胡 彪，王憲杰,2,3，王思文，李承玥，王兆毅，翁振江

(1.云南大學建筑與規(guī)劃學院，昆明 650500；2.浙江大學建筑與工程學院，杭州 310058；3.浙江東南網(wǎng)架集團有限公司，杭州 311209)

0 引 言

混凝土的多尺度研究，有利于充分了解其損傷機理[1]、非線性行為[2]、動力響應[3]、可靠度[4]等?；炷梁暧^非線性力學行為及尺寸效應源于其細觀非均質(zhì)性[5]，其內(nèi)部粗骨料、細骨料、水泥等材料及孔隙裂縫的不均勻分布導致了這種細觀的非均質(zhì)性。

近年來，國內(nèi)外學者從多個角度研究了混凝土細微觀結構變化對宏觀構件性能機理的影響。金瀏等[6-8]從細觀角度出發(fā)，提出了反映尺寸效應的混凝土力學性質(zhì)的修正公式，并進行了數(shù)值模擬和論證。Escoda等[9]研究了骨料形狀對混凝土有效剪切模量和有效體積模量的影響，指出當骨料力學性能與周圍的水泥砂漿相差較大時，骨料形狀對局部應力場有較大的影響。許文祥等[10]以橢圓形骨料為依托，分析了骨料的最大粒徑和面積占比對混凝土邊界效應的作用。以上相關研究一致認為，骨料粒徑、形狀及其分布對宏觀力學性能起著至關重要的作用。王飛陽等[11]采用一致多尺度方法對混凝土結構模擬得到了帶裂縫服役三點彎梁在不同裂縫深度條件下的彎矩-撓度曲線。Bin等[12]通過對混凝土非關鍵區(qū)、關鍵區(qū)、損傷區(qū)采用不同單元尺寸和理論建立了三級模型，模擬了在地震作用下細觀損傷到結構破壞的跨尺度過程。Huang等[13]基于原位X射線得到了混凝土試樣的電子計算機斷層掃描(CT)圖像，將二維模型自下向上疊加生成三維模型，并模擬試件拉伸斷裂行為。然而，以上混凝土損傷研究主要集中于斷裂現(xiàn)象與宏觀力學行為關系的探究，并未考慮細觀骨料級配中最大粒徑的變化對宏觀構件裂縫展開的影響。

為揭示混凝土尺度相關性與材料非線性損傷關系，本文通過生成多組符合Fuller級配的等面積占比細觀骨料模型，選用不同的最大粒徑，依據(jù)等效化理論求出混凝土細觀單元等效化參數(shù)，并通過均勻化方法建立混凝土宏細觀跨尺度關聯(lián)。在此基礎上建立混凝土宏觀梁構件，模擬其在受力作用下的裂縫開展及損傷情況，使得混凝土細觀層面上的變化在宏觀力學性能上得到體現(xiàn)。

1 細觀骨料級配生成

1.1 細觀骨料Fuller級配

為使生成的混凝土模型具有較好的密實度和宏觀強度，選用Fuller級配曲線確定其骨料粒徑[5]?？紤]實際工程中使用骨料的最小粒徑，潘子超等[14]將Fuller級配下骨料質(zhì)量累積分布函數(shù)表達式改寫為：

P3M(D)=Dn-DnminDnmax-Dnmin

(1)

式中：P3M(D)為小于指定粒徑Di的骨料占所有骨料的質(zhì)量分數(shù)；D為選用的目標骨料粒徑；Dmax為骨料最大粒徑；Dmin為骨料最小粒徑；n為與顆粒形狀特性相關的指數(shù)，常取0.45～0.7。

基于式(1)推導得到骨料粒徑公式：

D=[P3M(D)·(Dnmax-Dnmin)+Dnmin]1/n

(2)

顯然當已知骨料最大、最小粒徑時，通過唯一確定隨機變量P3M(D)即可求得符合Fuller級配的骨料直徑D。

1.2 多邊形骨料生成

已有科研成果中部分二維細觀模型骨料為橢圓形或者圓形，相關模型比較貼合卵石骨料的截面形狀，但實際工程中碎石骨料的使用更為普遍。因此本文擬生成邊數(shù)為4～12的凸多邊形碎石骨料模型[15]。建模過程如圖1所示，基本步驟為：

