劉勝久，李天瑞+，劉 佳，謝 鵬

1.西南交通大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，成都 611756

2.四川省云計(jì)算與智能技術(shù)高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 611756

傳統(tǒng)意義上的圖及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)一條邊能且只能連接兩個節(jié)點(diǎn)，描述圖或復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可以用等價的鄰接矩陣或關(guān)聯(lián)矩陣。但現(xiàn)實(shí)生活中往往出現(xiàn)一條邊連接有多個節(jié)點(diǎn)的復(fù)雜系統(tǒng)，在這種情況下，傳統(tǒng)意義上的圖及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)對此無能為力，需要用比通常意義上的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)更為復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)對其進(jìn)行描述，這就是超網(wǎng)絡(luò)。

超網(wǎng)絡(luò)源于超圖，其一條超邊能連接任意多個節(jié)點(diǎn)的特性使得其能更好地刻畫分析作品合著網(wǎng)絡(luò)等其他形式的復(fù)雜系統(tǒng)[1-3]。描述超網(wǎng)絡(luò)的常用方法是與超網(wǎng)絡(luò)一一對應(yīng)的關(guān)聯(lián)矩陣，對超網(wǎng)絡(luò)的研究使得超網(wǎng)絡(luò)模型[4]、超網(wǎng)絡(luò)維數(shù)[5]、超網(wǎng)絡(luò)多重分形[6]等眾多研究成果相繼出現(xiàn)，帶權(quán)超網(wǎng)絡(luò)也逐步取代無權(quán)超網(wǎng)絡(luò)，成為超網(wǎng)絡(luò)研究新的熱點(diǎn)。

圖能量是代數(shù)圖論及理論化學(xué)研究的重要課題，在分析烴類化合物的總π能量中有著重要作用。對圖能量的研究是從對無向圖的能量研究開始的[7]，并漸次推廣到有向圖[8]、混合圖[9]等其他多種類型的圖。無向圖的圖能量定義為其對應(yīng)的鄰接矩陣的特征值絕對值之和，一些基于類似定義的圖能量的各種變種，如距離能量[10]、擬Laplacian能量[11]、關(guān)聯(lián)能量[12]、斜能量[8]、Hermitian 能量[9]、匹配能量[13]、Laplacian 能量[14]、無符號Laplacian 能量[15]、Von Neumann 能量[16]、距離Laplacian 能量[17]、距離無符號Laplacian 能量[17]等先后提出，并取得很多重要研究成果。

大多數(shù)圖能量及其變種均是基于矩陣特征值計(jì)算的，對大規(guī)模圖并不適用。從分形維數(shù)出發(fā)，針對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)提出了網(wǎng)絡(luò)維數(shù)[18]，并應(yīng)用于無向圖及有向圖，得到了對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)能量[19-20]。無向圖及有向圖的網(wǎng)絡(luò)能量擺脫了矩陣特征值計(jì)算的繁瑣操作，且與無向圖的圖能量、有向圖的斜能量等多種類似能量之間存在著密切的關(guān)聯(lián)。本文中，結(jié)合超網(wǎng)絡(luò)的超網(wǎng)絡(luò)維數(shù)，借助網(wǎng)絡(luò)能量，嘗試將超網(wǎng)絡(luò)維數(shù)應(yīng)用于超網(wǎng)絡(luò)中，提出超網(wǎng)絡(luò)的超網(wǎng)絡(luò)能量，并分析超網(wǎng)絡(luò)能量的若干重要性質(zhì)。

1 預(yù)備知識

1.1 圖能量

圖是由節(jié)點(diǎn)及連接節(jié)點(diǎn)之間的邊構(gòu)成的。通常意義上，根據(jù)圖中的邊是否帶有方向，可以將圖劃分為無向圖、有向圖、混合圖三類。無向圖的所有邊均沒有方向，有向圖中的所有邊都有方向，混合圖中部分邊有方向，部分邊沒有方向。對于無向圖、有向圖、混合圖均有不同的能量計(jì)算方法。

