高愛(ài)國(guó)

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引言

ΣΔ調(diào)制的過(guò)采樣技術(shù)和噪聲整形技術(shù)能夠?qū)⒘炕肼晱牡皖l推到高頻，大量的高頻能量分布在一個(gè)很寬的頻帶范圍內(nèi)，可以在信號(hào)基帶內(nèi)獲得較高的輸出信噪比，高頻段能量可以通過(guò)一個(gè)低通濾波器來(lái)濾除，目前ΣΔ調(diào)制技術(shù)廣泛應(yīng)用于數(shù)字音頻、數(shù)字電話、頻率合成等許多領(lǐng)域［1，2］。

1 ΣΔ調(diào)制器的原理

1.1 過(guò)采樣技術(shù)

所謂過(guò)采樣技術(shù)就是以遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于奈奎斯特采樣頻率的頻率對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣［3］。由信號(hào)采樣量化理論可知，在不發(fā)生過(guò)載現(xiàn)象、輸入信號(hào)的幅度是隨機(jī)分布的條件下，并且假定量化噪聲e 是一個(gè)平穩(wěn)的、概率分布是均勻的隨機(jī)序列，量化噪聲本身的任意兩個(gè)值之間不相關(guān)，且與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)，則量化噪聲的總功率可以用一個(gè)常數(shù)來(lái)表示［4］。

對(duì)于均勻量化，Δ=2E/N，其中E 是信號(hào)幅度，N 是量化級(jí)數(shù)，且N=2n，n 是量化器的位數(shù)。代入式（1）可得：

式（2）表明，對(duì)于均勻量化，量化噪聲的總功率與量化級(jí)Δ的平方成正比，與量化級(jí)數(shù)N 的平方成反比，當(dāng)量化位數(shù)n 增加一位，量化級(jí)Δ減小1/2，量化噪聲功率降低6dB。

量化噪聲的總功率在0～fs/2的頻帶范圍內(nèi)均勻分布，其功率譜密度E2（f）為：

設(shè)輸入信號(hào)基帶為0～fB，則在信號(hào)基帶內(nèi)的量化噪聲PNoise為：

式（4） 中OSR=fs/（2fB），稱為過(guò)采樣率。式（4）表明，信號(hào)基帶內(nèi)的量化噪聲與過(guò)采樣率（OSR）成反比，增加過(guò)采樣率，可以減小信號(hào)基帶內(nèi)的量化噪聲，使得量化噪聲的功率譜密度分布在更寬的頻帶內(nèi)。

圖1 所示為不同采樣頻率下的量化噪聲功率譜密度分布圖。fS1是奈奎斯特采樣頻率，fS1=2fB，fB為基帶帶寬，由圖1 可見(jiàn)，量化噪聲在奈奎斯特采樣頻率下功率譜密度全部分布在信號(hào)基帶內(nèi)。而在過(guò)采樣頻率fS2下，量化噪聲被擴(kuò)展到一個(gè)寬的頻帶內(nèi)，只有一部分量化噪聲落在基帶內(nèi)，因此降低了信號(hào)基帶內(nèi)的量化噪聲，而基帶外的噪聲可以通過(guò)一個(gè)低通濾波器濾掉。

圖1 奈奎斯特采樣頻率和過(guò)采樣頻率下的量化噪聲功率譜密度

假設(shè)信號(hào)功率為Pi，則信噪比（SNR）為：態(tài)范圍（量化器所能達(dá)到的最大信噪比）增加24dB，即相當(dāng)于量化器的量化位數(shù)提高4 位。但是，過(guò)高的OSR 在硬件上難以實(shí)現(xiàn)，通常OSR 一般不超過(guò)512。

1.2 噪聲整形技術(shù)

ΣΔ調(diào)制器具有獨(dú)特的噪聲整形技術(shù)，噪聲整形就是將低頻段的量化噪聲轉(zhuǎn)移到高頻段，從而減小信號(hào)基帶內(nèi)的量化噪聲，提高輸出信噪比。

對(duì)于一階ΣΔ調(diào)制器的基本結(jié)構(gòu)如圖2 所示。包括一個(gè)積分器、一個(gè)1bit 量化器和一個(gè)反饋回路。

式（5）表明，過(guò)采樣率每提高一倍，SNR 可以提高3dB，即相當(dāng)于將量化器的量化位數(shù)增加半位。當(dāng)OSR=256 時(shí)，動(dòng)其中積分器的傳遞函數(shù)為

