楊 超

（成都理工大學，四川 成都 610000）

0 引 言

時頻分析一直是非平穩(wěn)信號分析與處理的有效手段。D.Gabor于1946年提出了一種同時用時間和頻率表示信號的方法，即Gabor展開，代表著時頻分析方法的產(chǎn)生。COHEN L在分析語音信號時，提出了短時傅里葉變換[1]。短時傅里葉變換利用加窗的方式實現(xiàn)了對信號的時頻局部化分析，而小波變換則采用可變的窗口實現(xiàn)了對信號特征的多尺度刻畫，這些方法雖然在一定程度上實現(xiàn)了信號局部特性的分析，但仍具有一定的局限性[2,3]。

經(jīng)驗小波變換（Empirical Wavelet Transform，EWT）是在小波變換的基礎上提出來的，該方法通過對信號的傅里葉譜進行自適應劃分，然后建立相應的小波濾波器組進行濾波來提取不同的IMF分量，具有完全的自適應性[4-7]。由于經(jīng)驗小波變換計算方便，不存在模態(tài)混疊問題，因此該方法被廣泛應用于各個領域。

傳統(tǒng)的經(jīng)驗小波變換是基于極大-極小值的方法來檢測傅里葉譜的邊界，在實際工作中受噪聲干擾容易產(chǎn)生過分割或欠分割等問題[8-10]。基于此，本文提出了一種基于經(jīng)驗小波變換和數(shù)學形態(tài)學相結合的方法。首先通過形態(tài)學濾波來獲得信號的包絡，其次在此基礎上進行頻譜劃分，降低了頻譜劃分錯誤率，并提高了信號的分解效果。

1 數(shù)學形態(tài)學理論基礎

經(jīng)驗小波變換具有良好的自適應性，但是實際信號復雜的頻譜會導致分割邊界難以確定，而數(shù)學形態(tài)學能夠很好地保留信號頻譜中的形狀信息，并將不重要的部分去掉，具有良好的去噪效果，因此將兩種方法結合用于信號分析。

數(shù)學形態(tài)學基本運算主要包括腐蝕、膨脹、開運算與閉運算。腐蝕與膨脹基本定義為：

式中，f表示原始信號；b表示結構元素；Df與Db分別是f與b的定義域。

開運算是利用相同的結構元素對信號先膨脹再腐蝕，閉運算則是先腐蝕再膨脹。兩者的定義分別為：

2 改進的經(jīng)驗小波變換

經(jīng)驗小波變換的實質(zhì)是建立了一組帶通濾波器，通過提取信號中不同頻率段的分量來分離不同的模式。經(jīng)驗小波變換的原理如下文所述。

步驟一：對于實信號f(t)，將信號的頻譜分為N個連續(xù)區(qū)間對經(jīng)驗尺度函數(shù)和經(jīng)驗小波函數(shù)分別定義為：

其中，函數(shù)β(x)是在x∈[0,1]上滿足如下條件的任意連續(xù)函數(shù)：

步驟三：通過信號和經(jīng)驗小波函數(shù)與經(jīng)驗尺度函數(shù)的內(nèi)積獲得細節(jié)系數(shù)與近似系數(shù)。計算公式為：

分解公式為：

3 實際數(shù)據(jù)測試

利用已有的地震資料來對改進方法的效果進行分析。為了簡便，選取其中一道地震信號，其時域圖如圖1所示。

圖1 地震信號時域圖

首先，通過傅里葉變換得到信號的頻譜。圖2（a）展示了信號的頻譜及經(jīng)驗小波變換邊界檢測結果。從中可以看出，由于噪聲干擾，在主頻處的極值點較多，并且相鄰的極大值或極小值間隔較小，而經(jīng)驗小波變換是基于頻譜極大值來檢測分割邊界，因此產(chǎn)生了許多不必要的分割，分離了從屬于同一模式的成分。圖2（b）中，經(jīng)過形態(tài)學濾波后，地震信號的頻譜包絡被正確的勾勒出來，隨機噪聲被濾除形態(tài)濾波。與經(jīng)驗小波變換相比，改進方法不僅檢測出了不同的模式，而且邊界之間有明顯的間隔，其效果有了明顯提升。

圖2 檢測結果

其次，為驗證同時處理多道地震的效果，每隔60道信號選取一道地震信號。從不同地震信號的頻譜圖（圖3）與邊界檢測結果（圖4）可以看出，各道地震信號的包絡都表現(xiàn)出先升后降的趨勢，但主頻的寬度有所不同。此外，噪聲干擾也使信號在主頻處表現(xiàn)出不同的振蕩行為，如第4道信號在主頻處包含了明顯的低谷部分。盡管如此，改進方法仍然檢測出了不同的IMFs分量，且不同的信號具有一致的邊界分割點，證明了改進方法的有效性。

圖3 不同地震信號的頻譜圖

圖4 不同地震信號邊界檢測結果

最后，將改進的EWT算法用于分析其他道的地震信號。獲取原始剖面圖（圖5）后，提取不同IMFs分量剖面（圖6）。與原始剖面相比，大部分地震信號信息都包含在圖6的剖面（b）中，不同的剖面也有較大差異，說明改進方法成功分離了地震信號中的不同分量。

圖5 原始地震信號的剖面圖

圖6 不同IMFs分量的剖面圖

4 結 論

將經(jīng)驗小波變換與數(shù)學形態(tài)學相結合，先通過形態(tài)學濾波來獲得信號頻譜包絡，然后在此基礎上進行邊界檢測，解決了經(jīng)驗小波變換方法在處理復雜頻譜時存在的過分割問題，有效降低了頻譜劃分錯誤率。在多道地震信號的處理中，該方法得到了一致的邊界分割結果，對橫向連續(xù)性進行了證實。此外，將此方法運用于所有地震信號，最終得到了分離良好的IMFs分量剖面，進一步證明了其實際應用效果。