程立新，程慶進(jìn)

(廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 廈門 361005)

1 預(yù)備知識

眾所周知，緊集是拓?fù)淇臻g中重要的基本概念之一.如果考慮的拓?fù)淇臻g是賦范線性空間，那么它的閉單位球是緊集的(即每個序列都有一個收斂子列)充分必要條件是這個線性空間為有限維.對于一般Banach空間而言，它的緊集只能“幾乎”包含在有限維子空間之中，這個集類小到幾乎可以忽略不計(jì).此時，人們往往考慮用“弱緊性”來代替緊性.這樣它不僅可以保證一大類Banach空間——自反空間的每個有界集是相對弱緊的(即每個序列都有一個在弱拓?fù)湟饬x下的收斂子列)，這一概念還廣泛適用于一般的(無窮維)Banach空間.因此，弱緊集這一概念可以理解為自反空間的局部化.進(jìn)入20世紀(jì)70年代，James[1]、Enflo[2]和Pisier[3]等著名泛函分析學(xué)家對自反空間的研究發(fā)現(xiàn)，有一類性質(zhì)更好的Banach空間——超自反空間，除了具有自反性之外，還有很好的拓?fù)湫再|(zhì)以及在再賦范的意義下具有幾乎可以和Hilbert空間媲美的幾何性質(zhì).同時，這類空間并不“小眾”.例如，這類空間包括了最經(jīng)典而常用的Banach空間lp,Lp(1

Banach空間中的弱緊集理論已經(jīng)形成了一套相對完善的理論體系并在數(shù)學(xué)各分支中具有極其重要的應(yīng)用[11-12].超自反空間是通過有限維子空間的有限表示定義的，即一個Banach空間E被稱為超自反的，如果每個在E中有限表示的空間是自反的.自James[1]在1972年引入超自反空間的概念后，這類空間的研究便備受關(guān)注，在短短幾年間，泛函分析學(xué)家們就建立了此類空間的一些奠基性結(jié)果.例如：1972年James[1]證明了一個Banach空間E為超自反當(dāng)且僅當(dāng)其閉單位球BE不含有任意有限枝的樹；同年，Enflo[2]利用James樹特征定理，構(gòu)造性地證明了每個超自反空間均可再賦范成一致凸空間；1975年P(guān)isier[3]進(jìn)一步利用Banach空間值的鞅，從概率角度證明了每個超自反空間均可再賦范成一個具有指數(shù)型凸性模的一致凸空間.Enflo-Pisier再賦范定理被認(rèn)為是再賦范理論最為經(jīng)典和深刻的結(jié)果，是再賦范理論的里程碑.經(jīng)過近50年的發(fā)展，超自反空間理論已成為一個研究內(nèi)容多樣、結(jié)論豐富并具有廣泛應(yīng)用的研究領(lǐng)域.然而，一個自然的問題是怎樣把超自反空間這一概念局部化的？這是因?yàn)橐环矫鏋榱藢?shí)現(xiàn)理論系統(tǒng)的完善和完美性，需要一個正像弱緊集是自反空間的局部化；另一方面，在應(yīng)用上往往要求整個空間的超自反性的假設(shè)是不必要的甚至是不可能的.遺憾的是30多年來這一個概念并沒有被提出，究其原因，可能的困難點(diǎn)在于如何合理地將空間超自反概念中用到的“有限表示” 局部化到一般集合上.

近20年來，隨著粗幾何和非交換幾何以及非交換群論的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)超自反空間與粗幾何領(lǐng)域中一些亟待解決的重要問題(例如粗Novikov猜測)密切相關(guān)[13-17]，并產(chǎn)生了許多新的有趣問題.例如：2006年Kasparov等[13]證明了粗Novikov猜測對于可粗嵌入超自反空間的有界幾何成立.但隨后Lafforgue[15]和Mendel等[16]發(fā)現(xiàn)存在一類有界幾何(膨脹圖)不能粗嵌入任何的超自反空間.在此背景下，尋求使得有界幾何可粗嵌入超自反空間的條件成為一個自然的問題.本文第2作者在程立新老師指導(dǎo)下從2004年起開始超自反空間局部化問題的研究.想法是首先將超自反這一概念局部化，即提出合理的超弱緊集概念；然后研究超弱緊集嵌入超自反空間的條件并應(yīng)用到新型的粗嵌入中.主要研究這樣的一類有界幾何空間，它們可拉回到Banach空間單位球內(nèi)形成像超自反空間中的子集那樣具有某種“超性質(zhì)”的集合，分析清楚它們向超自反空間的一致嵌入問題，然后應(yīng)用到此類有界幾何向超自反空間的粗嵌入上.2007年Cheng等[18-19]發(fā)現(xiàn)，利用頂點(diǎn)在目標(biāo)集合中的“單形”來代替有限維子空間來定義集合的有限表示是“有限表示”的一個非常自然而適用的局部化概念.因此，超自反空間的局部化問題“單形”局部化了James有限表示的概念，進(jìn)而對Banach空間中的有界弱閉集引入了超自反空間的一個局部化概念，即超弱緊集，并建立了平行于超自反空間中有界子集的一系列性質(zhì)以及局部化的James-Enflo再賦范定理[20-21].

