陳建達(dá)，鄭友琦，杜夏楠，吳宏春

(西安交通大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，西安710049)

反應(yīng)堆中的釋熱由中子釋熱和光子釋熱2部分組成[1]。在傳統(tǒng)的金屬冷卻快增殖堆中，光子釋熱約占總釋熱的13%[2]。不同類型的組件中，光子的釋熱份額各不相同。在非燃料區(qū)且中子通量密度較低的區(qū)域，如反射層組件、控制棒、屏蔽層和結(jié)構(gòu)材料等，幾乎所有的釋熱都來(lái)自光子的貢獻(xiàn)。傳統(tǒng)的釋熱計(jì)算，或僅考慮中子的釋熱貢獻(xiàn)，或假定光子不進(jìn)行輸運(yùn)就地沉積，均會(huì)低估非燃料區(qū)的釋熱水平。在快堆的核設(shè)計(jì)中，熱應(yīng)力計(jì)算、冷卻劑流量分配和非燃料組件的釋熱率計(jì)算等均涉及光子的釋熱率分布，迫切需要開發(fā)一個(gè)適用于快堆核設(shè)計(jì)的光子釋熱率計(jì)算程序。

SARAX-LAVENDER,簡(jiǎn)稱LAVENDER,是西安交通大學(xué)NECP實(shí)驗(yàn)室自主研發(fā)的適用于先進(jìn)反應(yīng)堆中子學(xué)分析系統(tǒng)的堆芯計(jì)算程序[3-4]，具有針對(duì)快堆特點(diǎn)的臨界計(jì)算、燃耗計(jì)算、反應(yīng)性計(jì)算、臨界棒位搜索、重啟動(dòng)和換料等功能，尚不具備求解中子-光子耦合輸運(yùn)方程和精確計(jì)算堆內(nèi)光子釋熱率分布的功能。本文基于中子輸運(yùn)理論、光子輸運(yùn)理論和中子-光子數(shù)據(jù)庫(kù)的制作，開發(fā)了中子-光子耦合輸運(yùn)模塊和利用比釋動(dòng)能因子精確計(jì)算堆內(nèi)光子釋熱率分布與總釋熱率分布的計(jì)算模塊，并對(duì)比分析了設(shè)計(jì)模塊與HYDRA程序及蒙特卡羅程序的計(jì)算結(jié)果。

1 理論模型和計(jì)算流程

1.1 多群中子-光子數(shù)據(jù)庫(kù)的制作

用于LAVENDER輸運(yùn)計(jì)算的多群中子-光子耦合數(shù)據(jù)庫(kù)結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中,對(duì)于大部分核素，(γ,n)截面一般為0，所以,光子與材料發(fā)生反應(yīng)所產(chǎn)生的中子對(duì)中子源的貢獻(xiàn)很小，可以忽略不計(jì)。因此在中子輸運(yùn)過(guò)程中，可以不考慮(γ,n)截面所帶來(lái)的影響。

在裂變反應(yīng)堆中，光子的產(chǎn)生途徑主要是中子與靶核發(fā)生作用，靶核退激后放出光子。中子產(chǎn)生光子的主要反應(yīng)道，如表1所列。

圖1 多群中子-光子耦合數(shù)據(jù)庫(kù)結(jié)構(gòu)[5]Fig.1 Arrangement of multi-group neutron(n) andgamma(γ) cross sections in a coupled transport table[5]

表1 中子產(chǎn)生光子的反應(yīng)道Tab.1 Gamma production through neutron reaction

光原子截面是光子與核外電子發(fā)生相互作用概率大小的量度，不具有共振現(xiàn)象，制作光原子截面時(shí)僅需對(duì)核數(shù)據(jù)評(píng)價(jià)庫(kù)中的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性化處理和能群歸并。且多群光原子截面依賴于元素，即同一元素的所有同位素具有相同的光原子截面，所以，在加工光原子截面時(shí)，僅需使用核數(shù)據(jù)加工程序NJOY對(duì)不同的元素進(jìn)行處理。在中子-光子耦合輸運(yùn)過(guò)程中，需要使用的多群光原子截面包括光子總截面、相干散射矩陣、非相干散射矩陣和電子對(duì)產(chǎn)生矩陣。

