曾喆昭 劉文玨

半個(gè)多世紀(jì)以來,經(jīng)典控制理論(控制論)與現(xiàn)代控制理論(模型論)獨(dú)立發(fā)展,形成了各自的方法論體系.在實(shí)際控制工程中,控制目標(biāo)與被控對(duì)象實(shí)際行為之間的誤差是容易獲取的,也是能夠適當(dāng)加以處理的,因而“基于誤差來消除誤差”的控制策略的原形:比例–積分–微分(Proportional-integral-dif ferential,PID)控制器在實(shí)際工業(yè)控制領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用[1?6].對(duì)于實(shí)際控制工程問題,通常難以給出其內(nèi)部機(jī)理的精確描述,因而基于數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)代控制理論給出的控制策略,在實(shí)際控制工程領(lǐng)域難以獲得有效應(yīng)用,這就是控制工程實(shí)踐與控制理論之間延續(xù)了半個(gè)多世紀(jì)而難以獲得很好解決的脫節(jié)現(xiàn)象[7?9].經(jīng)典控制理論的精髓就是根據(jù)被控對(duì)象的實(shí)際值與期望值(控制目標(biāo))之間的偏差來形成控制策略,只要合理選擇PID控制器的增益參數(shù)使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定就能夠?qū)崿F(xiàn)控制目標(biāo),這正是經(jīng)典PID控制方法獲得廣泛應(yīng)用的根本原因.然而,科學(xué)技術(shù)的發(fā)展對(duì)控制器的控制精度、響應(yīng)速度和魯棒穩(wěn)定性提出了更高的要求,導(dǎo)致傳統(tǒng)PID控制器的缺點(diǎn)也逐漸展現(xiàn)出來[9?10]:盡管傳統(tǒng)PID控制系統(tǒng)能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,然而,閉環(huán)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)對(duì)PID增益參數(shù)的變化敏感.正是這個(gè)缺點(diǎn)導(dǎo)致了快速性和超調(diào)之間不可調(diào)和的矛盾[10],因此,當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行工況發(fā)生變化時(shí),控制器增益也需要隨之變化,因而各種改進(jìn)型PID控制方法應(yīng)運(yùn)而生.在對(duì)PID參數(shù)進(jìn)行在線整定的過程中,由于PID增益參數(shù)的整定值只是局部?jī)?yōu)化值,而不是全局性的最優(yōu)值,因而在線整定PID增益參數(shù)的這種控制方法無法從根本上解決動(dòng)態(tài)品質(zhì)和穩(wěn)態(tài)精度的矛盾[11].因此,PID控制器增益參數(shù)的調(diào)節(jié)與優(yōu)化一直是控制理論與控制工程領(lǐng)域廣泛關(guān)注的問題.二十余年來,PID控制器在理論研究方面取得了長(zhǎng)足發(fā)展,經(jīng)典PID控制器與其他控制理論方法相結(jié)合形成了一些新型的PID控制器,例如:基于知識(shí)推理的專家PID控制[12]、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的PID控制[11,13?17]、模糊PID控制[18]、預(yù)測(cè)PID控制[19]等.此外,一些現(xiàn)代優(yōu)化方法也被應(yīng)用于PID控制器的設(shè)計(jì),如采用遺傳算法[20]、粒子群算法[21]以及其他優(yōu)化方法[22?23]求取滿足設(shè)計(jì)要求的PID控制器參數(shù).前面這些方法在PID優(yōu)化控制方面都獲得了不同程度的控制效果,具有良好的跟蹤性能和一定的抗干擾性能,然而都存在計(jì)算量大的問題,在實(shí)時(shí)控制方面存在不同程度的局限性.為了減小PID增益參數(shù)在線優(yōu)化的計(jì)算量,曾喆昭提出了非線性PID自學(xué)習(xí)控制方法[24?25],該方法不僅有效提高了非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)控制能力,而且具有響應(yīng)速度快、控制精度高、魯棒穩(wěn)定性好等特點(diǎn),然而,抗擾動(dòng)能力仍然欠佳.由于傳統(tǒng)PID控制原理是將誤差的過去(I)、現(xiàn)在(P)和將來(變化趨勢(shì)D)進(jìn)行加權(quán)求和來形成控制信號(hào),盡管只要合理選取PID三個(gè)增益參數(shù)就能使閉環(huán)控制系統(tǒng)局部穩(wěn)定,然而,誤差以及誤差的積分和微分是三個(gè)完全不同屬性的物理量,曾喆昭學(xué)者認(rèn)為:將三個(gè)不同屬性的物理量獨(dú)立加權(quán)求和來形成PID控制律模型是不合理的:

1)違背了算術(shù)運(yùn)算的基本規(guī)則:不同屬性的物理環(huán)節(jié)是不能獨(dú)立加權(quán)求和的,否則難以從物理意義上來準(zhǔn)確理解傳統(tǒng)PID控制律的數(shù)學(xué)模型;

2)傳統(tǒng)PID控制律的數(shù)學(xué)模型不異于強(qiáng)行將比例、積分和微分等三個(gè)不同屬性的物理環(huán)節(jié)割離開來并獨(dú)立對(duì)待,由此導(dǎo)致了比例、積分和微分三個(gè)環(huán)節(jié)在控制過程中相互獨(dú)立、各自為陣,因而缺乏協(xié)同控制的科學(xué)思想;

3)正因?yàn)閭鹘y(tǒng)PID控制律模型的不合理性,導(dǎo)致PID的增益整定問題成為了控制科學(xué)與控制工程領(lǐng)域的世紀(jì)難題.

