程祝媛，倪婉貞，陳穎頻

基于Lp偽范數(shù)和高階OGS全變分的椒鹽噪聲去除

程祝媛1，倪婉貞2，陳穎頻2

(1. 福建省新源電力發(fā)展集團有限公司，福建 漳州 363000； 2. 閩南師范大學物理與信息工程學院，福建 漳州 363000)

全變分(TV)模型廣泛應用于椒鹽噪聲的去除。然而，TV模型中存在著嚴重的階梯效應。近年來，由于低階交疊組稀疏(LOGS)全變分能夠很好地抑制階梯效應，受到了越來越多的關注，但仍有改進空間。實際上，其只考慮一階圖像梯度的先驗信息，而忽略了高階圖像梯度的先驗信息。為了進一步提高恢復圖像的質(zhì)量，提出了一種結合Lp偽范數(shù)的高階OGS全變分，在利用高階梯度的OGS約束更好地描述圖像梯度稀疏先驗的同時，還利用Lp偽范數(shù)的強稀疏誘導能力更好地描述椒鹽噪聲的稀疏性。該模型采用交替方向乘子法求解，并將模型分解為若干個子問題求解。最后，通過實驗驗證了該模型的正確性，并結合峰值信噪比、結構相似性度和梯度幅值相似性偏差對模型的恢復性能進行了評價。實驗結果表明，該方法相比一些先進的去噪模型具有很強的競爭力。

圖像去噪；交疊組稀疏；Lp偽范數(shù)；高階梯度；正則項

在信息化時代，圖像是一類重要的傳遞信息的方式。但圖像在生成過程中極易受到各種噪聲的污染，故而去噪問題一直是圖像處理研究的熱點。

椒鹽噪聲是一種常見的隨機噪聲，是因光學成像設備故障所導致，圖像存在一定的概率被沖擊噪聲或零值噪聲污染特點。常見的椒鹽噪聲去除方法有：基于中值濾波的去噪方法和基于全變分(total variation，TV)模型的去噪方法，其中，中值濾波的去噪方法雖然能有效地去除椒鹽噪聲，但同時也在一定程度損傷圖像細節(jié)[1]。TV正則項被廣泛應用于各類噪聲(包括椒鹽噪聲)去除[2]，其優(yōu)點在于在抑制噪聲的同時還能有效保持圖像的邊緣部分。傳統(tǒng)的TV模型包括各向異性全變分(anisotropy total variation，ATV)[3]和各項同性全變分(isotropic total variation，ITV)[4]，其不足之處在于存在嚴重的階梯效應[5-6]。為了解決或緩解TV模型的階梯效應，學者們提出了各種改進模型。如，BREDIES等[7]提出的廣義全變分模型(total generalized variation，TGV)，對圖像的高階梯度進行稀疏約束，有效緩解了階梯效應。SELESNICK和CHEN[8]提出交疊組稀疏全變分正則項(overlapping group sparsity total variation，OGSTV)，其充分考慮了像素點的鄰域信息，也能有效緩解TV模型的階梯效應。WU等[9]從差分算子的結構出發(fā)，提出基于四方向分數(shù)階差分算子的全變分正則項，在一定程度上抑制了TV模型的階梯效應。

椒鹽噪聲幅度呈現(xiàn)明顯的稀疏統(tǒng)計特性?；诖?，LIU等[10]利用L1范數(shù)對噪聲的統(tǒng)計特性進行整體刻畫，并將OGSTV引入椒鹽噪聲建模中，取得良好的去噪效果。同時將椒鹽噪聲理解為隨機變量，整體地對噪聲進行處理，避免了對噪聲進行逐點監(jiān)測，因此該模型在效率上也有一定優(yōu)勢。值得指出的是，文獻[10]模型僅以L1范數(shù)描述沖擊噪聲的數(shù)學統(tǒng)計特性，而L1范數(shù)僅僅是L0范數(shù)的凸松弛，對稀疏性刻畫能力有限。Lp偽范數(shù)相比于L1范數(shù)具有更加良好的稀疏刻畫能力，可用于椒鹽噪聲的去除，近年來得到了學者們的廣泛關注[11-20]。例如，WANG等[17]在數(shù)學模型的基礎上，用Lp偽范數(shù)代替L1范數(shù)，描述椒鹽噪聲的統(tǒng)計特性，提出一種低階交疊組合稀疏的圖像去噪方法(low-order overlapping group sparsity with Lp- pseudo-norm，LOGS_Lp)，取得了較好的椒鹽噪聲去噪效果。許基隆和陳穎頻[21]將Lp偽范數(shù)引入ITV去噪模型，提出的基于全變分技術和Lp偽范數(shù)的去噪方法(isotropic total variation with Lp pseudo-norm，ITV_Lp)，也證明了用Lp偽范數(shù)代替L1范數(shù)能夠更好地描述椒鹽噪聲的統(tǒng)計特性。LIN等[16]從圖像高階梯度的稀疏約束出發(fā)，將Lp偽范數(shù)結合TGV模型，提出一種性能良好的圖像恢復算法。