對無向圖G=(V,E)而言，其鄰接矩陣可記為A(G)。其中，若G中節(jié)點(diǎn)vi與vj之間存在一條無向邊，則Aij=Aji=1；若節(jié)點(diǎn)vi與vj之間不存在邊，則Aij=Aji=0 。G的圖能量E(G)定義為G的鄰接矩陣A(G)的所有特征值絕對值之和，即有[7]：

式中，λ1A(G),λ2A(G),…,λi A(G),…,λn A(G)分別表示A(G)的各個特征值。

對有向圖Gσ而言，可通過對無向圖G的所有邊賦予一個方向而得到，其斜鄰接矩陣可記為S(Gσ)。其中，若Gσ中節(jié)點(diǎn)vi與vj之間存在一條有向邊，則Sij=-Sji=1；若節(jié)點(diǎn)vi與vj之間不存在邊，則Sij=Sji=0。Gσ的斜能量ε(Gσ)定義為Gσ的斜鄰接矩陣S(Gσ)的所有特征值絕對值之和，即[8]：

式中，λ1S(Gσ),λ2S(Gσ),…,λiS(Gσ),…,λnS(Gσ)分別表示S(Gσ)的各個特征值。

對混合圖M而言，可通過對無向圖G的部分邊賦予一個方向而得到，其Hermitian 鄰接矩陣可記為H(M)。其中，若M中節(jié)點(diǎn)vi與vj之間存在一條有向邊，則Hij=-Hji=i；若節(jié)點(diǎn)vi與vj之間存在一條無向邊，則Hij=Hji=1；若節(jié)點(diǎn)vi與vj之間不存在任何邊，則Hij=Hji=0。M的Hermitian 能量εH(M)定義為M的Hermitian 鄰接矩陣H(M)的所有特征值絕對值之和，即[9]：

式中，λ1H(M),λ2H(M),…,λiH(M),…,λnH(M)分別表示H(M)的各個特征值。

無向圖的圖能量、有向圖的斜能量、混合圖的Hermitian 能量分別是無向圖、有向圖、混合圖能量研究的基礎(chǔ)，這些能量均是基于矩陣特征值計(jì)算得到的。一些其他類似的各種變種能量也不時出現(xiàn)，如新近提出的混合圖的Hermitian 關(guān)聯(lián)能量[21]等。

1.2 超網(wǎng)絡(luò)

傳統(tǒng)意義上的圖及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)一條邊能且只能連接兩個節(jié)點(diǎn)，超圖及超網(wǎng)絡(luò)的一條邊可以連接任意多個節(jié)點(diǎn)。圖是超圖的子集，超圖是圖的超集，超網(wǎng)絡(luò)也是傳統(tǒng)意義上復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的超集。超圖及超網(wǎng)絡(luò)能較圖及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)刻畫更為復(fù)雜多樣的復(fù)雜系統(tǒng)。

對于圖及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來說，鄰接矩陣及關(guān)聯(lián)矩陣是兩種主要的描述方法，這兩種描述方法是等價的，可以相互轉(zhuǎn)換，而且與原始的圖及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)也是一一對應(yīng)的。超圖及超網(wǎng)絡(luò)也可以用類似的鄰接矩陣及關(guān)聯(lián)矩陣進(jìn)行刻畫，但超圖的鄰接矩陣與超圖本身并不是一一對應(yīng)的，一般情況下，對超圖往往用與其一一對應(yīng)的關(guān)聯(lián)矩陣進(jìn)行刻畫。超網(wǎng)絡(luò)由節(jié)點(diǎn)及超邊組成，由于其一條超邊可以連接任意多個節(jié)點(diǎn)，描述超網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)有節(jié)點(diǎn)度、節(jié)點(diǎn)超度及超邊度等[4]。