后來發(fā)現(xiàn)很多關(guān)于Banach空間特殊集合的概念可以與超弱緊集關(guān)聯(lián)起來，最早可追溯到20世紀(jì)70年代.1976年Beauzamy[22]將空間的超自反性推廣到兩個Banach空間之間的線性算子上，引入了“一致可凸化”(法文稱“uniformément convexifiant”)算子的概念，并建立了算子版的James-Enflo定理，更多算子版的推廣概念可參見文獻(xiàn)[23-26].2008年Raja[27]通過局部化Lancien[28]的指標(biāo)性質(zhì)，在Banach空間中的一個有界閉凸集上定義了有限指標(biāo)性質(zhì)，并證明此類集合上可再賦“一致凸”范數(shù)；2009年Fabian等[29]通過局部化Lancien的對偶指標(biāo)性質(zhì)，在Banach空間中的一般有界子集上引入有限對偶指標(biāo)性質(zhì)，證明了此類集合上可再賦某種“一致M-可微”范數(shù).2018年Cheng等[21]系統(tǒng)地研究了一般超弱緊集的性質(zhì)，特別是發(fā)現(xiàn)了對一個有界閉凸集而言Raja的有限指標(biāo)性質(zhì).Fabian等[29]的有限對偶指標(biāo)性質(zhì)和本課題組的超弱緊集這3個概念是等價的，并且一個算子T:X→Y為一致可凸化算子當(dāng)且僅當(dāng)TBX為Y的一個相對超弱緊集.目前，超弱緊集這一概念已被認(rèn)為是超自反空間的一個合理、統(tǒng)一、恰當(dāng)?shù)木植炕拍頪30]并被廣泛研究.研究表明超弱緊集廣泛存在于非超自反空間環(huán)境中，這類集合很好地遺傳了超自反空間的幾何和拓?fù)湫再|(zhì)，并與歷史上一些經(jīng)典的概念例如一致Eberlein緊、不動點(diǎn)、Banach-Saks性質(zhì)、一致弱零集等有著密切的關(guān)系.最近的一些文獻(xiàn)[21,31]表明，超弱緊集理論正成為一個活躍的研究方向.

本文簡要介紹超弱緊集的研究進(jìn)展，重點(diǎn)介紹超弱緊集的兩個嵌入定理以及超弱緊凸集上的Enflo再賦范定理，最后給出尚待解決的問題.

2 超弱緊集的定義和基本性質(zhì)

2.1 集合的有限表示和超冪

(1-ε)‖x-y‖≤‖Tx-Ty‖≤

(1+ε)‖x-y‖,?x,y∈aff(Sn).

(1)

易知Banach空間X在Banach空間Y中有限表示，當(dāng)且僅當(dāng)相應(yīng)單位球BX在BY中有限表示.

Banach空間的超冪(ultraprower)是一個用無限維方法研究有限表示的合適工具.設(shè)U為自然數(shù)集N上的一個自由超濾子，空間XU表示Banach空間X關(guān)于U的超冪空間.XU中的(等價類)元素將用[(xn)]或(xn)u表示，這里代表元(xn)∈(∑n∈N?X)∞.對集合A?X，其超冪為

xn∈A(n∈N)}.

集合的超冪與有限表示有著密切的關(guān)系[21]:設(shè)A為Banach空間X的一個非空集，U為自然數(shù)集N上的一個自由超濾子，則AU在A中有限表示.該結(jié)果在后面的研究中起到了非常關(guān)鍵的作用.