(1)在目標區(qū)域內(nèi)隨機生成直徑符合式(2)的圓形，并確定圓心坐標。

(2)隨機生成4～12的一個數(shù)字記為m，以圓心為極點，橫坐標方向為極軸，隨機生成m個值為0°～360°的角度，按從小到大順序排列并記為θ1，θ2,…,θm，分別計算：

xi=Dcosθi2

(3)

圖1 多邊形骨料模型生成過程Fig.1 Generation process of polygon aggregate model

(4)

式中：i為1～m之間的整數(shù)；xi、yi分別為多邊形上第i個頂點的橫坐標值和縱坐標值，得到m組坐標(xi,yi)，并將其依次連接，得到符合預期的多邊形。

(3)對多邊形內(nèi)部上色，計算多邊形面積。

(4)重復步驟(1)～(3)，直至生成的多邊形總面積達到限值要求，并記錄多邊形總數(shù)。

(5)將多邊形按面積從大到小排列，依次放置于目標區(qū)域內(nèi)，通過識別放置位置像素的RGB(紅綠藍)值判斷多邊形是否重合，例如白色RGB值為(255，255，255)，黑色RGB值為(0，0，0)，比較RGB值，即可判斷此處材料情況。

(6)導出生成的多邊形模型。

2 細觀-宏觀跨尺度關聯(lián)

2.1 等效化思想

考慮骨料在單胞內(nèi)隨機分布，為準確反映單胞內(nèi)各個位置的性質(zhì)，將單胞內(nèi)部進一步劃分為多個單元，在確保計算效率的條件下，盡可能劃分更多的單元以提高計算精度[5]。同樣采用像素色彩RGB識別方法，計算單元中骨料和砂漿的面積占比，求得每個單元的平均彈性模量和泊松比，并在有限元模型對應位置賦予相應的材料屬性，再運用均勻化理論進行求解。模型等效化過程如圖2所示。

圖2 多邊形骨料模型等效化過程Fig.2 Equivalent process of polygonal aggregate model

2.2 均勻化理論

均勻化理論以嚴格的數(shù)學推導為基礎建立了從材料細觀組成特性到宏觀性質(zhì)的聯(lián)系[16-18]，它假定材料的細觀單胞結構具有空間周期性，利用單胞具備簡化復合材料等效性能分析的能力[19]，將宏觀尺度上一點的位移、應力等物理量展開為與細觀結構尺度相關的攝動量的漸近級數(shù)[20]。在二維彈性問題中，進一步引入單胞的靜力平衡方程、幾何方程和物理方程，并結合應力邊界條件和位移邊界條件，以此求得宏觀結構的等效彈性參數(shù)。基于均勻化理論對生成的混凝土二維細觀模型進行分析：首先由骨料最大粒徑確定單胞內(nèi)劃分小單元的最大尺寸[20]；其次計算每個小單元內(nèi)的等效化力學參數(shù)；再次通過有限元軟件分別求解單胞在單位橫向、縱向、剪切應變及對應邊界條件下的位移場；最后帶入式(5)得到該模型的等效彈性模量矩陣，由此構建跨尺度關聯(lián)。

EH=1|Y|∫Y(E-ETBχ)dY

(5)

式中：EH、E、ET分別為等效彈性模量矩陣、彈性模量矩陣和彈性模量矩陣的轉置矩陣；Y為周期；B為節(jié)點位移向量至應變向量的變換矩陣；χ為位移場。

3 宏觀混凝土損傷分析

3.1 混凝土本構關系

在確定混凝土細觀結構規(guī)律和實現(xiàn)跨尺度關聯(lián)的基礎上，建立相應的宏觀模型有助于理解其力學行為。為使模擬貼近實際工程中的表現(xiàn)，將細觀模型所推導的等效力學參數(shù)帶入混凝土受壓、受拉力學性能統(tǒng)一計算方法[21-22]確定本構關系。相關公式及計算步驟為：

近似取受拉彈性模量(Et)與受壓彈性模量(Ec)相等，并反推導混凝土立方體抗壓強度可得：

fcu=(Ec9 500)3=(Et9 500)3

(6)