曾喆昭學(xué)者發(fā)現(xiàn):盡管誤差的比例、積分和微分是三個(gè)不同屬性的物理環(huán)節(jié),然而這三個(gè)環(huán)節(jié)都與誤差有關(guān),三者之間一定存在某種內(nèi)在的必然關(guān)系,因此不應(yīng)該將比例、積分和微分等三個(gè)不同屬性的環(huán)節(jié)割離開來并獨(dú)立對(duì)待,而應(yīng)該將三個(gè)不同屬性的環(huán)節(jié)作為一個(gè)不可分割且有機(jī)統(tǒng)一的整體來對(duì)待.近十年來,曾喆昭學(xué)者在吸取PID控制、滑模控制(Sliding mode control,SMC)以及自抗擾控制(Auto disturbance rejection controller,ADRC)三大主流控制器優(yōu)點(diǎn)的同時(shí),主要圍繞其各自存在的局限性開展了相關(guān)改進(jìn)性的研究工作,特別是受跟蹤微分器(Tracking dif ferentiator,TD)模型思想的啟發(fā),先后提出了SC-PID控制方法和ASF模型.本文的理論研究結(jié)果與數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)都驗(yàn)證了SC-PID控制思想的正確性.

1 問題描述

考慮到PID包括PI和PD等三種控制器類型,因此本文要研究的SC-PID也包括相應(yīng)的三種類型,即SC-PI、SC-PID和SC-PD.考慮到PI控制器的廣泛應(yīng)用,下面先研究SC-PI 控制方法,然后再研究SC-PID和SC-PD控制方法.

1.1 一階非仿射非線性不確定系統(tǒng)

考慮一階非仿射非線性不確定系統(tǒng):

其中,x∈R是可測(cè)量狀態(tài),u∈R是控制輸入,y∈R是系統(tǒng)輸出,f(x,u)是未知不確定函數(shù),d1是未知外部有界擾動(dòng).

由于系統(tǒng)(1)是一類一階非仿射非線性不確定系統(tǒng),因此本文將系統(tǒng)未知不確定動(dòng)態(tài)和外部擾動(dòng)定義為總和擾動(dòng),即

其中,b0=0是控制增益的估計(jì)值(不要求精確估計(jì)).

因此,系統(tǒng)(1)改寫為

顯然,系統(tǒng)(3)是一類一階線性不確定仿射系統(tǒng),而且與系統(tǒng)(1)是等價(jià)的.

1.2 二階非仿射非線性不確定系統(tǒng)

考慮二階非仿射非線性系統(tǒng)為:

其中,x1,x2∈R是可測(cè)量的兩個(gè)狀態(tài),u∈R是控制輸入,y∈R是系統(tǒng)輸出,f(x1,x2,u)是未知不確定函數(shù),d1是未知外部有界擾動(dòng).

由于系統(tǒng)(4)是一類二階非仿射非線性不確定系統(tǒng),因此本文將系統(tǒng)未知不確定動(dòng)態(tài)和外部擾動(dòng)定義為總和擾動(dòng),即

其中,b0=0是控制增益的估計(jì)值(不要求精確估計(jì)).

因此,系統(tǒng)(4)改寫為

顯然,系統(tǒng)(6)是一類二階線性不確定仿射系統(tǒng),而且與系統(tǒng)(4)是等價(jià)的.

本節(jié)的主要思想是:將一類非仿射非線性不確定系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為一類線性不確定仿射系統(tǒng).其主要特色是:淡化了線性與非線性、時(shí)變與時(shí)不變性、確定與不確定、仿射與非仿射等系統(tǒng)分類的概念或界定,將一類復(fù)雜非線性系統(tǒng)的控制問題轉(zhuǎn)化為一類線性不確定仿射系統(tǒng)的控制問題.盡管系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(4)沒有顯含時(shí)變參數(shù),但是可以將系統(tǒng)的時(shí)變性歸類于系統(tǒng)內(nèi)部的不確定性.

2 SC-PID控制器研究

針對(duì)一階和二階線性不確定仿射系統(tǒng)的控制問題,分別進(jìn)行相應(yīng)的SC-PID控制器設(shè)計(jì).

2.1 SC-PI控制器設(shè)計(jì)

設(shè)被控系統(tǒng)的期望軌跡為r,針對(duì)一階非仿射非線性不確定系統(tǒng)(1)或其等價(jià)的線性不確定仿射系統(tǒng)(3)的控制問題,定義跟蹤控制誤差為:

定義誤差的積分:

結(jié)合系統(tǒng)(3)可得:

根據(jù)式(7)～(9)可得受控誤差系統(tǒng):

由受控誤差系統(tǒng)(10)定義SC-PI 控制器模型為:

其中,zc >0是SC-PI控制器的速度因子.

基于SC-PI 的閉環(huán)控制系統(tǒng)如圖1所示.

與傳統(tǒng)PI 控制器相比,SC-PI控制器(11)的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)在于只有一個(gè)速度因子zc;其主要特色是:通過zc將比例和積分兩個(gè)不同屬性的物理環(huán)節(jié)緊密耦合在一起形成協(xié)同控制信號(hào),因此,SC-PI的增益整定規(guī)則為:

傳統(tǒng)PI控制器將kp和ki兩者分離開來并獨(dú)立對(duì)待,是否存在合理性問題,作者不予過多評(píng)價(jià).然而,PI控制器的增益整定問題一直是個(gè)世紀(jì)難題.

2.2 SC-PID控制器設(shè)計(jì)

被控系統(tǒng)的期望軌跡為r,針對(duì)二階非仿射非線性不確定系統(tǒng)(4)或與其等價(jià)的線性不確定仿射系統(tǒng)(6)的控制問題,定義跟蹤控制誤差為:

定義誤差的積分:

結(jié)合系統(tǒng)(6)可得:

根據(jù)式(13)～(15)可得受控誤差系統(tǒng):

由受控誤差系統(tǒng)(16)定義SC-PID控制器模型為:

圖1 基于SC-PI 的閉環(huán)控制系統(tǒng)模型Fig.1 Closed loop control system based on SC-PI

其中,zc>0是SC-PID控制器的速度因子.