定義1[22]對無權(quán)超網(wǎng)絡(luò)H=(V,E)而言，|V|表示H中所含有的節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，稱為H的階，|E|表示H中所含有的超邊的數(shù)量，其關(guān)聯(lián)矩陣C(H)是一個|V|×|E|階的矩陣，其中，若節(jié)點(diǎn)vi包含在超邊ej中，則有Cij=1，否則，Cij=0。

定義2[22]對無權(quán)超網(wǎng)絡(luò)H=(V,E)而言，其密度是指H的所有超邊包含的節(jié)點(diǎn)數(shù)目之和與其最多可包含的節(jié)點(diǎn)數(shù)目之和的比值，記為ρ(H)，即：

從分形維數(shù)的視角出發(fā)，可以得到無權(quán)超網(wǎng)絡(luò)及帶權(quán)超網(wǎng)絡(luò)的超網(wǎng)絡(luò)維數(shù)。無權(quán)超網(wǎng)絡(luò)的超網(wǎng)絡(luò)維數(shù)就是其對應(yīng)的分形維數(shù)。一般情況下，研究的均是無權(quán)超網(wǎng)絡(luò)。由于超網(wǎng)絡(luò)的一條超邊可以連接任意多個節(jié)點(diǎn)，即其節(jié)點(diǎn)度可以取任意數(shù)值，分析起來比較復(fù)雜，人們更多關(guān)注的是節(jié)點(diǎn)度相同的超圖，即k-均勻超圖。k-均勻超圖中的每個超邊均連接有k個節(jié)點(diǎn)。顯然，2-均勻超圖就是通常意義上的圖。

定義3[4]對無權(quán)超網(wǎng)絡(luò)H而言，其超網(wǎng)絡(luò)維數(shù)HD(H)為其超邊包含的節(jié)點(diǎn)數(shù)之和的對數(shù)值和節(jié)點(diǎn)數(shù)與超邊數(shù)乘積對數(shù)值的比值的兩倍，表述為：

結(jié)合式（4），式（5）可改寫為：

當(dāng)H為k-均勻超圖時，此時有：

定義4[5]對帶權(quán)超網(wǎng)絡(luò)H而言，其超網(wǎng)絡(luò)維數(shù)HD(H)為其所有超邊包含的節(jié)點(diǎn)權(quán)重之和與對應(yīng)超邊權(quán)重乘積和的對數(shù)值與節(jié)點(diǎn)權(quán)重之和與超邊權(quán)重之和乘積對數(shù)值比值的兩倍，表述為：

觀察式（5）及式（8）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)帶權(quán)超網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)權(quán)重f(v)及超邊權(quán)重f(e)均為1 時，帶權(quán)超網(wǎng)絡(luò)即相當(dāng)于無權(quán)超網(wǎng)絡(luò)，此時式（8）退化為式（5）。

一般情況下，超圖的超邊數(shù)目與其節(jié)點(diǎn)數(shù)目不一定相等，也即超圖的關(guān)聯(lián)矩陣不一定是方陣，這將導(dǎo)致通過矩陣特征值計(jì)算得到圖能量的常用方法不再適用，即通常意義上圖能量的計(jì)算方法并不能直接推廣應(yīng)用到超圖及超網(wǎng)絡(luò)中。實(shí)際上，迄今為止，尚無針對超圖及超網(wǎng)絡(luò)能量的研究。

1.3 網(wǎng)絡(luò)能量

網(wǎng)絡(luò)能量是基于網(wǎng)絡(luò)維數(shù)得到的。對無向圖G=(V,E)而言，其中，|V|=n，|E|=m，其網(wǎng)絡(luò)維數(shù)ND(G)表述為[18]：

于是，可以得到圖G的網(wǎng)絡(luò)能量NE(G)，表述如下[19]：

圖G的網(wǎng)絡(luò)能量NE(G)計(jì)算擺脫了矩陣特征值計(jì)算的低效操作，且與圖G的圖能量E(G)之間存在多個共同的上限，與距離能量、擬Laplacian 能量、關(guān)聯(lián)能量、匹配能量等也存在較為密切的關(guān)聯(lián)。