2.2 超弱緊集的基本性質(zhì)

類似于James引入超自反空間的概念，可以自然地引入超弱緊集的定義：稱Banach空間X中的一個子集A是相對超弱緊的，如果每個可在A中有限表示的Banach空間Y中的集合B是相對弱緊的，特別地，如果A還是弱閉的，此時稱A為超弱緊的.

根據(jù)超弱緊集的定義有：1)一個Banach空間為超自反的當(dāng)且僅當(dāng)其閉單位球?yàn)槌蹙o的；2)超自反空間中的每個有界集為相對超弱緊的；3)Banach空間中的每個緊集為超弱緊的.弱緊和超弱緊之間的關(guān)系可以通過如下的超冪得到[21]:A是Banach空間X的一個非空子集，則A是(相對)超弱緊的當(dāng)且僅當(dāng)對自然數(shù)集N上的某個自由超濾子U，有AU是(相對)弱緊的.

(ii)設(shè)A?c0滿足對每個ε>0，存在Nε∈N使得

#{n∈N:|x(n)|≥ε}

其中#B表示集合B的勢.則A為相對超弱緊集.

例2對任何測度空間(Ω,μ)，則L1(Ω,μ)中的每個弱緊集均為超弱緊的.

需要注意的是在c0中存在著弱緊而非超弱緊的子集[21].這表明只要K為無限緊集，則連續(xù)函數(shù)空間C(K)上總存在弱緊而非超弱緊集.這是由于c0總是線性同胚于C(K)的一個閉子空間[33].到目前為止，還沒有c0中超弱緊集的特征化定理.

2.3 超弱緊集的特征

James引入的樹性質(zhì)[1]是刻畫超自反性的一個非常有用的幾何工具，James樹定理表明一個Banach空間是超自反的當(dāng)且僅當(dāng)其閉單位球不具有有限樹性質(zhì).超弱緊集也具有James型的樹特征定理：設(shè)A?X是一個有界集，則A是相對超弱緊的當(dāng)且僅當(dāng)A不具有有限樹性質(zhì).

弱緊集的Grothendieck定理表明Banach空間X的一個子集A是相對弱緊的，當(dāng)且僅當(dāng)對每個ε>0存在一個相對弱緊集B使得A?B+εBX.這一準(zhǔn)則對超弱緊集仍然成立[21]:Banach空間X的一個子集A是相對超弱緊的，當(dāng)且僅當(dāng)對每個ε>0存在一個相對超弱緊集B使得A?B+εBX.這一準(zhǔn)則也是判定一個集合為超弱緊的一個有用工具.

前面的結(jié)果表明判定一個集合A的超弱緊性可通過A的超冪AU的弱緊性來反映，而著名的James定理表明，AU的弱緊性可由超冪的對偶空間(XU)*中的泛函在AU上的上確界的可達(dá)性來刻畫.但對一個非超自反空間X而言，它的超冪的對偶空間(XU)*要嚴(yán)格的大于(X*)U，這意味著(XU)*中存在許多未知或者不可表示的元素，這給利用James定理來研究AU的弱緊性帶來了很大困難.然而，James對弱緊性給出了一個純粹從自身出發(fā)的序列特征刻畫[34]，Cheng等[21]證明了超弱緊性也具有類似的James型序列特征，這對于超弱緊集的刻畫是極其有用的：設(shè)A是Banach空間X中的一個 子集，則A不是相對超弱緊的當(dāng)且僅當(dāng)A具有一致有限的可分離性質(zhì)，即存在θ>0使得對每個n∈N，可找到{x1,x2,…,xn}?A滿足

dist(co{x1,…,xj}, co{xj+1,…,xn})≥θ，(?1≤

j

上面提供的超弱緊性的3類特征，再加上相對超弱緊性對有界線性算子的保持性，是判定一個集合為超弱緊的重要依據(jù).

3 超弱緊集的嵌入

3.1 線性嵌入

Banach空間的局部嵌入問題早在20世紀(jì)70年代就引起了人們的關(guān)注，最具代表性的結(jié)果是Davis-Figiel-Johnson-Pelczynski嵌入定理[35]:Banach空間中的每個弱緊集均可線性弱嵌入進(jìn)某個自反Banach空間.這一結(jié)果直接來自于著名的Davis-Figiel-Johnson-Pelczynski插值引理[35]，2007年本課題組[18-20]發(fā)現(xiàn)此引理中弱緊集的弱嵌入可以改進(jìn)為強(qiáng)嵌入:Banach空間中的每個弱緊集均可線性一致嵌入某個自反Banach空間[36].