用于輸運(yùn)計(jì)算的多群中子截面是由少群常數(shù)產(chǎn)生程序SARAX-TULIP(TULIP)制作產(chǎn)生的。TULIP程序從點(diǎn)截面數(shù)據(jù)庫(kù)和多群數(shù)據(jù)庫(kù)出發(fā)，利用超細(xì)群方法處理共振，采用碰撞概率方法進(jìn)行組件的輸運(yùn)計(jì)算[6]。TULIP程序已經(jīng)過(guò)多個(gè)基準(zhǔn)題驗(yàn)證，可滿足快堆的計(jì)算精度要求。

在進(jìn)行釋熱率分布計(jì)算時(shí)，需要使用中子和光子各自的比釋動(dòng)能(kinetic energy released in material， KERMA)因子[7]。本文通過(guò)NJOY程序制作產(chǎn)生光子和中子各自的KERMA因子。光子不存在共振效應(yīng)，且截面不隨背景截面和溫度而發(fā)生變化，因此，通過(guò)NJOY程序加工后的光子KERMA因子，可以直接用于計(jì)算堆芯的光子釋熱率。中子存在極為復(fù)雜的共振效應(yīng)，需要對(duì)NJOY程序加工后的結(jié)果進(jìn)行處理，才能得到考慮自屏的中子KERMA因子kn，用于計(jì)算反應(yīng)堆內(nèi)的中子釋熱率。kn的計(jì)算公式為

定義 2[9] Hom-Jordan李代數(shù)(L,[·,·]L,α,δ)由空間L,一個(gè)二元雙線性運(yùn)算L×L→L滿足

(1)

其中，kn(NJOY)為用NJOY程序加工后的與背景截面和溫度相關(guān)的KERMA因子；σn(NJOY)為用NJOY程序加工后的與背景截面和溫度相關(guān)的中子微觀截面；σn(TULIP)為組件程序TULIP產(chǎn)生的有效自屏中子截面。

中子釋熱率與光子釋熱率相加，即為堆芯內(nèi)的總釋熱率。

1.2 功率計(jì)算

LAVENDER程序中的中子釋熱率和光子釋熱率計(jì)算流程，如圖2所示。LAVENDER程序采用離散節(jié)塊方法求解中子輸運(yùn)方程，基本出發(fā)點(diǎn)是對(duì)中子通量密度的角度分布在一些離散的方向上進(jìn)行求解，在空間度量上，采用粗網(wǎng)節(jié)塊和節(jié)塊內(nèi)的多項(xiàng)式展開進(jìn)行離散。

首先，通過(guò)材料和幾何信息求解中子輸運(yùn)方程，獲得各個(gè)節(jié)塊的33群中子通量密度φi,g，其中，i,g分別為空間節(jié)塊編號(hào)和能群編號(hào)。

其次，求解式(2)得到各個(gè)節(jié)塊的光子源項(xiàng)。

(2)

其中，Ni,e為第i個(gè)節(jié)塊核素e的核子密度；σi,e,x,g為TULIP程序產(chǎn)生的關(guān)于x反應(yīng)的多群微觀中子截面；χe,x(g,gγ)為光子產(chǎn)生截面，表示第g群中子與核素e發(fā)生x反應(yīng)產(chǎn)生第gγ群光子的概率。

將計(jì)算得到的Si,gγ當(dāng)作固定源，并對(duì)散射源項(xiàng)和光子總截面進(jìn)行輸運(yùn)修正處理[8]。

(3)

(4)

σtr,s,gγ→gγ′=σs,0,gγ→gγ′(gγ′≠gγ)

(6)

圖2 LAVENDER程序中的中子釋熱率和光子釋熱率計(jì)算流程Fig.2 Flow chart of detailed neutron- and γ-heating calculations in LAVENDER

盡管光子具有波粒兩重性，但一般在光子能量極低的情況下才表現(xiàn)出波的特性。在核能領(lǐng)域中，可將光子當(dāng)作中性點(diǎn)粒子進(jìn)行處理，光子在介質(zhì)內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可不考慮其受核的電磁作用力的影響，也可忽略量子力學(xué)效應(yīng)，光子在介質(zhì)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)符合玻耳茲曼方程。因此，可以仿照中子輸運(yùn)方程，得到多群穩(wěn)態(tài)光子輸運(yùn)修正方程為