在上述幾種基于Lp偽范數(shù)的圖像恢復算法中，WANG等[17]提出的LOGS_Lp具有較好的去噪性能，但該模型僅對圖像的低階梯度信息進行了交疊組稀疏約束，并未考慮圖像高階梯度的交疊組稀疏先驗知識。為了進一步挖掘圖像高階梯度的先驗知識，本文在保留了LOSG_Lp模型中的Lp偽范數(shù)用于噪聲稀疏性的刻畫同時，還將圖像的二階梯度進行了交疊組稀疏約束，提出了基于Lp偽范數(shù)和高階交疊組稀疏(high-order overlapping group sparsity with Lp-pseudo-norm，HOGS_Lp)的椒鹽噪聲去除模型，然后采用交替方向乘子法(alternating direction method of multipliers，ADMM)[22]求解。實驗結果表明，本文方法相比于已有的去噪方法具有更為良好的去噪性能。

1 預備知識

1.1 Lp偽范數(shù)

椒鹽噪聲是一種具有稀疏統(tǒng)計特性的噪聲，采用Lp偽范數(shù)能夠?qū)ο∈杼匦赃M行更好地描述。因此，本文將Lp偽范數(shù)引入椒鹽噪聲去除模型。

圖1 3種范數(shù)對稀疏性的刻畫((a) L2范數(shù)刻畫的稀疏性；(b) L1范數(shù)刻畫的稀疏性； (c) Lp偽范數(shù)刻畫的稀疏性)

1.2 交疊組稀疏全變分正則項

交疊組稀疏全變分正則項定義為

1.3 LOGS_Lp椒鹽噪聲去除模型

椒鹽噪聲背景下的LOGS_Lp去噪模型為

LOGS_Lp模型挖掘了Lp偽范數(shù)和交疊組稀疏全變分正則項的優(yōu)點，相比傳統(tǒng)去噪算法的性能有了較大提高。由式(3)可知交疊組稀疏全變分模型只考慮了一階梯度的信息，為了提升去噪效果，本文將低階交疊組稀疏全變分模型推廣至高階交疊組稀疏全變分模型。高階交疊組稀疏全變分模型同時考慮了一階和二階的梯度信息。另外，本文更加精確地刻畫圖像稀疏特性，將Lp偽范數(shù)引入高階交疊組稀疏全變分模型中。

2 提出模型及求解

本文將Lp偽范數(shù)引入高階交疊組稀疏全變分模型，提出一種新的去噪模型，即

其中，1，2，3，4為正則項系數(shù)。

令0=-，1=K*，2=K*，3=K*K*，4=K*K*，并引入對應的拉格朗日乘子L(= 0,1,···,4)和二次懲罰項，則原問題的增廣拉格朗日目標函數(shù)為

為求解目標函數(shù)，需求解每個變量的子問題。對于子問題，可表示為

由于L(=0,1,···,4)與相互去耦合，可以將的目標函數(shù)寫為

利用卷積定理，對式(8)做傅里葉變換，得

整理得

其中，1為元素全是1的矩陣。

則有

對于0子問題，其目標函數(shù)為

根據(jù)Lp收縮方式

0的收縮式為

對于1子問題，其目標函數(shù)為

對式(18)增加配方項得

根據(jù)交疊組稀疏收縮算子公式[10]，1的更新規(guī)則為

同理，2，3，4的更新式為

L0的目標子函數(shù)為

利用梯度上升法，可以得到L0的更新式為

L1的目標子函數(shù)為

利用梯度上升法可得其更新式為

其中，為學習率。

類似的，拉格朗日乘子變量L2，L3，L4的更新式為

本文提出方法總結如算法1所示。

算法1. HOGS_Lp去噪算法。

輸入：觀測圖像。

輸出：去噪圖像。

初始化：

=0,=0,L=0,(k)=0,,,,,,=1 (=0,1,···,4)。

1.While>do

2. 利用式(14)更新(k+1)；

3. 利用式(17)更新0；

5. 利用式(23)更新L0；

7.=+1；

9. End While。

10. Return(k)。

其中，設置為10-4。

3 實驗結果與分析

3.1 算法性能測試

圖2為本文選取的9幅測試圖片。需要說明是，為了減小計算量，圖片均被人為地下采樣為256×256。

實驗中，對測試圖片分別加入10%，20%，30%和40%的椒鹽噪聲，將ATV[3]模型、ITV[4]模型、ITV_Lp模型[21]、LOGS_Lp模型[17]和本文所提出的HOGS_Lp模型進行對比，手動調(diào)節(jié)至使圖像恢復質(zhì)量最佳，每幅圖像不同噪聲下的最優(yōu)值見表1，值取在0.40~0.65區(qū)間能取得良好的去噪效果。此外，為防止二階變分過大引起圖像模糊，將模型參數(shù)調(diào)到最優(yōu)，以便達到最好的去噪效果。并結合峰值信噪比(peak signal to noise ratio，PSNR)[23]、結構相似性度(structural similarity，SSIM)[24]、梯度幅相似性偏差(gradient magnitude similarity deviation，GMSD)[25]進行評價。

