李彬彬 楊揚(yáng) 劉爽

1.解放軍66061 部隊(duì)北京100144

信息化條件下戰(zhàn)場態(tài)勢信息的實(shí)時(shí)獲取是聯(lián)合作戰(zhàn)中快速?zèng)Q策、有序指揮、穩(wěn)步行動(dòng)的關(guān)鍵,是作戰(zhàn)規(guī)劃實(shí)現(xiàn)“快變” 的重要基礎(chǔ)和前提[1?2].無源傳感器平臺(tái)通過被動(dòng)接收來自目標(biāo)的輻射信息,實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的定位和跟蹤,能夠作為無源傳感器平臺(tái)的有效補(bǔ)充,是戰(zhàn)場態(tài)勢信息獲取的重要手段之一.純方位單無源傳感器目標(biāo)定位與跟蹤是無源傳感器應(yīng)用中的一類典型問題,由于只能獲得目標(biāo)的角度信息而無法獲得距離信息,單無源傳感器具有可觀測性弱、量測方程高度非線性且濾波不穩(wěn)定等特點(diǎn).因此,研究穩(wěn)定高效的純方位單無源傳感器平臺(tái)非線性濾波技術(shù)具有十分重要的意義.

1 無源傳感器目標(biāo)跟蹤技術(shù)概述

采用無源方式工作的傳感器探測系統(tǒng)本身不向外輻射電磁波,而是通過天線接收來自目標(biāo)輻射的直射波,或外部輻射源照射目標(biāo)后形成的反射波,或散射波所攜帶的信息,經(jīng)過數(shù)據(jù)處理完成對目標(biāo)的定位和跟蹤[3].基于無源探測的定位跟蹤系統(tǒng)能夠利用未知位置輻射源的輻射信息,確定出該輻射源的類型及其空間或地理位置;或利用已知地理位置的輻射源確定航行中物體的空間或地理位置,進(jìn)而進(jìn)行跟蹤.

與有源傳感器探測系統(tǒng)相比,無源傳感器探測系統(tǒng)具有作用距離遠(yuǎn)、接收隱蔽、不易被對方察覺的優(yōu)點(diǎn),因而無源傳感器探測系統(tǒng)具有極強(qiáng)的生存能力和反隱身能力,是現(xiàn)代一體化防空系統(tǒng)、機(jī)載對地、對海攻擊,以及對付隱身目標(biāo)的遠(yuǎn)程預(yù)警系統(tǒng)的重要組成部分,對于提高系統(tǒng)在電子戰(zhàn)環(huán)境下的生存能力和作戰(zhàn)能力具有重要作用,同時(shí)在航海、航空、宇航、偵察、測控、救援等研究中也扮演著重要的角色[4?5].

1.1 無源傳感器目標(biāo)跟蹤技術(shù)主要特點(diǎn)

無源傳感器的量測類型主要包括角度、角度變化率、時(shí)間差、多普勒頻率差和變化率等,基于不同形式的量測產(chǎn)生了多種不同的定位跟蹤方法.而其中采用角度量測的純方位無源傳感器定位跟蹤是一類典型問題,國內(nèi)外大量學(xué)者對此展開了深入的研究.對于只能獲得角度量測的純方位無源傳感器系統(tǒng),具有以下兩個(gè)主要特點(diǎn).

1.1.1 量測模型高度非線性

在直角坐標(biāo)系中,純方位無源傳感器系統(tǒng)的量測模型為非線性映射,即目標(biāo)狀態(tài)變量與量測之間的關(guān)系為反正切變換,利用純方位無源傳感器對目標(biāo)進(jìn)行跟蹤時(shí)無法應(yīng)用經(jīng)典的卡爾曼濾波,因此,獲得穩(wěn)定且高效的非線性濾波方法是解決無源傳感器目標(biāo)跟蹤問題的關(guān)鍵.

1.1.2 不完全可測性

根據(jù)可觀測性的定義[6],對于目標(biāo)跟蹤系統(tǒng),若k時(shí)刻目標(biāo)狀態(tài)可由[k,k+t0]時(shí)間間隔內(nèi)的量測唯一地確定,則稱該系統(tǒng)是可觀測的;如果對于任意時(shí)刻系統(tǒng)都是可觀測的,那么該系統(tǒng)是完全可觀測的.由可觀測性的定義可知,純方位單無源傳感器在某一時(shí)刻只能獲得目標(biāo)的角度信息,無法獲得位置信息,因此,往往無法得到狀態(tài)估計(jì)的唯一解.