基于SC-PID的閉環(huán)控制系統(tǒng)如圖2所示.

與傳統(tǒng)PID控制器相比,SC-PID控制器(17)的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)在于只有一個(gè)速度因子zc;其主要特色是通過zc將比例、積分和微分等三個(gè)不同屬性的物理環(huán)節(jié)緊密耦合在一起來形成控制信號(hào),因此,SC-PID的增益整定規(guī)則為:

就控制論而言,PID及其各種改進(jìn)型PID控制器都是多參數(shù)的控制器.從目前已有的研究成果來看,這些控制器的各參數(shù)之間是完全獨(dú)立的,而且與被控對(duì)象有關(guān):對(duì)于不同的被控對(duì)象,PID控制器的增益千差萬別;即便是同一個(gè)對(duì)象,當(dāng)系統(tǒng)模型參數(shù)發(fā)生變化或工況狀態(tài)發(fā)生變化時(shí),必須重新整定PID的三個(gè)增益參數(shù).顯然,盡管PID的控制律不依賴于被控對(duì)象,然而,PID的三個(gè)增益參數(shù)卻與被控對(duì)象相關(guān),因此,傳統(tǒng)PID的增益整定方法背離了控制論的精髓,從而導(dǎo)致了增益整定的世紀(jì)難題.從理論上來說,獨(dú)立的多參數(shù)控制器確實(shí)增加了可行域的選擇范圍,然而從實(shí)際控制工程而言,卻顯著增加了各參數(shù)的整定難度.

作者發(fā)現(xiàn):盡管比例、積分和微分是三個(gè)不同屬性的物理環(huán)節(jié),然而卻都與誤差有關(guān),因此,三個(gè)不同屬性的環(huán)節(jié)之間一定存在內(nèi)在的必然聯(lián)系,而且一定是一個(gè)不可分割且有機(jī)統(tǒng)一的整體.SC-PID控制器中的速度因子zc >0正是將比例–積分–微分等三個(gè)不同屬性環(huán)節(jié)緊密耦合在一起的內(nèi)在關(guān)鍵因子.

2.3 SC-PD控制器設(shè)計(jì)

如果不考慮積分環(huán)節(jié),根據(jù)式(14)和(15)可得受控誤差系統(tǒng)為:

由受控誤差系統(tǒng)(19)定義SC-PD控制器模型為:

其中,zc >0是SC-PD控制器的速度因子.

基于SC-PD的閉環(huán)控制系統(tǒng)如圖3所示.

與傳統(tǒng)PD控制器相比,SC-PD控制器(20)的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)在于只有一個(gè)速度因子zc;其主要特色是通過zc將比例和微分兩個(gè)不同屬性的物理環(huán)節(jié)緊密耦合在一起來形成控制信號(hào),因此,SC-PD的增益整定規(guī)則為:

3 控制系統(tǒng)分析與自適應(yīng)速度因子

本文設(shè)計(jì)了SC-PI、SC-PID和SC-PD等三類自耦PID控制器,由這三類控制器分別構(gòu)成的閉環(huán)控制系統(tǒng)是否穩(wěn)定正是本文要重點(diǎn)研究的主要內(nèi)容之一.

圖2 基于SC-PID的閉環(huán)控制系統(tǒng)模型Fig.2 Closed loop control system based on SC-PID

圖3 基于SC-PD的閉環(huán)控制系統(tǒng)模型Fig.3 Closed loop control system based on SC-PD

3.1 控制系統(tǒng)分析

定理1.假設(shè)式(2)定義的總和擾動(dòng)有界:|d|<∞,則當(dāng)且僅當(dāng)速度因子zc>0時(shí),由式(11)定義的SC-PI 控制器組成的閉環(huán)控制系統(tǒng)是大范圍穩(wěn)定的,而且SC-PI 控制系統(tǒng)具有良好的抗總和擾動(dòng)魯棒性.

證明.

1)穩(wěn)定性分析

將式(11)定義的SC-PI 控制器代入式(10)所示的受控誤差系統(tǒng),可得閉環(huán)控制系統(tǒng):

顯然,閉環(huán)控制系統(tǒng)(22)是一個(gè)在總和擾動(dòng)d反相激勵(lì)下的誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng).考慮到初始狀態(tài):=0,對(duì)系統(tǒng)(22)取單邊拉普拉斯變換,并整理得:

其中,系統(tǒng)(23)的第一項(xiàng)是零輸入響應(yīng),第二項(xiàng)是零狀態(tài)響應(yīng).

由系統(tǒng)(23)可得閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為:

相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)為:

當(dāng)zc >0時(shí),則有:limt→∞h(t)=0.顯然,參數(shù)zc越大,h(t)→0的速度則越快,因此稱zc為速度因子,下同.當(dāng)zc >0時(shí),由于閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳輸函數(shù)唯一的雙重極點(diǎn)sp=?zc <0在S左半平面,因此,閉環(huán)控制系統(tǒng)(22)或(23)是大范圍穩(wěn)定的.

2)抗擾動(dòng)魯棒性分析

閉環(huán)控制系統(tǒng)(23)的時(shí)域解為:

當(dāng)zc >0時(shí),由于limt→∞h(t)=0,因此,只要|d|<∞,則必有下式成立:

理論分析表明,在式(11)定義的SC-PI 控制器作用下,被控系統(tǒng)(1)或(3)的跟蹤控制誤差e1=r?y可以從任意不為零的初始狀態(tài)e?1=0向穩(wěn)定的平衡點(diǎn)零點(diǎn)趨近,理論上可以實(shí)現(xiàn)精確控制.當(dāng)zc>0時(shí),由于e1(t)→0只與|d|<∞有關(guān),而與總和擾動(dòng)d的具體模型無關(guān),因此,SC-PI控制器具有良好的抗總和擾動(dòng)魯棒性.