對比弱緊集合的嵌入，一個自然的問題是每個超弱緊集是否可線性嵌入某個超自反空間？遺憾的是，答案是否定的.事實(shí)上從超弱緊凸集出發(fā)，按照Davis-Figiel-Johnson-Pelczynski插值引理產(chǎn)生的自反Banach空間Y—般不再是超自反的.特別地，2016年Raja[30]舉出反例表明存在超弱緊集不能線性弱嵌入進(jìn)任何超自反Banach空間.

利用Enflo構(gòu)造一致凸范數(shù)的技術(shù)以及聯(lián)合超弱緊集的Grothendieck型定理和本課題組修改版的Davis-Figiel-Johnson-Pelczynski引理，得到每個超弱緊集可線性一致嵌入某個自反且相對一致凸空間[18-20].設(shè)K是Banach空間(X,‖·‖)的一個超弱緊凸集，則存在自反Banach空間(Y,|·|)使得：

(i)K?B(Y,|·|)?X.

2(|xn|2+|yn|2)-|xn+yn|2→0，

那么‖xn-yn‖→0.

(iii)限制在集合K上，范數(shù)|·|和‖·‖生成的拓?fù)涫且恢碌?特別地，(K,|·|)是一致凸的.

3.2 非線性嵌入

如果將線性嵌入減弱為非線性嵌入，則可獲得超弱緊集的弱嵌入定理，這特別給出了一致Eberlein緊的拓?fù)淇坍?回顧相關(guān)事實(shí)，1968年Amir等[37]引入了Eberlein緊的概念:一個緊Hausdorff空間K被稱為是Eberlein緊的，如果K拓?fù)渫哂谝粋€Banach空間中的一個弱緊集(在弱拓?fù)湟饬x下).著名的Amir-Lindenstrauss結(jié)構(gòu)定理[37]表明：一個Hausdorff拓?fù)淇臻gK為Eberlein緊的，當(dāng)且僅當(dāng)存在某個指標(biāo)集Γ使得K同胚于c0(Γ)中的某個弱緊集.

他們也舉出了Banach空間中存在弱緊集為Eberlein緊而非一致Eberlein緊的例子.更多一致Eberlein緊的研究可參見文獻(xiàn)[39-41].對比Eberlein緊和弱緊集的關(guān)系，自然的問題是研究一致Eberlein緊與超弱緊集的關(guān)系.對此問題，首先在2008年，Raja利用Davis-Figiel-Johnson-Pelczynski定理[35]及Fabian等[40]關(guān)于Banach空間對偶單位球?yàn)橐恢翬berlein緊的特征定理，證明了每個具有有限指標(biāo)性質(zhì)的有界閉凸集(也就是現(xiàn)在的超弱緊凸集)為一致Eberlein緊的；這再聯(lián)合本課題組[32]證明的超弱緊集合的閉凸包仍為超弱緊的以及Benyamini等[37]的結(jié)果，便得到超弱緊集的弱嵌入定理：每個超弱緊集都可以弱嵌入某個超自反空間(或等價的，弱嵌入某個Hilbert空間).

3.3 超弱緊凸集上的Enflo再賦范定理

現(xiàn)在考慮凸的超弱緊集.研究表明在凸集的情況下，超弱緊集具有更好的幾何和拓?fù)湫再|(zhì).此時，凸的超弱緊集繼承了超自反空間那些涉及“良好”范數(shù)和“良好”凸函數(shù)等存在性的更加深刻的性質(zhì)，例如凸的超弱緊集上的Enflo再賦范定理成立，這一結(jié)果是超弱緊集理論的核心結(jié)果之一，以此結(jié)果為基礎(chǔ)，可進(jìn)一步產(chǎn)生凸的超弱緊集的指標(biāo)特征等結(jié)果；此外，有例子表明，有些超弱緊的性質(zhì)中凸性是必要的假設(shè)條件[42].