其中，Σtr,gγ為宏觀輸運(yùn)修正總截面；Σtr,s,gγ′→gγ為宏觀輸運(yùn)修正散射截面；Ωm為運(yùn)動(dòng)的單位方向矢量；Ψm,gγ為光子角通量密度；φgγ′為光子通量密度；Sgγ′為外光子源項(xiàng)。中子-光子耦合輸運(yùn)計(jì)算中有2種耦合方式：一是在中子輸運(yùn)迭代收斂后，先利用收斂的中子通量密度分布進(jìn)行光子源項(xiàng)計(jì)算，再使用光子源項(xiàng)進(jìn)行光子輸運(yùn)計(jì)算；二是中子輸運(yùn)和光子輸運(yùn)耦合迭代，考慮光子輸運(yùn)對(duì)中子源項(xiàng)的貢獻(xiàn)，但對(duì)大部分核素，由于光子產(chǎn)生中子的截面一般為零，故光子對(duì)中子源項(xiàng)的貢獻(xiàn)很小可以忽略不計(jì)。因此，2種耦合方式的計(jì)算結(jié)果相差很小，本文LAVENDER程序中使用第1種耦合方式。

通過(guò)數(shù)值求解中子-光子耦合輸運(yùn)方程，可以得到33群的中子通量密度φi,g和36群的光子通量密度φi,gγ。則中子釋熱率、光子釋熱率和總釋熱率的計(jì)算公式為

(8)

(9)

Hi=Hi,n+Hi,γ

(10)

其中，Hi,n,Hi,γ分別為第i個(gè)節(jié)塊的中子釋熱率和光子釋熱率，W·cm-3；kn,e,x,g為核素e發(fā)生x反應(yīng)的中子KERMA因子；kγ,e,gγ為核素e的光子KERMA因子；Hi為第i個(gè)節(jié)塊的總釋熱率， W·cm-3。

2 數(shù)值結(jié)果與分析

為驗(yàn)證中子-光子輸運(yùn)模塊的正確性，選擇一個(gè)全反射堆芯作為算例。堆芯布置如圖3所示。其中，中間材料為燃料，外圈為反射層，整個(gè)堆芯由20×20×20個(gè)節(jié)塊組成。

LAVENDER程序具有使用其他數(shù)據(jù)庫(kù)截面的功能，因此，使用BUGLE96數(shù)據(jù)庫(kù)的中子-光子截面，對(duì)算例的keff和歸一化光子通量密度進(jìn)行計(jì)算，并與中子-光子耦合輸運(yùn)程序HYDRA[9]的相應(yīng)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證LAVENDER程序中子-光子輸運(yùn)模塊的正確性。HYDRA程序是NECP實(shí)驗(yàn)室開發(fā)的基于細(xì)網(wǎng)差分的大規(guī)模并行計(jì)算程序，具備壓水堆pin-by-pin計(jì)算、堆外探測(cè)器響應(yīng)函數(shù)計(jì)算、屏蔽計(jì)算和中子-光子耦合輸運(yùn)計(jì)算等功能。圖4為堆芯虛線上所有組件的歸一化光子通量密度分布。

圖3 全反射堆芯布置Fig.3 Core configuration with reflective boundarycondition imposed on all boundaries

圖4 堆芯虛線上所有組件的歸一化光子通量密度分布Fig.4 The normalized gamma flux density distribution of all assemblies on the vertical line of the core

由圖4可見，用LAVENDER程序和HYDRA程序計(jì)算的歸一化光子通量密度基本相同，對(duì)于大部分節(jié)塊，這2種程序計(jì)算結(jié)果的相對(duì)偏差均小于1%；相對(duì)偏差極大值約為4.3%，出現(xiàn)在材料交界處的節(jié)塊中，這主要是由于HYDRA程序與LAVENDER程序在材料交界處的網(wǎng)格劃分粗細(xì)程度不同造成的。

在使用同一套截面數(shù)據(jù)下，用LAVENDER程序和HYDRA程序計(jì)算得到的keff分別為2.206 09和2.206 49，二者的相對(duì)偏差為0.018%。