上述復(fù)頻域分析和時(shí)域分析表明,當(dāng)速度因子zc >0時(shí),不僅由SC-PI 控制器組成的閉環(huán)控制系統(tǒng)是大范圍穩(wěn)定的,而且只要|d|<∞,跟蹤控制誤差可以從任意不為零的初始狀態(tài)向穩(wěn)定的平衡點(diǎn)零點(diǎn)趨近,因而具有良好的抗總和擾動(dòng)魯棒性.

定理2.假設(shè)式(5)定義的總和擾動(dòng)有界:|d|<∞,則當(dāng)且僅當(dāng)速度因子zc >0時(shí),由式(17)定義的SC-PID控制器組成的閉環(huán)控制系統(tǒng)是大范圍穩(wěn)定的,而且SC-PID控制器具有良好的抗總和擾動(dòng)魯棒性.

證明.

1)穩(wěn)定性分析

將式(17)定義的SC-PID控制器代入式(16)所示的受控誤差系統(tǒng),可得閉環(huán)控制系統(tǒng):

顯然,閉環(huán)控制系統(tǒng)(24)是一個(gè)在總和擾動(dòng)d反相激勵(lì)下的誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng).考慮到初始狀態(tài):

其中,系統(tǒng)(25)的第一項(xiàng)是零輸入響應(yīng),第二項(xiàng)是零狀態(tài)響應(yīng).

且閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為:

其單位沖激響應(yīng)為:

且

由于zc >0時(shí),閉環(huán)控制系統(tǒng)傳輸函數(shù)唯一的三重極點(diǎn)sp=?zc <0在S左半平面,因此,閉環(huán)控制系統(tǒng)(24)或(25)是全局漸近穩(wěn)定的.

2)抗擾動(dòng)魯棒性分析

閉環(huán)控制系統(tǒng)(24)或(25)的時(shí)域解為:

當(dāng)zc >0時(shí),由于:

因此,只要|d|<∞,則必有下式成立:

理論分析表明,在式(17)定義的SC-PID控制器作用下,被控系統(tǒng)(4)或(6)的跟蹤控制誤差e1=r?y及其微分可以從任意不為零的初始狀態(tài)向穩(wěn)定的平衡點(diǎn)原點(diǎn)(0,0)趨近,理論上可以實(shí)現(xiàn)精確控制.當(dāng)zc >0時(shí),由于(e1,e2)→(0,0)只與|d|<∞有關(guān),而與總和擾動(dòng)d的具體模型無關(guān),因此,SC-PID控制器具有良好的抗總和擾動(dòng)魯棒性.

上述復(fù)頻域分析和時(shí)域分析表明,當(dāng)速度因子zc >0時(shí),不僅由SC-PID控制器組成的閉環(huán)控制系統(tǒng)是大范圍穩(wěn)定的,而且只要|d|<∞,跟蹤誤差及其微分可以從任意不為零的初始狀態(tài)向穩(wěn)定的平衡點(diǎn)原點(diǎn)(0,0)趨近,因而具有良好的抗總和擾動(dòng)魯棒性.

定理3.假設(shè)式(5)定義的總和擾動(dòng)有界:|d|<∞,則當(dāng)且僅當(dāng)速度因子zc>0時(shí),由式(20)定義的SC-PD控制器組成的閉環(huán)控制系統(tǒng)是大范圍穩(wěn)定的,且SC-PD控制系統(tǒng)具有良好的抗總和擾動(dòng)魯棒性.

證明.

1)穩(wěn)定性分析

將式(20)定義的SC-PD控制器代入式(19)所示的受控誤差系統(tǒng),可得閉環(huán)控制系統(tǒng):

顯然,閉環(huán)控制系統(tǒng)(26)是一個(gè)在總和擾動(dòng)d反相激勵(lì)下的誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng).考慮到初始狀態(tài):對(duì)系統(tǒng)(26)取單邊拉普拉斯變換,并整理得:

其中,誤差系統(tǒng)(27)的第一項(xiàng)是零輸入響應(yīng),第二項(xiàng)是零狀態(tài)響應(yīng).

且閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為:

其單位沖激響應(yīng)為:

且

由于zc >0時(shí),閉環(huán)控制系統(tǒng)傳輸函數(shù)唯一的二重極點(diǎn)sp=?zc <0在S左半平面,因此,閉環(huán)控制系統(tǒng)(26)或(27)是大范圍穩(wěn)定的.

2)抗擾動(dòng)魯棒性分析

閉環(huán)控制系統(tǒng)(26)或(27)的時(shí)域解為:

當(dāng)zc >0時(shí),由于:

因此,只要|d|<∞,則必有下式成立:

理論分析表明,在式(20)定義的SC-PD控制器作用下,被控系統(tǒng)(4)或(6)的跟蹤控制誤差e1=r?y及其微分可以從任意不為零的初始狀態(tài)向穩(wěn)定的平衡點(diǎn)原點(diǎn)(0,0)趨近,理論上可以實(shí)現(xiàn)精確控制.當(dāng)zc >0時(shí),由于(e1,e2)→(0,0)只與|d|<∞有關(guān),而與總和擾動(dòng)d的具體模型無關(guān),因此,SC-PID控制系統(tǒng)具有良好的抗總和擾動(dòng)魯棒性.

上述復(fù)頻域分析和時(shí)域分析表明,當(dāng)速度因子zc >0時(shí),不僅由SC-PD控制器組成的閉環(huán)控制系統(tǒng)是大范圍穩(wěn)定的,而且只要|d|<∞,跟蹤誤差及其微分可以從任意不為零的初始狀態(tài)向穩(wěn)定的平衡點(diǎn)原點(diǎn)(0,0)趨近,具有良好的抗總和擾動(dòng)魯棒性.