1.2 無源傳感器目標(biāo)跟蹤技術(shù)研究現(xiàn)狀

對于純方位無源傳感器,由于其所獲得的量測形式為目標(biāo)的方位角或俯仰角,呈現(xiàn)了高度的非線性,因此,無法應(yīng)用經(jīng)典的卡爾曼濾波(Kalman Filter,KF)算法得到最小均方誤差估計(jì)(Minimum Mean Square Error Estimation,MMSE).在導(dǎo)航系統(tǒng)、雷達(dá)跟蹤、聲納搜索以及衛(wèi)星和飛行器軌道估計(jì)等實(shí)際系統(tǒng)中,非線性問題普遍存在,因此,非線性估計(jì)得到越來越廣泛的關(guān)注[7?8].

嚴(yán)格的非線性系統(tǒng)估計(jì)是十分困難的,最優(yōu)非線性估計(jì)需要條件概率密度的完整表述.隨著時(shí)間的推移,完整地描述條件概率密度所需的維數(shù)急劇膨脹,迅速增長的運(yùn)算量和存儲(chǔ)量導(dǎo)致無法獲得其精確的解析解.因此,人們提出大量的次優(yōu)近似算法解決這一問題.

應(yīng)用較為廣泛的次優(yōu)近似濾波算法為擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extened Kalman Filter,EKF).該方法利用泰勒級(jí)數(shù)將非線性狀態(tài)模型在當(dāng)前狀態(tài)估計(jì),或?qū)⒘繙y模型在狀態(tài)一步預(yù)測處展開并取一階近似進(jìn)行線性化,然后套用線性濾波理論求解原非線性濾波問題.EKF 的突出優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算量小,實(shí)時(shí)性高,因此,廣泛地應(yīng)用于眾多非線性濾波問題中.與此同時(shí),EKF也存在著不可避免的缺陷.由于在線性化時(shí)需要計(jì)算雅克比矩陣,所以當(dāng)存在不可微的情況時(shí),無法進(jìn)行有效的濾波;此外,在模型非線性程度較強(qiáng)時(shí),EKF的濾波精度嚴(yán)重降低;而當(dāng)狀態(tài)及協(xié)方差的初始值無法準(zhǔn)確確定時(shí),也容易導(dǎo)致濾波的發(fā)散.

由于近似狀態(tài)變量的概率密度分布比近似非線性函數(shù)更為容易[9],使用加權(quán)采樣近似狀態(tài)概率密度分布的非線性濾波方法得到了普遍關(guān)注.

這種方法的特點(diǎn)是選取一組加權(quán)樣本,通過其演化與傳播遞推近似狀態(tài)的概率密度函數(shù),因此,不需要計(jì)算雅克比矩陣.根據(jù)采樣方式的不同,可分為隨機(jī)采樣非線性濾波和確定性采樣非線性濾波.

粒子濾波(Particle Filter,PF)是基于隨機(jī)采樣的非線性濾波算法[10?11].它采用一系列滿足狀態(tài)概率密度函數(shù)的獨(dú)立同分布粒子近似該密度函數(shù),利用隨機(jī)仿真處理非線性遞推估計(jì),是一種統(tǒng)計(jì)濾波方法.PF 不受線性化誤差或高斯噪聲假定的限制,適用于任何非高斯非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng).PF 同樣存在一些有待解決的問題:由于PF 采用隨機(jī)采樣,其產(chǎn)生的誤差累計(jì)可能導(dǎo)致濾波發(fā)散;為了保證濾波的精度和收斂,并且避免粒子退化,在濾波過程中需要使用大量粒子,因此,其計(jì)算量較大,計(jì)算負(fù)擔(dān)較重[12?13].

確定性采樣通過某種確定性變換,選取確定的而非隨機(jī)的采樣點(diǎn)近似狀態(tài)的概率密度函數(shù).采樣點(diǎn)通過非線性映射傳遞狀態(tài)變量的統(tǒng)計(jì)特性,然后對其加權(quán)獲得變換后狀態(tài)變量的均值和協(xié)方差估計(jì).確定性采樣的使用避免了PF 計(jì)算量大、粒子退化等問題.典型的基于確定性采樣的非線性濾波方法包括無跡變換卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter,UKF)和高斯-厄密特濾波(Gauss-Hermite Filter,GHF)等.