為便于分析，可以用圖3 所示的線性模型來(lái)做近似分析［5］，其中，量化器引入的量化噪聲e（n）假設(shè)為加性噪聲。

圖2 一階ΣΔ調(diào)制器

圖3 一階ΣΔ調(diào)制器的線性模型

圖4 一階、二階、三階ΣΔ調(diào)制器的噪聲傳輸函數(shù)的頻率響應(yīng)

調(diào)制器的傳輸函數(shù)為：

式（7）中X（z）、Eq（z）分別為信號(hào)和量化噪聲的Z 域變換，定義信號(hào)傳輸函數(shù)STF（z）和噪聲傳輸函數(shù)NTF（z）分別為。

將式（6） 代入式（8） 和式（9），可得一階ΣΔ調(diào)制器的信號(hào)傳輸函數(shù)和噪聲傳輸函數(shù)。顯然，系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)x（n）的傳輸只有一個(gè)延時(shí)，而對(duì)量化噪聲是以一階差分的形式進(jìn)行傳輸。

同理可推知，在量化器前面插入L 個(gè)積分器可以構(gòu)成L 階ΣΔ調(diào)制器，對(duì)于L 階ΣΔ調(diào)制器的信號(hào)傳遞函數(shù)（STF）和噪聲傳輸函數(shù)（NTF）為：

根據(jù)式（12），圖4 給出了一階、二階、三階ΣΔ調(diào)制器噪聲傳遞函數(shù)的幅頻響應(yīng)曲線。

圖4 表明，隨著調(diào)制器階數(shù)的增加，噪聲整形能力越好，基帶內(nèi)的量化噪聲越小，一階ΣΔ調(diào)制器在信號(hào)基帶內(nèi)的量化噪聲最大，三階ΣΔ調(diào)制器的量化噪聲最小。

由式（3）和式（12）可得在基帶0～fB內(nèi)，L 階ΣΔ調(diào)制器的噪聲功率譜密度為：

假設(shè)f＜＜fS時(shí)，量化噪聲功率為：

假設(shè)信號(hào)功率為Pi，則信噪比（SNR）為：

由式（15）可知，過(guò)采樣率每提高一倍，基帶內(nèi)信噪比可以提高3（2L+1）dB，在輸入信號(hào)功率不變的情況下，相當(dāng)于量化位數(shù)提高了L+0.5 位。由此可見(jiàn)，ΣΔ調(diào)制器的階數(shù)L 越高，則基帶內(nèi)量化噪聲的整形效果越好，輸出信噪比也越高。

2 ΣΔ調(diào)制器的系統(tǒng)仿真

設(shè)定ΣΔ調(diào)制器的階數(shù)為5階，過(guò)采樣率OSR=128，量化器采用單比特量化，環(huán)路濾波器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為一種帶有局部反饋的前饋式求和結(jié)構(gòu)。

根據(jù)以上確定的ΣΔ調(diào)制器的仿真參數(shù)，使用delta-sigma toolbox，在Matlab 中對(duì)該設(shè)計(jì)的調(diào)制器性能進(jìn)行系統(tǒng)仿真，首先根據(jù)調(diào)制器的基本參數(shù)確定噪聲傳遞函數(shù)（NTF）和信號(hào)傳遞函數(shù)（STF）的表達(dá)式，對(duì)輸入輸出信號(hào)進(jìn)行時(shí)域和頻域的仿真，仿真得到的噪聲傳遞函數(shù)（NTF）為式（16）所示：

信號(hào)傳遞函數(shù)（STF）為式（17）所示：

圖5 給出了輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的時(shí)域仿真波形。輸入正弦信號(hào)頻率為146Hz，幅值為0.56，采樣點(diǎn)數(shù)為65536。圖6給出了輸出信號(hào)的頻譜圖，由圖可以得到，噪聲被推到高頻處，信號(hào)基帶內(nèi)輸出信噪比為149.2dB。

圖5 輸入信號(hào)和輸出信號(hào)時(shí)域圖

結(jié) 論

針對(duì)信號(hào)基帶內(nèi)噪聲問(wèn)題，分析ΣΔ調(diào)制的過(guò)采樣技術(shù)和噪聲整形技術(shù)，理論和仿真分析研究表明，ΣΔ調(diào)制的噪聲整形特性能將低頻段的噪聲整形到高頻段，從而減小信號(hào)基帶內(nèi)的量化噪聲，提高輸出信噪比。

圖6 輸出信號(hào)頻譜