3.2 自適應(yīng)速度因子

盡管上述三個(gè)定理都表明了只要總和擾動(dòng)有界:|d|<∞,且速度因子zc >0時(shí),分別由SC-PI、SCPID和SC-PD組成的閉環(huán)控制系統(tǒng)都是大范圍穩(wěn)定的,而且SC-PI、SC-PID和SC-PD等控制系統(tǒng)分別具有良好的抗擾動(dòng)魯棒性,同時(shí)也表明了三類控制器的速度因子zc具有很大的整定裕度.為了提高控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度和抗擾動(dòng)能力,要求zc越大越好.然而,如果zc太大,會(huì)使積分環(huán)節(jié)的增益權(quán)重很大,在動(dòng)態(tài)響應(yīng)初期,可能會(huì)因積分飽和而出現(xiàn)超調(diào)與振蕩現(xiàn)象.因此,在保證響應(yīng)速度快和抗擾動(dòng)能力強(qiáng)的同時(shí),為了避免因積分飽和問題出現(xiàn)超調(diào)與振蕩現(xiàn)象,本文設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)速度因子模型,即:

其中,0<α<100,β=1/Tt,Tt是由動(dòng)態(tài)過渡到穩(wěn)態(tài)的過渡過程時(shí)間.

為了便于實(shí)際應(yīng)用,對(duì)于快系統(tǒng)而言,通常在10<α<100范圍內(nèi)任意取值;對(duì)于慢系統(tǒng)而言,通常在1≤α≤10范圍內(nèi)任意取值.α越大,則響應(yīng)速度越快,抗擾動(dòng)能力越強(qiáng);否則反之.過渡過程時(shí)間Tt則由被控系統(tǒng)的時(shí)間尺度特性來確定:如果實(shí)際要求在1 s時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)態(tài)跟蹤控制,則取Tt=1 s,依次類推.

3.3 SC-PID控制器合理性分析

由式(29)可知,由于過渡過程時(shí)間Tt的量綱是秒(s),因此,速度因子zc的量綱是:s?1.以被控對(duì)象(6)為例,假設(shè)x1和x2分別表示位移(米:m)和速度(米/秒:ms?1),因而其量綱分別為:m和ms?1.設(shè)期望輸出為r,其量綱為:m,則有誤差及其積分和微分分別為:

誤差:e1=r?y,量綱:m;

積分:e0=e1dτ,量綱:ms;

下面定性分析SC-PID中4個(gè)不同環(huán)節(jié)的物理屬性:

顯然,SC-PID控制器中各個(gè)不同環(huán)節(jié)通過速度因子轉(zhuǎn)換后都成為相同的物理量綱:ms?2,即加速度量綱.假設(shè)系統(tǒng)增益系數(shù)b0的量綱為:kg?1,那么,控制信號(hào)u的量綱就是牛頓,因而控制信號(hào)u相當(dāng)于力的地位,或者說,也稱控制信號(hào)u為控制力.

上述僅是以位移運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)為例進(jìn)行類比定性分析,同樣,也可以使用轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行類比定性分析,在此不再一一列舉.

總之,本文提出的SC-PID控制器模型,明確了各個(gè)不同屬性的環(huán)節(jié)通過速度因子進(jìn)行量綱轉(zhuǎn)換后,都成為了力的屬性單元,并通過加權(quán)求和來形成控制器的合力.本文指出傳統(tǒng)PID控制律模型的不合理性,主要是針對(duì)三個(gè)獨(dú)立增益而言的,并不是否定PID的歷史地位及其歷史功績(jī),而是作者近年來心存以下質(zhì)疑:

1)比例增益、積分增益和微分增益究竟是什么屬性？

2)三者之間是否存在必然的關(guān)系？

3)如何整定三個(gè)增益？

4)控制信號(hào)u是什么屬性？

如何解決上述系列質(zhì)疑問題,正是作者近年來一直思考的問題.在控制過程中,由于比例、積分和微分等三個(gè)不同環(huán)節(jié)之間互相影響,不明確解決上述問題,增益參數(shù)的整定永遠(yuǎn)都是一個(gè)難題.本文提出的SC-PID控制器正是為了解決這些質(zhì)疑問題而問世的,它能夠使沒有任何控制理論基礎(chǔ)或沒有任何控制工程經(jīng)驗(yàn)的人都可以對(duì)陌生的被控對(duì)象進(jìn)行控制,因而也可稱之為傻瓜型控制理論方法.

4 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)與分析

為了驗(yàn)證本文提出的SC-PI、SC-PID和SCPD等三類控制方法的有效性,分別進(jìn)行下列仿真實(shí)驗(yàn).在仿真實(shí)驗(yàn)中,設(shè)期望軌跡分別為正弦信號(hào)和單位階躍信號(hào).考慮到SC-PID和SC-PD控制器都涉及到期望信號(hào)的微分信息,因此,針對(duì)期望軌跡為單位階躍信號(hào)的情況,使用如下過渡過程:

4.1 考慮一階非仿射非線性不確定系統(tǒng)[26?27]

其中,系統(tǒng)未知?jiǎng)討B(tài)為:

d1是幅值為±1的方波振蕩外部擾動(dòng).設(shè)總和擾動(dòng)為:d=f(x,u)+d1?b0u,給定初始狀態(tài)為x(0)=0.5,設(shè)α=63,β=1,則SC-PI控制器的自適應(yīng)速度為:

下列三個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)都使用相同的控制器參數(shù):

仿真實(shí)驗(yàn)1.SC-PI的正弦跟蹤控制

當(dāng)期望軌跡為正弦信號(hào)時(shí),即r(t)=0.5 sin(2t),使用SC-PI控制器的仿真結(jié)果如圖4所示.

