者多項式增長條件下的強收斂定理不再適用。

2 數值解的收斂性和保正性

2.1 相關引理及假設

?T>0，給定有限時間間隔[0,T]，考慮分割0=t0

這里p∈[1,∞)，則

引理1說明EM逼近在強或者弱Lp意義下都可能發(fā)散，所以需要討論轉化后的隨機微分方程數值解的指數可積性。因此，當系數呈指數增長同時需要滿足指數可積性的附加要求時，現(xiàn)有的強收斂性結論在一些情況下將不適用。本文將重點討論截斷EM方法，該方法因其簡單而在實踐中廣受歡迎。但是，即使這種方法簡單，仍然需要處理指數增長所帶來的影響。故需要引入一些附加條件，使得截斷EM方法在隨機微分方程的系數為指數增長時仍然收斂到其真實解。對隨機微分方程(4)的系數給出假設條件。首先假設隨機微分方程(4)的系數能被表示為

f(y)=F1(y)+F(y),g(y)=G1(y)+G(y)

(8)

假設2 假設系數F1、F、G1、G滿足如下條件：?L1>0以及γ>0，使得

|F1(x)-F1(y)|∨|G1(x)-G1(y)|≤

L1|x-y|

(9)

以及

|F(x)-F(y)|∨|G(x)-G(y)|≤

L1|x-y|(1+|x|γ+|y|γ)

(10)

其中x,y∈R。

由式(9)可得到系數F1和G1滿足線性增長條件，即存在常數K1，使得

|F1(y)|∨|G1(y)|≤K1(1+|y|)

(11)

其中y∈R。

|G(x)-G(y)|2≤L2|x-y|2

(12)

其中x,y∈R。

假設4 假設存在常數p′>p以及K2>0，使得

2.2 截斷EM方法

首先，定義一個在[1,∞)→(0,∞)的嚴格增函數μ，使得當t→∞時，μ(t)→∞，且

(13)

μ的逆函數μ-1為定義在[μ(1),∞)→(0,∞)的嚴格增函數。給定一個嚴格遞減函數h:(0,1]→[μ(1),∞)，且滿足

定義πΔ為R到閉區(qū)間{x∈R:|y|≤μ-1(h(Δ))}上的映射，且

πΔ(y)=[|y|∧μ-1(h(Δ))]sgn(y)

則可以得到

dyΔ(t)=fΔ(yΔ(t))dt+gΔ(yΔ(t))dW(t)

(14)

且有

FΔ(y)=F(πΔ(y)),GΔ(y)=G(πΔ(y))

則

fΔ(y)=F1(y)+FΔ(y)

gΔ(y)=G1(y)+GΔ(y)

由式(13)可以得到

|FΔ(y)|∨|GΔ(y)|≤μ(μ-1(h(Δ)))=h(Δ)

(15)

應用EM方法到式(14),可以得到

yΔ(tk+1)=yΔ(tk)+fΔ(yΔ(tk))+

gΔ(yΔ(tk))ΔWk

(16)

式中：k=0,1,…,N-1，ΔWk=W(tk+1)-W(tk)。令yΔ(0)=y0，定義式(16)的連續(xù)形式為

(17)

2.3 精確解的指數可積性

接下來，證明隨機微分方程(4)的數值解yΔ(t)和精確解y(t)的指數可積性。

假設5 假設?m≥1，存在常數Km(不依賴于p和y)，使得

Kmpm,?p>2,y∈R

(18)

其中m與Km之間存在一定關系，可以理解為當m取較小值時，Km更趨向于取較大的值。

定理2 若假設5成立，且m<2，則對任意正常數q，方程(4)的精確解y(t)滿足

(19)