UKF[14?15]運(yùn)用無跡變換(Unscented Transformation,UT)估計(jì)經(jīng)過非線性變換后狀態(tài)變量的均值和協(xié)方差.與EKF 中基于泰勒級(jí)數(shù)展開的線性化方法相比,UT 具有更高的精度,并且對系統(tǒng)的非線性強(qiáng)度不敏感.GHF[16]是另一種基于確定性采樣的非線性濾波方法,其對狀態(tài)變量的概率密度函數(shù)進(jìn)行了高斯近似,通過一組Hermite 多項(xiàng)式構(gòu)造對稱矩陣,利用該對稱矩陣獲得確定的積分點(diǎn)及相應(yīng)的權(quán)值,并根據(jù)Gauss-Hermite 積分規(guī)則獲得遞推非線性濾波公式.GHF 能夠通過選取不同數(shù)量的積分點(diǎn)和相應(yīng)權(quán)值提高均值和協(xié)方差估計(jì)的精度.當(dāng)假設(shè)系統(tǒng)變量服從高斯分布時(shí),UT 可以看作是Gauss-Hermite 積分的簡化形式或特例[16?17].本文基于GHF 對純方位單無源傳感器目標(biāo)跟蹤問題進(jìn)行了研究[18?19].

2 基于GHF 的目標(biāo)跟蹤方法

GHF 通過對狀態(tài)概率密度函數(shù)的近似,避免了雅可比矩陣的求解問題,并且可以通過選取積分點(diǎn)和相應(yīng)的權(quán)值,提高目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的精度.

GHF 是基于確定性采樣的遞推貝葉斯濾波方法,通過時(shí)間預(yù)測和量測更新獲得基于當(dāng)前時(shí)刻量測值的狀態(tài)后驗(yàn)概率密度函數(shù).首先討論在時(shí)間預(yù)測和量測更新過程中概率密度函數(shù)的近似方法.

2.1 概率密度函數(shù)的高斯近似

使用狀態(tài)方程和量測方程表示具有加性噪聲的非線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型:

其中,X(k)∈Rn為n維狀態(tài)向量,Z(k)∈Rm為m維量測向量,f:Rn→Rn是系統(tǒng)狀態(tài)演化映射,h:Rn→Rm是量測映射,W(k)是n維過程噪聲,V(k)是m維量測噪聲,假設(shè)過程噪聲和量測噪聲為相互獨(dú)立的零均值高斯白噪聲,其方差分別為Q(k)和R(k).

最優(yōu)非線性濾波就是在給定量測{Z(j)}j=1:k的條件下獲得狀態(tài)向量X(k)的條件期望,為描述簡便,將其概率密度函數(shù)記為pk|k(X).假設(shè)pk|k(X)服從高斯分布,根據(jù)貝葉斯公式,pk|k(X)可由式(3)和式(4)獲得.

其中,c為標(biāo)準(zhǔn)化常量,pk|k?1(X)為在給定量測{Z(j)}j=1:k?1的條件下狀態(tài)向量一步預(yù)測的概率密度函數(shù).遞推式(3)和式(4)分別表示了時(shí)間預(yù)測和量測更新過程,為實(shí)現(xiàn)遞推濾波對其構(gòu)造高斯近似.

首先在時(shí)間預(yù)測過程中,用與pk|k?1(X)有著相同均值和協(xié)方差的高斯分布近似pk|k?1(X).根據(jù)富比尼理論,pk|k?1(X)的均值和協(xié)方差分別定義為

和

由此,假設(shè)pk?1|k?1(X)是一個(gè)均值為(k?1|k?1),協(xié)方差為P(k?1|k?1)的高斯分布,那么對均值為(k|k?1)、協(xié)方差為P(k|k?1)的概率密度函數(shù)pk|k?1(X)進(jìn)行高斯近似時(shí)可將其定義為

在量測更新過程中,用式(7)和式(8)定義的高斯近似表示pk|k?1(X),定義更新過程

依然在{Z(j)}j=1:k?1的量測條件下,對(X(k),h(X(k)))的條件分布進(jìn)行高斯近似,即用高斯分布Y對Ek|k?1[h(X)]進(jìn)行近似,而Y的概率密度函數(shù)由均值為,協(xié)方差為PXY的高斯分布給出定義

至此,能夠?qū)Ω怕拭芏群瘮?shù)pk|k(X)進(jìn)行高斯近似,將其均值(k|k)和協(xié)方差P(k|k)分別定義為

式中,L(k)為濾波增益,PXY為狀態(tài)向量與量測向量間的互協(xié)方差,將其分別定義為

由此可以通過式(12)～式(15)在量測{Z(j)}j=1:k條件下,對狀態(tài)向量X(k)進(jìn)行非線性估計(jì).