圖4 SC-PI 的正弦跟蹤控制結(jié)果Fig.4 Sinusoidal tracking control results of SC-PI

下列所有仿真實(shí)驗(yàn)中的外部擾動(dòng)都與圖4(e)完全相同,為了節(jié)省篇幅,不再一一列出.

仿真實(shí)驗(yàn)2.SC-PI的階躍跟蹤控制

當(dāng)期望軌跡為單位階躍信號(hào)時(shí),使用SC-PI控制器的仿真結(jié)果如圖5所示.由圖4和圖5可知,同一個(gè)SC-PI控制器可以實(shí)現(xiàn)正弦跟蹤和階躍跟蹤兩種不同工況狀態(tài)的有效控制,不僅響應(yīng)速度快、控制精度高、無超調(diào)、無波動(dòng)、無抖振,而且具有很強(qiáng)的抗擾動(dòng)能力,理論研究結(jié)果和仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明了本文研究的SC-PI控制器是有效的.與文獻(xiàn)[26]和[27]相比,本文的SC-PI控制方法因免除了擾動(dòng)觀測(cè)器,使得控制器結(jié)構(gòu)更為簡(jiǎn)單,實(shí)時(shí)性更好.此外,文獻(xiàn)[26]和[27]只做了正弦跟蹤控制實(shí)驗(yàn),沒有進(jìn)行階躍跟蹤控制實(shí)驗(yàn).

圖5 SC-PI 的階躍跟蹤控制結(jié)果Fig.5 Step tracking control results of SC-PI

仿真實(shí)驗(yàn)3.時(shí)變系統(tǒng)的SC-PI階躍跟蹤控制

被控對(duì)象(30)中有三個(gè)模型參數(shù)1、0.1和0.5.假設(shè)這三個(gè)模型參數(shù)是時(shí)變的,且分別設(shè)為:

則一階非仿射非線性不確定系統(tǒng)(30)變?yōu)榉欠律浞蔷€性時(shí)變不確定系統(tǒng)(31)

使用同一套SC-PI控制器對(duì)時(shí)變系統(tǒng)(31)進(jìn)行階躍跟蹤控制實(shí)驗(yàn),結(jié)果如圖6所示.由圖6可知,使用同一套SC-PI控制器對(duì)時(shí)變系統(tǒng)(31)進(jìn)行階躍跟蹤控制實(shí)驗(yàn),仍然獲得了很好的控制效果,進(jìn)一步表明了本文研究的SC-PI控制器對(duì)系統(tǒng)時(shí)變性和外部擾動(dòng)具有很好的魯棒性.

4.2 考慮二階非仿射非線性不確定系統(tǒng)[26?27]

其中,d1為外部有界擾動(dòng).系統(tǒng)未知?jiǎng)討B(tài)為:

設(shè)總和擾動(dòng)為:d=f(x1,x2,u)+d1?b0u.給定初始狀態(tài)為x1(0)=x2(0)=0.5,設(shè)α=63,β=1,則SC-PID控制器的自適應(yīng)速度為:

(與SC-PI的自適應(yīng)速度完全相同).

下列三個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)都使用同一套控制器參數(shù):

仿真實(shí)驗(yàn)4.SC-PID的正弦跟蹤控制

設(shè)期望的正弦軌跡與仿真實(shí)驗(yàn)1的完全相同,使用SC-PID控制器的仿真結(jié)果如圖7 所示.

仿真實(shí)驗(yàn)5.SC-PID的階躍跟蹤控制

設(shè)期望的階躍軌跡與仿真實(shí)驗(yàn)2的完全相同,使用SC-PID控制器的仿真結(jié)果如圖8所示.由圖7 和圖8可知,同一套參數(shù)的SC-PID控制器可以實(shí)現(xiàn)正弦跟蹤和階躍跟蹤兩種不同工況狀態(tài)的有效控制,不僅響應(yīng)速度快、控制精度高、無超調(diào)、無波動(dòng)、無抖振,而且具有很強(qiáng)的抗擾動(dòng)能力,理論研究結(jié)果和仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明了本文研究的SC-PID控制器是有效的.與文獻(xiàn)[26]和[27]相比,本文的SC-PID控制方法因免除了擾動(dòng)觀測(cè)器,使得控制器結(jié)構(gòu)更為簡(jiǎn)單,實(shí)時(shí)性顯著提高.

仿真實(shí)驗(yàn)6.時(shí)變系統(tǒng)的SC-PID階躍跟蹤控制實(shí)驗(yàn)

被控對(duì)象(32)中未知?jiǎng)討B(tài)函數(shù):

圖6 時(shí)變系統(tǒng)的SC-PI 控制結(jié)果Fig.6 SC-PI control results for time-varying systems

圖7 SC-PID的正弦跟蹤控制結(jié)果Fig.7 Sinusoidal tracking control results of SC-PID

圖8 SC-PID的階躍跟蹤控制結(jié)果Fig.8 Step tracking control results of SC-PID

有5個(gè)系統(tǒng)模型參數(shù)1、1、0.1、0.15和1.假設(shè)這5個(gè)系統(tǒng)模型參數(shù)是時(shí)變的,且分別設(shè)為:

則二階非仿射非線性不確定系統(tǒng)(32)的未知?jiǎng)討B(tài)函數(shù)變?yōu)闀r(shí)變動(dòng)態(tài)函數(shù):

因而二階非仿射非線性不確定系統(tǒng)(32)變?yōu)槎A非仿射非線性時(shí)變不確定系統(tǒng).使用同一套SCPID控制器參數(shù)對(duì)時(shí)變系統(tǒng)(32)進(jìn)行階躍跟蹤控制實(shí)驗(yàn),結(jié)果如圖9所示.由圖9可知,使用同一套SC-PID控制器對(duì)時(shí)變系統(tǒng)(32)進(jìn)行階躍跟蹤控制實(shí)驗(yàn),仍然獲得了很好的控制效果,進(jìn)一步表明了本文研究的SC-PID控制器對(duì)系統(tǒng)時(shí)變性和外部擾動(dòng)具有很好的魯棒性.