James[1]在1972年證明了每個一致凸空間是超自反的；反之，Enflo[2]證明了每個超自反空間X均可找到一個等價范數(shù)|·|使(X,|·|)為一致凸空間(此時稱X可一致凸化).隨后在1975年，Pisier[3]將Enflo的再賦范定理改進(jìn)為定量化的結(jié)果.自20世紀(jì)70年代開始，人們從各種不同的角度出發(fā)去推廣和局部化Enflo和Pisier再賦范定理.例如1976年Beauzamy[22]引入了一致可凸化算子的概念并建立了算子版的James-Enflo再賦范結(jié)果，但Pisier[3]指出一致可凸化算子不一定可再賦指數(shù)型凸性模；1995年Lancien[28]利用Banach空間單位球及其對偶單位球的Szlenk指標(biāo)和弱Szlenk指標(biāo)給出了Pisier再賦范定理的一個簡單而且是幾何途徑的證明.

2007年Cheng等[20]從超弱緊凸集不具有有限樹性質(zhì)出發(fā)，充分利用Enflo構(gòu)造一致凸范數(shù)的技術(shù)以及超弱緊集的強(qiáng)嵌入定理，得到了 James-Enflo再賦范定理的局部版:設(shè)K為Banach空間X的一個有界閉凸集，則K為超弱緊的(當(dāng))且僅當(dāng)存在X上的一個等價范數(shù)|·|使得(K,|·|)是一致凸的，也就是如果xn,yn∈K滿足

2(|xn|2+|yn|2)-|xn+yn|2→0,

那么|xn-yn|→0.

受Lancien指標(biāo)途徑的再賦范結(jié)果啟發(fā)，Raja[27]和Fabian等[29]將Lancien的指標(biāo)性質(zhì)局部化到一般集合上，并建立了Enflo形式的再賦范結(jié)果：

1)設(shè)K是Banach空間X的一個有界閉凸集合，如果K具有有限指標(biāo),那么在X上存在一個等價范數(shù)|·|使得(K,|·|)是一致凸的；2)如果有界閉凸集K具有有限指標(biāo)性質(zhì)，那么在X上存在一個等價范數(shù)|·|使得(K,|·|)是一致Gateaux光滑的.

利用關(guān)于超弱緊凸集上的再賦范結(jié)果，可以證明對于凸集而言，Raja[27]引入的有限指標(biāo)性質(zhì)和Fabian等[29]引入的有限對偶指標(biāo)性質(zhì)與超弱緊集的概念是等價的.因此超弱緊凸集的等價特征為：設(shè)K為Banach空間X中的一個有界閉凸集，則以下條件等價[20-21,27,43-44]: 1)K為超弱緊集；2)K具有有限指標(biāo)性質(zhì)；3)K具有有限對偶指標(biāo)性質(zhì)；4)K不具有有限樹性質(zhì)；5)K可再賦范具有一致凸性；6)K具有Δ-凸函數(shù)逼近性質(zhì)；7)K不具有一致有限雙正交性質(zhì)；8)K具有超Banach-Saks性質(zhì)；9)K可再賦范具有M-一致Gateaux光滑性；10)K對仿射等距具有超不動點(diǎn)性質(zhì).

4 尚待解決的問題

1)是否每個超弱緊集可一致嵌入某個超自反空間或者Hilbert空間？

2)如果由有界幾何生成的超弱緊集可一致嵌入某個超自反空間或者Hilbert空間，那么是否蘊(yùn)含了有界幾何本身可粗嵌入某個超自反空間或者Hilbert空間？

注意上面問題1)中，如果超弱緊集為內(nèi)部不空的，例如為超自反空間的單位球時，其是否可一致嵌入某個Hilbert空間是Banach空間理論中的一個長期的公開問題[45].最近Cheng等[42]研究了超弱緊凸集上的絕對一致收縮，Lancien等[31]建立了超弱緊集上的Bourgain、Johnson和Schechtman型的度量特征.

最后需要指出問題2)是本課題組引入超弱緊集的最初的動機(jī)之一，目前盡管超弱緊集理論的框架已基本構(gòu)成，但超弱緊集的一致嵌入問題及其在粗幾何中的應(yīng)用(特別是問題2))至今還沒有好的結(jié)果，問題1)和問題2)將是本課題組以后關(guān)注和研究的問題.

致謝：感謝廈門大學(xué)泛函分析團(tuán)隊(duì)的探討和支持！