可以將無向圖G的網(wǎng)絡(luò)能量推廣并應(yīng)用到有向圖Gσ，得到有向圖Gσ的網(wǎng)絡(luò)能量NE(Gσ)，表述如下[20]：

有向圖Gσ的網(wǎng)絡(luò)能量NE(Gσ)與有向圖Gσ的斜能量ε(Gσ)及其原始圖G的網(wǎng)絡(luò)能量NE(G)之間也存在較為密切的關(guān)聯(lián)。由于混合圖是介于無向圖與有向圖之間的一類圖，兼具無向圖與有向圖的特點(diǎn)，實(shí)際上，也可以將網(wǎng)絡(luò)能量應(yīng)用于混合圖中。

由于無向圖及有向圖的網(wǎng)絡(luò)能量均是通過網(wǎng)絡(luò)維數(shù)而得到的，超網(wǎng)絡(luò)也存在與之對應(yīng)的超網(wǎng)絡(luò)維數(shù)。下面，本文結(jié)合網(wǎng)絡(luò)能量及超網(wǎng)絡(luò)的超網(wǎng)絡(luò)維數(shù)提出超網(wǎng)絡(luò)的超網(wǎng)絡(luò)能量，并對其進(jìn)行深入的分析研究。

2 超網(wǎng)絡(luò)能量研究

2.1 超網(wǎng)絡(luò)能量

超網(wǎng)絡(luò)的超網(wǎng)絡(luò)維數(shù)是基于與其一一對應(yīng)的關(guān)聯(lián)矩陣定義的，借鑒網(wǎng)絡(luò)能量，給出超網(wǎng)絡(luò)H的超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H)，表述如下：

對超網(wǎng)絡(luò)密度為ρ(H)的超網(wǎng)絡(luò)H而言，其超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H)可以等價地表述為：

對k-均勻超圖而言，其超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H)可以等價地表述為：

對式（14）進(jìn)行分析，可以得到：

當(dāng)|V|=|E|時，即節(jié)點(diǎn)數(shù)目與超邊數(shù)目相等時，有：

若k=1，此時H一條超邊只包含有1 個節(jié)點(diǎn)，即H為各個孤立的節(jié)點(diǎn)，此時：

觀察式（17）可以發(fā)現(xiàn)，此時超網(wǎng)絡(luò)H的超網(wǎng)絡(luò)能量即為對2-正則圖，即無向環(huán)圖C|V|的每條邊賦予方向所得到的有向圖的網(wǎng)絡(luò)能量。

若k=2，此時H一條超邊只包含有2 個節(jié)點(diǎn)，即H為通常意義上的圖，此時：

觀察式（18）可以發(fā)現(xiàn)，此時超網(wǎng)絡(luò)H的超網(wǎng)絡(luò)能量即為對2-正則圖，即無向環(huán)圖C|V|的網(wǎng)絡(luò)能量。

2.2 超網(wǎng)絡(luò)能量分析

通過上面的分析可以發(fā)現(xiàn)，k-均勻超圖的超網(wǎng)絡(luò)能量與正則無向圖及得到的有向圖的網(wǎng)絡(luò)能量之間的關(guān)聯(lián)。于是，得到如下的定理。

定理1對2-均勻超圖H=(V,E)而言，當(dāng)|V|=|E|，其超網(wǎng)絡(luò)能量HE(G)等于其對應(yīng)的單圈圖G=(V,E)網(wǎng)絡(luò)能量NE(G)，即：

證明對單圈圖G而言，其網(wǎng)絡(luò)能量為：

結(jié)合式（18），即得式（19）。定理1 顯然成立。

定理2對k-均勻超圖H=(V,E) 而言，當(dāng)|V|=|E|時，H的超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H)即是含有|V|個節(jié)點(diǎn)的k-正則無向圖G的網(wǎng)絡(luò)能量NE(G)。