上述6個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)表明,SC-PI 控制器和SC-PID控制器使用完全相同的自適應(yīng)速度因子zc=63[1?0.9 exp(?t)]分別控制兩類不同模型、不同屬性的被控對(duì)象,都獲得了很好的控制效果.不僅如此,本文研究的控制方法,控制律和控制器增益都與被控對(duì)象無關(guān),而PID控制器增益卻完全與被控對(duì)象相關(guān),對(duì)于不同的工況和不同的被控對(duì)象,PID及其各種改進(jìn)型PID的增益千差萬別.

為了驗(yàn)證SC-PD控制器的有效性,針對(duì)二階非仿射非線性不確定系統(tǒng)(32)分別進(jìn)行下列仿真實(shí)驗(yàn).

考慮到SC-PD缺少積分環(huán)節(jié),因此SC-PD的增益參數(shù)應(yīng)該取大一點(diǎn),即設(shè)α=83、β=1,則SCPD的自適應(yīng)速度因子為:zc=83[1?0.9 exp(?t)].

期望的正弦軌跡和階躍軌跡與上述實(shí)驗(yàn)的也完全相同.

仿真實(shí)驗(yàn)7.SC-PD的正弦跟蹤控制

使用SC-PD的正弦跟蹤控制結(jié)果如圖10所示.

仿真實(shí)驗(yàn)8.SC-PD的階躍跟蹤控制

使用SC-PD控制器的階躍跟蹤控制結(jié)果如圖11所示.

仿真實(shí)驗(yàn)9.時(shí)變系統(tǒng)的SC-PD階躍跟蹤控制

圖9 時(shí)變系統(tǒng)的階躍跟蹤控制結(jié)果Fig.9 Step tracking control results for TVS

圖10 SC-PD的正弦跟蹤控制結(jié)果Fig.10 Sinusoidal tracking control results of the SC-PD

為了驗(yàn)證SC-PD控制器對(duì)時(shí)變系統(tǒng)(TVS)控制的有效性,使用與仿真實(shí)驗(yàn)6完全相同的5個(gè)時(shí)變參數(shù),對(duì)非線性非仿射時(shí)變系統(tǒng)(32)進(jìn)行控制實(shí)驗(yàn),結(jié)果如圖12所示.由圖12可知,使用同一套SC-PD控制器參數(shù)對(duì)時(shí)變系統(tǒng)(32)進(jìn)行階躍跟蹤控制實(shí)驗(yàn),仍然獲得了很好的控制效果,進(jìn)一步表明了本文研究的SC-PD控制器對(duì)系統(tǒng)時(shí)變性和外部擾動(dòng)具有很好的魯棒性.

為了體現(xiàn)本文SC-PID控制器的創(chuàng)新性,下面分別使用在線自學(xué)習(xí)PID(包括PI)控制方法、在線自學(xué)習(xí)SMC控制方法以及ADRC方法進(jìn)行對(duì)比分析.其中,在線自學(xué)習(xí)PID控制方法參照文獻(xiàn)[16?17]進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn);在線自學(xué)習(xí)SMC控制方法參照文獻(xiàn)[26]進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn);ADRC方法則使用在線自學(xué)習(xí)PID+ESO來實(shí)現(xiàn).為了便于比較,四種控制器及其相關(guān)參數(shù)分別介紹如下:

1)SC-PI控制器:

其中,zc=63[1?0.9 exp(?t)];

2)在線自學(xué)習(xí)SMC控制器:

滑模函數(shù):s=e1;

ESO增益:β01=1 000,β02=6 000;

c1和c2在線更新算法如下:

其中,yu為雅可比信息[26?27],下同.

3)在線自學(xué)習(xí)PI控制器:

圖11 SC-PD的階躍跟蹤控制結(jié)果Fig.11 Step tracking control results of the SC-PD

kp和ki在線更新算法為:

4)在線自學(xué)習(xí)ADRC:

其中,

u0=kpe1+kie0,z2是總和擾動(dòng)估計(jì)值;

ESO增益:β01=1 000,β02=6 000;

kp和ki在線更新算法為:

仿真實(shí)驗(yàn)10.一階非仿射非線性系統(tǒng)的對(duì)比控制分析

針對(duì)被控系統(tǒng)(30),在初始狀態(tài)完全相同、單位階躍軌跡和外部擾動(dòng)也完全相同,b0=1,分別使用SC-PI控制器、在線自學(xué)習(xí)SMC、在線自學(xué)習(xí)PI控制器以及在線自學(xué)習(xí)ADRC等四種控制器的控制結(jié)果如圖13所示.由圖13可知,在控制精度和抗擾動(dòng)魯棒性方面,SC-PI、SMC和ADRC相當(dāng),而自學(xué)習(xí)PI 控制器存在明顯的差距.然而,與SMC和ADRC相比,SC-PI結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算量小,在實(shí)時(shí)性方面具有明顯優(yōu)勢(shì),由于自學(xué)習(xí)SMC和ADRC的抗擾動(dòng)魯棒性是依賴于ESO對(duì)總和擾動(dòng)的估計(jì)來實(shí)現(xiàn)的,如果缺少ESO功能部件,與自學(xué)習(xí)PI控制器一樣,它們的抗擾動(dòng)能力會(huì)明顯降低.

仿真實(shí)驗(yàn)11.二階非仿射非線性系統(tǒng)的對(duì)比控制分析

針對(duì)被控系統(tǒng)(32),在初始狀態(tài)完全相同、單位階躍軌跡和外部擾動(dòng)也完全相同.SC-PID、SMC、在線自學(xué)習(xí)PID以及在線自學(xué)習(xí)ADRC等四個(gè)控制器及其相關(guān)參數(shù)分別如下:

圖12 時(shí)變系統(tǒng)的階躍跟蹤控制結(jié)果Fig.12 Step tracking control results for TVS

1)SC-PID控制器:

其中,zc=63[1?0.9 exp(?t)];

2)SMC控制器:

且

3)在線自學(xué)習(xí)PID控制器:

在線更新算法如下:

其中,yu為雅可比信息[16?17],下同.