單軸抗拉、抗壓強度統(tǒng)一計算式：

ft=0.24f2/3cu

(7)

fc=0.76fcu

(8)

單軸抗拉、抗壓峰值應變統(tǒng)一計算式：

εtp=67f1/2t×10-6

(9)

εcp=520f1/3c×10-6

(10)

受壓應力-應變曲線公式為：

yc=Acxc-x2c1+(Ac-2)xc, (xc≤1)

(11)

yc=xcαc(xc-1)2+xc, (xc>1)

(12)

受拉應力-應變曲線公式為：

yt=Atxt-x2t1+(At-2)xt， (xt≤1)

(13)

yt=xtαt(xt-1)1.7+xt, (xt>1)

(14)

式中：xc、yc、Ac、αc分別為受壓應力-應變曲線的橫坐標、縱坐標、上升段參數(shù)、下降段參數(shù)，分別滿足xc=ε/εcp、yc=σc/fc、Ac=9.1f-4/9cu、αc=2.5×10-5f3cu；xt、yt、At、αt分別為受拉應力-應變曲線的橫坐標、縱坐標、上升段參數(shù)、下降段參數(shù)，分別滿足xt=ε/εtp、yt=σt/ft、At=Etεtp/ft、αt=1+3.4f2cu×10-4；ft、fc分別為混凝土單軸抗拉、抗壓強度；εtp、εcp分別為混凝土單軸受拉、受壓峰值應變；fcu為混凝土立方體抗壓強度。

3.2 損傷因子

混凝土構件在服役過程中產(chǎn)生的裂縫會導致其性能的改變，為描述卸載時材料的剛度退化現(xiàn)象，將損傷因子帶入混凝土本構關系[23]，用于構件進入非線性階段后的裂縫展開分析。

未受損材料彈性余能Wε0：

Wε0=σ22E0

(15)

受損材料等效彈性余能Wεd：

Wεd=22Ed

(16)

=σ1-d

(17)

式中:E0為材料未受損彈性模量；Ed為材料受損后彈性模量；d為損傷因子。

根據(jù)Sidoroff[24]的能量等價原理，因應力作用在受損材料和未受損材料上所產(chǎn)生的彈性余能具有相同的表達形式，所以可將應力替換為有效應力，或是將彈性模量替換為損傷時的彈性模量，即通過式(15)～(17)可求得材料應力(σ)應變(ε)與損傷因子(d)的關系式：

d=1-σεE0

(18)

將式(11)～(14)所求得混凝土材料在受拉、受壓不同階段下的應力應變關系帶入式(18)中即可計算相應情況的損傷因子。

大多數(shù)民辦高校教工黨支部的組織生活仍然停留于傳達上級的有關精神內(nèi)容和完成上級的有關布置任務，組織生活活動方法陳舊或形式化，內(nèi)容單一，缺乏創(chuàng)新意識，在民主生活會上的批評和自我批評時常流于形式而難出實際效果，這些都在一定程度上削弱了教工黨支部的政治影響力。

4 算 例

4.1 細觀骨料模型

本文建立了4組不同級配的混凝土二維細觀模型，單胞尺寸均為300 mm×300 mm，每組均生成20個樣本，骨料面積占比為40.00%～40.50%，混凝土中骨料和砂漿的材料參數(shù)按文獻[25]選用，如表1所示。選取每組中較有代表性的細觀模型如圖3所示，組別編號1～4分別表示骨料級配為5～30 mm、5～40 mm、5～50 mm、5～60 mm。

表1 混凝土二相材料參數(shù)Table 1 Two-phase material parameters of concrete

圖3 1～4組骨料級配細觀模型Fig.3 No.1 to No.4 of aggregate grading mesoscopic model

處理1組細觀模型并求解損傷因子的相關步驟為：

(1)對每個模型進行等效化處理，均劃分成2 500個6 mm×6 mm的小單元；

(2)基于均勻化理論求得每個模型樣本的等效彈性模量，并取平均值作為該組的彈性模量；

(3)將彈性模量帶入式(6)計算混凝土立方體抗壓強度；

(4)將混凝土立方體抗壓強度帶入式(7)～(10)求得混凝土單軸抗拉、抗壓強度和峰值應變；

(5)取材料的四分之一峰值應變作為其進入塑性階段后的應變增量，由式(11)～(14)求解相應的應力;