證明根據(jù)超網(wǎng)絡(luò)的超網(wǎng)絡(luò)能量及無向圖的網(wǎng)絡(luò)能量的定義，定理2 顯然成立。

定理3對k-均勻超圖H=(V,E) 而言，當(dāng)|V|=|E|時，H的超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H)即是對含有|V|個節(jié)點(diǎn)的2k-正則無向圖G的每條邊賦予方向所得到的有向圖Gσ的網(wǎng)絡(luò)能量NE(Gσ)。

證明根據(jù)超網(wǎng)絡(luò)的超網(wǎng)絡(luò)能量及有向圖的網(wǎng)絡(luò)能量的定義，定理3 顯然成立。

至此，將k-均勻超圖、k-正則無向圖及2k-正則無向圖得到的有向圖通過超網(wǎng)絡(luò)能量與網(wǎng)絡(luò)能量聯(lián)系起來。定理1、定理2、定理3 分別從不同的側(cè)面論述了圖是超圖的子集，超圖是圖的超集。對無向圖及有向圖的網(wǎng)絡(luò)能量的研究同樣可以移植到同階的超網(wǎng)絡(luò)的超網(wǎng)絡(luò)能量的研究中。下面，本文對超網(wǎng)絡(luò)的超網(wǎng)絡(luò)能量性質(zhì)進(jìn)行深入的分析研究。

3 超網(wǎng)絡(luò)能量性質(zhì)

上文通過對超網(wǎng)絡(luò)的超網(wǎng)絡(luò)維數(shù)及網(wǎng)絡(luò)能量的分析研究，提出了超網(wǎng)絡(luò)的超網(wǎng)絡(luò)能量，下面對超網(wǎng)絡(luò)的超網(wǎng)絡(luò)能量性質(zhì)進(jìn)行分析研究。對于一般的超網(wǎng)絡(luò)而言，計(jì)算其精確的超網(wǎng)絡(luò)能量較為復(fù)雜，本文主要對超網(wǎng)絡(luò)的超網(wǎng)絡(luò)能量的下限及上限進(jìn)行分析研究。先對超網(wǎng)絡(luò)能量的下限進(jìn)行研究。

定理4對超網(wǎng)絡(luò)H=(V,E)而言，其超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H)的下限為0，即：

證明根據(jù)超網(wǎng)絡(luò)能量定義，定理4 顯然成立。

式（21）中等號成立的條件是H為零超圖或空超圖，即H不含有節(jié)點(diǎn)或超邊。

一般情況下，非空超圖至少含有一條非空超邊，于是得到下面的定理。

定理5對非空超網(wǎng)絡(luò)H=(V,E)而言，其超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H)的下限為1，即：

證明非空超網(wǎng)絡(luò)至少含有一條非空超邊，此超邊至少連接有1 個節(jié)點(diǎn)。根據(jù)超網(wǎng)絡(luò)能量定義，定理5 顯然成立。

式（22）中等號成立的條件是H僅含有一條連接有1 個節(jié)點(diǎn)的超邊。

下面對超網(wǎng)絡(luò)能量的上限進(jìn)行研究。

定理6對超網(wǎng)絡(luò)H=(V,E)而言，其超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H)的上限滿足下式：

證明對超網(wǎng)絡(luò)H的超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H)進(jìn)行分析，有：

定理6 顯然成立。

定理7對超網(wǎng)絡(luò)H=(V,E)而言，其超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H)的上限滿足下式：

證明對式（13）進(jìn)行分析，由于超網(wǎng)絡(luò)H的超網(wǎng)絡(luò)密度0 ≤ρ(H)≤1，當(dāng)ρ(H)=1 時，超網(wǎng)絡(luò)H的超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H)取最大值，此時超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H)為：

定理7 顯然成立。

式（26）中等號成立的條件為超網(wǎng)絡(luò)H的超網(wǎng)絡(luò)密度ρ(H)為1，此時超網(wǎng)絡(luò)H的每一條超邊均連接有|V|個節(jié)點(diǎn)，即此時的超網(wǎng)絡(luò)H為|V|-均勻超圖。于是，可以得到如下的引理。