4)在線自學(xué)習(xí)ADRC:

其中,

u0=kpe1+kie0+kde2,z3是總和擾動(dòng)估計(jì)值;

ESO增益:

β01=1 000,β02=6 000,β03=30 000;

圖13 四種控制器的控制結(jié)果Fig.13 Control results of the four controllers

在線更新算法如下:

針對(duì)非線性非仿射不確定被控對(duì)象(32),SCPID、SMC、在線自學(xué)習(xí)PID以及在線自學(xué)習(xí)ADRC等四個(gè)控制器的仿真結(jié)果如圖14所示.

由圖14可知,在線自學(xué)習(xí)PID和ADRC都存在明顯的超調(diào)和波動(dòng)現(xiàn)象,而且由動(dòng)態(tài)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的過渡過程時(shí)間較長(zhǎng).由圖14(h)的外部擾動(dòng)可知,外部擾動(dòng)在6.284 s時(shí)刻發(fā)生從+1到?1的跳變.假設(shè)擾動(dòng)出現(xiàn)時(shí)刻,四種控制系統(tǒng)都處于穩(wěn)定狀態(tài),根據(jù)圖14(d)和圖14(e)的誤差局部放大圖可知,與其他三種方法相比,SC-PID具有高得多的穩(wěn)態(tài)精度(穩(wěn)態(tài)絕對(duì)誤差不超過5×10?8),而SMC、自學(xué)習(xí)PID以及ADRC的穩(wěn)態(tài)精度相當(dāng)(絕對(duì)誤差分別不超過2.8×10?3、5.1×10?3、2.4×10?3).顯然,SC-PID控制方法的穩(wěn)態(tài)精度是現(xiàn)有其他方法的十萬倍.

圖14 四種控制器的控制結(jié)果Fig.14 Control results of the four controllers

此外,當(dāng)擾動(dòng)出現(xiàn)以后,與其他三種方法相比,SC-PID在抗擾動(dòng)能力方面也同樣具有明顯的優(yōu)勢(shì),只需要約0.47 s即可快速恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài);而ADRC則需要約3.22 s才能恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài);自學(xué)習(xí)PID則需要約5.72 s才能恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài).盡管SMC抗擾動(dòng)能力較強(qiáng),而且恢復(fù)時(shí)間只需要0.82 s左右,然而卻一直存在約?6×10?4的固有靜態(tài)偏差.

通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比分析可知,與現(xiàn)有的PID、SMC和ADRC等三種控制方法相比,本文提出的SC-PID控制方法在響應(yīng)速度、穩(wěn)態(tài)精度以及抗擾動(dòng)能力等方面都具有明顯的優(yōu)勢(shì).

5 結(jié)論

本文提出的SC-PID控制器的主要思想是:

1)借鑒了韓京清先生的思想:將系統(tǒng)動(dòng)態(tài)不確定性(包括模型不確定性和參數(shù)不確定性)以及外部擾動(dòng)作為總和擾動(dòng),使非線性不確定系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性不確定系統(tǒng),因而淡化了線性與非線性、確定與不確定性、時(shí)變與時(shí)不變性、耦合與非耦合、仿射與非仿射等系統(tǒng)分類的概念;

2)借鑒了跟蹤微分器的模型思想,提出了SCPID控制器模型,進(jìn)而將一個(gè)非線性不確定系統(tǒng)或其等價(jià)的線性不確定系統(tǒng)的閉環(huán)控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為總和擾動(dòng)反相激勵(lì)下的誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng);

3)分別從復(fù)頻域和時(shí)域分析了由SC-PID控制器組成的閉環(huán)控制系統(tǒng)不僅具有大范圍穩(wěn)定性能,而且SC-PID還具有良好的抗總和擾動(dòng)魯棒性,因而從理論上保證了SC-PID(包括SC-PI 和SC-PD)控制器的有效性.

為了有效解決快速性與超調(diào)之間的矛盾,提出了自適應(yīng)速度因子模型,從而使SC-PID成為ASCPID.系列仿真實(shí)驗(yàn)不僅驗(yàn)證了SC-PID控制方法的有效性,而且也驗(yàn)證了理論分析的正確性.此外,還與現(xiàn)有改進(jìn)型PID、改進(jìn)型SMC以及ADRC進(jìn)行了比較分析,進(jìn)一步表明了SC-PID在模型結(jié)構(gòu)、響應(yīng)速度、控制精度以及抗擾動(dòng)魯棒性等方面的突出優(yōu)勢(shì).本文研究的不依賴于被控對(duì)象模型的SC-PID控制器的主要特色是:不僅控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單(只有一個(gè)速度因子)、計(jì)算量小(不需要在線優(yōu)化增益參數(shù)、不需要擾動(dòng)觀測(cè)器實(shí)時(shí)估計(jì)擾動(dòng)狀態(tài))、響應(yīng)速度快、控制精度高、抗擾動(dòng)能力強(qiáng)、無超調(diào)、無振蕩、無抖振,而且對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部不確定性、參數(shù)時(shí)變性以及外部擾動(dòng)都具有很好的魯棒性等突出優(yōu)勢(shì).SC-PI、SC-PID和SC-PD控制器的增益整定規(guī)則分別為現(xiàn)有運(yùn)行中PI、PID和PD控制器的增益整定結(jié)果進(jìn)行技術(shù)評(píng)估與技術(shù)升級(jí)提供了科學(xué)的理論依據(jù).