為了驗(yàn)證LAVENDER程序中子-光子截面庫(kù)和釋熱率計(jì)算模塊的適用性和合理性，用LAVENDER程序和MCNP程序分別對(duì)圖5所示堆芯各個(gè)組件的歸一化光子釋熱率和歸一化總釋熱率進(jìn)行了計(jì)算。圖5堆芯內(nèi)區(qū)包含20根燃料組件和5根控制棒，在燃料外圍布置2圈共56根增殖組件，在堆芯最外區(qū)布置88根反射層組件。由于該堆芯是1/8對(duì)稱，因此，只需對(duì)1/8堆芯進(jìn)行計(jì)算。

圖5 對(duì)稱堆芯布置Fig.5 Configuration of symmetrical core

圖6給出了LAVENDER程序與MCNP程序計(jì)算的歸一化光子釋熱率分布對(duì)比。

圖6 LAVENDER程序與MCNP程序計(jì)算的歸一化光子釋熱率分布對(duì)比Fig.6 Normalized gamma-heating distributions calculatedby LAVENDER and MCNP, respectively

由圖6可見，LAVENDER程序與MCNP程序計(jì)算的堆芯內(nèi)的歸一化光子釋熱率分布大致相同，二者的相對(duì)偏差均小于3.4%。

圖7給出了LAVENDER程序和MCNP程序計(jì)算的歸一化總釋熱率分布對(duì)比。

由圖7可見，2種程序計(jì)算結(jié)果的最大相對(duì)偏差出現(xiàn)在最邊角的組件上，約為10.5%；對(duì)于其他邊界組件，相對(duì)偏差均小于8.2%；對(duì)于內(nèi)區(qū)的燃料組件、增殖組件和控制棒組件，最大相對(duì)偏差均小于3%。分析認(rèn)為， 2種程序計(jì)算結(jié)果之間的偏差主要來(lái)自中子釋熱的計(jì)算， 可能是由于LAVENDER程序中計(jì)算中子釋熱的KERMA因子與MCNP程序中計(jì)算中子釋熱的能量轉(zhuǎn)移截面不同造成的。最邊角組件的釋熱絕對(duì)值低，導(dǎo)致相對(duì)偏差較大。

圖7 LAVENDER程序與MCNP程序計(jì)算的歸一化總釋熱率分布對(duì)比Fig.7 Normalized total-heating distributions calculatedby LAVENDER and MCNP, respectively

表2給出了LAVENDER程序和MCNP程序計(jì)算的各類型組件及堆芯的光子釋熱份額。

表2 利用LAVENDER程序和MCNP程序計(jì)算的各類型組件及堆芯的光子釋熱份額Tab.2Gamma-heating fractions in different assemblies and core calculated by LAVENDER and MCNP, respectively

由表2可見，整個(gè)堆芯中約10%的釋熱貢獻(xiàn)來(lái)自光子；反射層組件中約80%的釋熱由光子產(chǎn)生；控制棒組件中約20%的釋熱來(lái)自光子；增殖組件和燃料組件中，由于中子裂變反應(yīng)釋放的能量較大，因此，光子的釋熱份額較低，僅約10%。2種程序計(jì)算結(jié)果之間的相對(duì)偏差小于8%。

3 結(jié)論

本文在快堆堆芯計(jì)算程序LAVENDER的基礎(chǔ)上，制作了中子-光子數(shù)據(jù)庫(kù)，開發(fā)了中子-光子耦合輸運(yùn)模塊和釋熱率計(jì)算模塊，通過(guò)和HYDRA程序及MCNP程序計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，對(duì)開發(fā)模塊進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明，LAVENDER程序的中子-光子耦合輸運(yùn)計(jì)算是正確的，光子釋熱率計(jì)算結(jié)果與MCNP程序的計(jì)算結(jié)果符合較好，反應(yīng)堆堆芯中的光子釋熱份額較大，約占10%。

目前，還無(wú)法直接應(yīng)用核數(shù)據(jù)處理程序制作緩發(fā)光子產(chǎn)生截面，后續(xù)將進(jìn)一步探索緩發(fā)光子產(chǎn)生截面的制作，提升利用KERMA因子計(jì)算釋熱率的精度。