引理1k-均勻超圖的超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H)的上限滿足下式：

證明k-均勻超圖中，k的最大值為k=|V|，代入式（14），即得：

引理1 顯然成立。

當(dāng)超網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)目與超邊數(shù)目相等時，可以得到如下的引理。

引理2對超網(wǎng)絡(luò)H=(V,E)而言，當(dāng)|V|=|E|時，其超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H)的上限滿足下式：

證明在式（27）中，令|V|=|E|，即得式（30）。引理2 顯然成立。

其實(shí)，式（30）也是|V|階無向圖的網(wǎng)絡(luò)能量的上限[19]。即當(dāng)|V|=|E|時，超網(wǎng)絡(luò)H的超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H)與對應(yīng)的同階無向圖G的網(wǎng)絡(luò)能量NE(G)具有相同的上限。

定理8對于n個超圖H(i)(1 ≤i≤n)的Tracy-Singh積超圖H(n)而言，H(n)的超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H(n))可以表述如下：

證明對于H(n)而言，其節(jié)點(diǎn)數(shù)|V(n)|、超邊數(shù)|E(n)|、超網(wǎng)絡(luò)維數(shù)HD(n)分別如下[4-5]：

根據(jù)超網(wǎng)絡(luò)維數(shù)的定義，將式（32）代入式（12），即得式（31）。定理8 顯然成立。

對一個初始超圖的迭代Tracy-Singh 積超圖進(jìn)行分析，則可以得到如下的引理。

引理3初始超圖H的迭代Tracy-Singh 積超圖H(n)的超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H(n))是初始超圖H的超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H)的n次方，即：

證明對于H(n)而言，其超網(wǎng)絡(luò)維數(shù)HE(H(n))等于H的超網(wǎng)絡(luò)維數(shù)HD(H)。H(n)的節(jié)點(diǎn)數(shù)|V(n)|、超邊數(shù)|E(n)|、超網(wǎng)絡(luò)維數(shù)HD(n)分別如下：

根據(jù)超網(wǎng)絡(luò)維數(shù)的定義，將式（34）代入式（12），則有：

引理3 顯然成立。

特別的，當(dāng)初始超圖H的超網(wǎng)絡(luò)密度ρ(H)為1時，可以得到如下的引理。

引理4對于超網(wǎng)絡(luò)密度為1 的初始超網(wǎng)絡(luò)而言，其迭代Tracy-Singh 積超圖H(n)的超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H(n))可表述為：

證明超網(wǎng)絡(luò)密度ρ(H)為1 的超網(wǎng)絡(luò)H具有最大的超網(wǎng)絡(luò)能量。初始超網(wǎng)絡(luò)H的超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H)為：

根據(jù)引理3，迭代Tracy-Singh 積超圖H(n)的超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H(n))為：

引理4 顯然成立。

本文對一般情形下的超網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行分析，則可以得出如下的結(jié)論。

定理9密度為ρ的超網(wǎng)絡(luò)H=(V,E)的超網(wǎng)絡(luò)能量上限滿足下式：

證明對式（13）進(jìn)行分析：

定理9 顯然成立。

當(dāng)超網(wǎng)絡(luò)為k-均勻超圖時，可以得到如下的引理。

引理5對密度為ρ的k-均勻超網(wǎng)絡(luò)H=(V,E)而言，其超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H)的上限滿足下式：

證明在密度為ρ的k-均勻超網(wǎng)絡(luò)H=(V,E)中，有ρ|V||E|=k|E|，即有：

將式（43）代入式（39），即得式（42）。引理5 顯然成立。

此外，當(dāng)超網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)目與超邊數(shù)目相等時，可以得到如下的引理。

引理6對密度為ρ的超網(wǎng)絡(luò)H=(V,E)而言，當(dāng)|V|=|E|時，其超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H)的上限滿足下式：