2.2 高斯-厄密特積分規(guī)則

對于上述遞推過程中的積分形式,由于很難獲得其精確的解析解,因此,考慮對其進(jìn)行近似獲得次優(yōu)解.通過高斯-厄密特積分規(guī)則對上述積分進(jìn)行近似,從而得到高斯-厄密特遞推濾波方程.

2.2.1 一維高斯-厄密特積分規(guī)則

對于一維標(biāo)量隨機(jī)變量x,假設(shè)其服從高斯分布,并且其概率密度函數(shù)為N(x;0,1),則有

采用文獻(xiàn)[14,16]中的方法,通過構(gòu)造對稱矩陣獲得積分點(diǎn)ξl和相應(yīng)的權(quán)重ωl.假設(shè)J是一個(gè)對稱矩陣,其對角線元素為零,并且

用εl表示矩陣J的第l個(gè)特征值,則積分點(diǎn)其相應(yīng)的權(quán)重為其中,(υl)1為矩陣J的第l個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化特征向量的第一個(gè)元素.

以m=3 為例,采用上述方法可以求得積分點(diǎn)分別為其相應(yīng)的權(quán)重分別為ω1=1/6,ω2=2/3,ω3=1/6.

2.2.2n維高斯-厄密特積分規(guī)則

當(dāng)X為向量隨機(jī)變量時(shí),假設(shè)X的概率密度函數(shù)為N(X;0,In).其中,In是n×n單位陣.若X的各元素之間不相關(guān),則一維高斯-厄密特積分規(guī)則可以擴(kuò)展為多維高斯-厄密特積分規(guī)則[15]:

式中,ξl=

若X的概率密度函數(shù)為時(shí),為獲得對積分的近似,首先將Σ 進(jìn)行矩陣分解,矩陣分解可以采用多種形式,如喬里斯基分解(Cholesky Decomposition,CD)、奇異值分解(Singular Value Decomposition,SVD)和特征值分解(Eigenvector Decomposition,ED)等.將分解后的協(xié)方差矩陣平方根寫為即

則對于式

可以看出,式(20)的形式與式(18)相同,利用n維高斯-厄密特積分規(guī)則,對式(20)進(jìn)行近似可得

2.3 高斯-厄密特濾波步驟

通過上述高斯-厄密特積分規(guī)則得到高斯-厄密特濾波的遞推公式.

2.3.1 預(yù)測過程

設(shè)k?1 時(shí)刻,系統(tǒng)的狀態(tài)及協(xié)方差估計(jì)分別為(k?1|k?1),P(k?1|k?1).將P(k?1|k?1)進(jìn)行矩陣分解,為了避免非正定的影響,選用奇異值分解.

則狀態(tài)預(yù)測值為

預(yù)測誤差協(xié)方差為

2.3.2 更新過程

分解協(xié)方差矩陣P(k|k?1),仍然利用采樣點(diǎn)計(jì)算

狀態(tài)和量測的互協(xié)方差為

量測預(yù)測協(xié)方差PZZ為

濾波增益L(k)為

最后可獲得k時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)(k|k)及誤差協(xié)方差P(k|k):

由上述遞推過程可以看出,高斯-厄密特濾波通過非線性系統(tǒng)狀態(tài)向量的概率密度函數(shù)的近似避免了計(jì)算雅克比矩陣,克服了EKF 中存在不可微時(shí)的缺陷.

3 結(jié)論

本文全面介紹了單無源傳感器目標(biāo)跟蹤中的非線性濾波.由于量測模型的高度非線性和不完全可觀測性給非線性估計(jì)帶來較大困難,在對比分析現(xiàn)有非線性濾波技術(shù)的特點(diǎn)和弊端的基礎(chǔ)上,詳細(xì)討論了如何通過高斯-厄密特濾波,實(shí)現(xiàn)單無源傳感器平臺(tái)目標(biāo)跟蹤方法.基于定性分析表明,高斯-厄密特濾波能夠?qū)崿F(xiàn)有效可行的單無源傳感器平臺(tái)目標(biāo)跟蹤.