證明對yp(t)應用伊藤公式得到

這里僅考慮p為正整數，令R>|y(0)|,τR=inf{t∈[0,T]:|y(t)|≥R}，則可推導出

使用Gronwall不等式，有

exp(Cpt)≤Cp·(2p)mp

由τR的定義知

R2pP(τR≤t)=E((y(τR))2pI{τR≤t})≤

E(y2p(t∧τR))≤Cp·(2p)mp

因此,可以得到

P(τ∞>t)=1

由Jensen不等式，有

E|y(t)|p≤(E(y2p(t)))1/2≤

Cp(2p)mp/2≤Cppmp/2

可知，?q>0，有

當m<2時，由斯特林公式，可以得到

E(exp(q|y(t)|))<∞

2.4 截斷EM數值解的指數可積性

接下來需要證明截斷EM數值解仍然為指數可積的。

定理3 若假設5成立，則?Δ∈(0,1]，p>2，有

Km(pm+|y|)

(20)

證明當|y|≤μ-1(h(Δ))時，式(20)顯然成立。當|y|>μ-1h(Δ))時，有

(21)

又由式(18),可知

πΔ(y)F(πΔ(y))≤Kmpm

(22)

將式(22)代入式(21)，得

引理4[4]在假設5條件下，?Δ∈(0,1]，隨機微分方程(4)的截斷EM數值解為指數可積的，即

E(exp(q|yΔ(t)|))<∞,?q>0

(23)

因此可得

(24)

證明由引理5可知，?Δ*∈(0,1]，使得

(25)

給定Δ∈(0,Δ*]，?t∈[0,T]，存在唯一的k≥0，使得tk≤t≤tk+1，有

由式(25)可得

又因為Δ1/4h(Δ)≤1，于是進一步可得

定理5 若假設5成立，?q>0，m<2，隨機微分方程(4)的截斷EM數值解yΔ(t)滿足

證明由It公式和伊藤積分的性質，可得

因此,可以得到

使用Gronwall不等式,有

因此，?t>0，可以得到

E((yΔ(t))2p)≤Cppmp

由Jensen不等式可得

E|yΔ(t)|p≤Cppmp/2,m<2

因此，?Δ∈(0,1]，結合斯特林公式，可以得到截斷EM數值解的指數可積性。

2.5 收斂結果及其正則性

定義

τR=inf{t∈[0,T]:|yΔ(t)|≥R}

(26)

由于已經得到隨機微分方程數值解和精確解的指數可積性的相關結論，進而可以得到

(27)

引理6[5]若假設2，3，4成立，則隨機微分方程(4)的截斷EM數值解yΔ(t)強收斂到其精確解，即

(28)

定理6 若假設5成立，則隨機微分方程(1)的數值解xΔ(t)=exp(yΔ(t))將強收斂到其精確解，即

(29)

證明由均值定理可得

E|x(t)-xΔ(t)|q=

E|exp(y(t))-exp(yΔ(t))|q≤

E|exp(y(t))+exp(yΔ(t))|q·|y(t)-

yΔ(t)|q≤

[E|exp(y(t))+exp(yΔ(t))|2q]1/2·

[E|y(t)-yΔ(t)|2q]1/2

由引理5、引理6以及指數可積性結果,可以得到收斂性結果，并且數值解保持了原解的正性。

3 數值算例

基于Cox-Ingersoll-Ross(CIR)模型，考慮更為一般的隨機微分方程模型

dx(t)=k(λ-x(t))dt+θ·(x(t))αdW(t)

(30)

(31)

可以得到F1(y)=y，

G1(y)=0，G(y)=θexp(-(1-α)y)

易知假設2成立，對于假設3，可得

當p′>2時成立。對于假設5，由于2(1-α)<1，?y>0，有

因為

則存在常數-M，對y<(-M∧-1)，使得

令

則

求解H′(y0)=0，有

因此，存在正數Km，使得

4 結 語

本文在一定條件下，將隨機微分方程的系數拆分為滿足線性增長的部分和不滿足線性增長條件的部分。應用部分截斷EM的方法，對隨機微分方程的系數采取只對不滿足線性增長條件的部分進行截斷的方式。通過對數變換的方法，證明了變換后的隨機微分方程的數值解和解析解的指數可積性，進一步研究了隨機微分方程數值解能保持原解析解的正性。