證明在式（39）中，令|V|=|E|，即得式（44）。引理6 顯然成立。

其實(shí)，式（44）也是|V|階無向隨機(jī)圖Gn(ρ)的網(wǎng)絡(luò)能量的上限[19]。即當(dāng)|V|=|E|時，密度為ρ的超網(wǎng)絡(luò)H的超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H)與對應(yīng)的同階且連接概率為ρ的無向隨機(jī)圖G的網(wǎng)絡(luò)能量NE(G)具有相同的上限。

定理10對超網(wǎng)絡(luò)H=(V,E) 而言，當(dāng)時，其超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H)的上限滿足下式：

證明根據(jù)式（12）所示的超網(wǎng)絡(luò)的超網(wǎng)絡(luò)能量的表述，欲證定理10，只需證下式即可：

令f(x)=，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x≤n時，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x≥n時，f(x)為減函數(shù)，即f(x)的一階導(dǎo)數(shù)f′(x)在區(qū)間(-∞,n)為非負(fù)數(shù)，在區(qū)間(n,+∞)為非正數(shù)：

當(dāng)且僅當(dāng)x=n時，f(x)的一階導(dǎo)數(shù)f′(x)=0。于是，有：

定理10 顯然成立。

將式（4）代入式（45），可以得到如下的引理。

引理7對密度為ρ的超網(wǎng)絡(luò)H=(V,E)而言，當(dāng)時，其超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H)的上限滿足下式：

證明將式（4）代入式（45），即得式（50）。引理7顯然成立。

進(jìn)一步，當(dāng)超網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)目與超邊數(shù)目相等時，可以得到如下的引理。

引理8對密度為ρ的超網(wǎng)絡(luò)H=(V,E)而言，當(dāng)且|V|=|E|時，其超網(wǎng)絡(luò)能量HE(H)的上限滿足下式：

證明將|V|=|E|代入式（50），即得式（51）。引理8 顯然成立。

4 結(jié)束語

超網(wǎng)絡(luò)由節(jié)點(diǎn)和超邊組成，其一條超邊能連接任意多個節(jié)點(diǎn)的特性使得其比通常意義上的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)更為復(fù)雜，也能對更多的復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行刻畫。圖能量已在無向圖、有向圖、混合圖等多種不同類型的圖中得到較為成功的應(yīng)用，在代數(shù)圖論及理論化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用前景。傳統(tǒng)意義上的圖能量基于矩陣特征值計(jì)算，無法很好地推廣應(yīng)用到大規(guī)模圖中。目前尚無對超網(wǎng)絡(luò)的能量的研究。先前將網(wǎng)絡(luò)能量應(yīng)用于無向圖及有向圖中，規(guī)避了矩陣特征值計(jì)算的繁瑣操作，并論述了網(wǎng)絡(luò)能量的重要性質(zhì)及與其他類似能量之間的關(guān)聯(lián)。本文將網(wǎng)絡(luò)能量應(yīng)用于超網(wǎng)絡(luò)中，結(jié)合超網(wǎng)絡(luò)的超網(wǎng)絡(luò)維數(shù)，提出了超網(wǎng)絡(luò)的超網(wǎng)絡(luò)能量，并分析了超網(wǎng)絡(luò)能量的若干重要性質(zhì)，給出了超網(wǎng)絡(luò)的超網(wǎng)絡(luò)能量的上下限及與圖的網(wǎng)絡(luò)能量之間的關(guān)聯(lián)。后續(xù)工作的重點(diǎn)在于對超網(wǎng)絡(luò)的超網(wǎng)絡(luò)能量進(jìn)行深入的分析，并嘗試對有向超網(wǎng)絡(luò)、混合超網(wǎng)絡(luò)及帶權(quán)超網(wǎng)絡(luò)等其他類型超網(wǎng)絡(luò)的超網(wǎng)絡(luò)能量進(jìn)行研究。