(6)將多對應變應力帶入式(18)得到對應的損傷因子。

經(jīng)上述步驟計算得到各組的數(shù)據(jù)，第一組結果如表2所示(因篇幅有限，取前10個數(shù)據(jù))。各組抗壓強度與受壓損傷因子如圖4所示，抗拉強度與受拉損傷因子關系如圖5所示(選取具有代表性的10個點)。不難看出在混凝土進入塑性階段之前，骨料最大粒徑越小，抗壓、抗拉強度越大；進入塑性階段后，若達到相同的損傷因子，骨料最大粒徑越小，所能承受的拉應力、壓應力越大，即抗拉、抗壓能力越強。觀察不同骨料級配的差值變化可知，組別間抗拉強度的差值會隨著損傷因子的增大而逐漸減小，抗拉強度降低至同一水平值；而組別間抗壓強度的差值隨損傷因子的增大，在達到極限抗壓強度之前逐漸增大，在達到極限抗壓強度之后，逐漸減小，抗壓強度降低至同一水平值。

表2 混凝土計算參數(shù)Table 2 Concrete calculation parameters

圖4 抗壓強度-受壓損傷因子曲線Fig.4 Curves of compressive strength and compression damage factor

圖5 抗拉強度-受拉損傷因子曲線Fig.5 Curves of tensile strength and strain damage factor

4.2 宏觀剪彎梁模型

圖6 剪彎梁計算簡圖(單位：mm)Fig.6 Calculation diagram of shear-flexural beam (unit: mm)

從圖7中可以看出，每根梁中同時存在由彎矩引起的豎向裂縫和剪力引起的斜向裂縫，因梁在集中荷載作用點附近同時受到剪力和較大彎矩的影響，擴展最深裂縫均位于此處的彎剪斜裂縫，且裂縫整體分布較為對稱，符合在兩點集中荷載作用下，剪彎梁上剪力及彎矩的分布規(guī)律。

4根梁中，1號梁兩側斜向裂縫和跨中豎向裂縫發(fā)展最為明顯，且裂縫分布范圍最廣，較長裂縫(超過截面高度40%的裂縫，下同)條數(shù)為17，但最大塑性應變值最小，為8.333×10-3，出現(xiàn)在集中荷載附近豎向裂縫的底部，呈現(xiàn)出正截面適筋破壞特征。2～4號梁中裂縫分布范圍無明顯差別，兩側斜向裂縫的延伸依次增強，較長裂縫條數(shù)依次為16、14、14，最大塑性應變值均出現(xiàn)在彎剪斜裂縫的中部，分別為1.114×10-2、1.147×10-2、1.222×10-2，呈現(xiàn)出斜截面剪壓破壞特征，較1號梁脆性更為明顯。

圖7 剪彎梁最大塑性應變云圖Fig.7 Maximum plastic strain diagram of shear-flexural beam

進一步分析模擬結果可知，在一定范圍內(nèi)選用的骨料最大粒徑越大，混凝土梁構件出現(xiàn)較長裂縫條數(shù)越少，梁跨中部裂縫整體擴展深度越淺，即消耗應變能的能力越弱，因而導致最大塑性應變值越大。

5 結 論

(1)混凝土二維隨機多邊形骨料細觀模型滿足骨料面積占比相同且骨料級配均符合Fuller級配的條件時，在本文模擬尺寸范圍內(nèi)，混凝土骨料最大粒徑越小，抗拉、抗壓強度越大。不同骨料級配間抗拉強度的差值在進入塑性階段后逐漸減小，而抗壓強度的差值在達到極限抗壓強度之前逐漸增大，在達到極限抗壓強度之后，逐漸減小。

(2)宏觀混凝土梁相同幾何尺寸、鋼筋配比和加載下，在本文模擬尺寸范圍內(nèi)，選用的混凝土骨料最大粒徑越小，較長裂縫條數(shù)越多，最大塑性應變值越小，抗彎能力越強。

(3)混凝土梁構件選用的骨料級配最大粒徑不同，有可能導致延性破壞向脆性破壞轉變，即造成破壞模式發(fā)生根本性的變化，因此在施工過程中，嚴格控制骨料級配尤為重要。