圖2 測試圖片

對比結果見表2~4，為了便于觀察，本文將最優(yōu)指標用黑色粗體標出。從表2~4中可以看出：相對于ATV模型、ITV模型、ITV_Lp模型，LOGS_Lp模型和本文HOGS_Lp模型性能更加優(yōu)異。以表3 “Chart”為例，LOGS_Lp模型較ATV模型PSNR值高出1.074 2 dB，較ITV模型高出0.932 2 dB，較ITV_Lp模型高出0.328 7 dB；而本文HOGS_Lp模型較ATV模型PSNR值高出1.553 3 dB，較ITV模型高出1.411 3 dB，較ITV_Lp模型高出0.807 8 dB。這證明了交疊組稀疏變分的方法對于去噪算法具有很大改進。另外LOGS_Lp模型只考慮了一階梯度信息，本文的HOGS_Lp模型則同時考慮了一階和二階梯度信息。整體而言，本文模型性能更加優(yōu)異。例如表2中的“Cameraman”，HOGS_Lp模型較LOGS_Lp模型PSNR值高出0.435 9 dB；表3中的“Chart”，HOGS_Lp模型較LOGS_Lp模型PSNR值高出0.479 1 dB；表4中的“Barbara”，HOGS_Lp模型較LOGS_Lp模型PSNR值高出0.398 8 dB，上述實驗結果證明了將低階交疊組稀疏全變分模型推廣至高階交疊組稀疏全變分模型去噪效果更好。

表1 最優(yōu)p值記錄表

表2 幾種算法對不同圖像去噪的PSNR (dB)，SSIM和GMSD(噪聲水平10%)

表3 幾種算法對不同圖像去噪的PSNR(dB)，SSIM和GMSD(噪聲水平20%)

表4 幾種算法對不同圖像去噪的PSNR(dB)，SSIM和GMSD(噪聲水平30%)

為了更加形象地進行觀察，本文做出了30%噪聲水平下各種算法恢復的細節(jié)圖(圖3)。圖4展示了不同測試圖片在不同噪聲下PSNR指標的動態(tài)迭代曲線(為保證公平性，所有算法的迭代停止閾值=10-4，同時設定最大迭代次數(shù)為200步)。

圖3 噪聲水平為30%的幾種算法恢復圖像細節(jié)比較圖((a)噪聲強度為30%的污染圖像；(b) ATV去噪結果；(c) ITV去噪結果；(d) ITV_Lp去噪結果；(e) LOGS_Lp去噪結果；(f) HOGS_Lp去噪結果)

圖4 不同噪聲水平下幾種算法的動態(tài)迭代圖((a) 10%椒鹽噪聲污染House圖；(b) 20%椒鹽噪聲污染Lena圖；(c) 30%椒鹽噪聲污染Cameraman圖；(d) 40%椒鹽噪聲污染Boat圖)

從圖3中可以看出ATV模型恢復出的圖3(b)仍有較多噪聲干擾，通過觀察ITV模型恢復出的圖3(c)可以發(fā)現(xiàn)圖像邊緣保護度較差。再觀察ITV_Lp模型恢復出的圖3(d)可以發(fā)現(xiàn)，在高污染噪聲情況下局部依然受噪聲污染。通過對比LOGS_Lp模型和本文的HOGS_Lp模型恢復出的圖3(e)和圖3(f)可以發(fā)現(xiàn)，本文模型在高噪聲污染情況下依然具有良好的去噪性能，且在邊緣保護方面具有優(yōu)勢。觀察圖4，可以發(fā)現(xiàn)HOGS_Lp模型在不同噪聲水平下PSNR值均優(yōu)于其他模型。

3.2 參數(shù)敏感性分析

交疊組合數(shù)對算法的去噪效果至關重要，交疊窗的大小既不能過大也不能過小。如果交疊窗過大，會導致非結構化的信息被引入，反之交疊窗過小，則沒有充分將鄰域相似的結構信息加以挖掘。

為反映參數(shù)對算法的影響，以圖5中Lena為測試圖，在噪聲不同的情況下，分別取值為2~6，然后調(diào)整參數(shù)使算法指標達到最優(yōu)，并記錄PSNR的動態(tài)迭代曲線，如圖5所示。從表5可以看出組合值取3或5時PSNR，SSIM，GMSD可以同時到達最優(yōu)。可見，交疊的參數(shù)需要進行合理的選擇。通過上述實驗可以看到，如果圖像中光滑區(qū)域較多，則值宜取大，若紋理成分較多，則值宜取小。

表5 不同噪聲水平時組合值K與PSNR，SSIM， GMSD關系表

4 結束語

本文從交疊組稀疏正則項出發(fā)，結合Lp偽范數(shù)的優(yōu)點，將二階OGS引入椒鹽噪聲去噪模型中，提出新的椒鹽噪聲去除模型?？梢缘玫饺缦陆Y論：

(1) 在給定的測試圖片中加入不同水平的噪聲，采用本文的HOGS_Lp模型，大部分情況下可以獲得較其他模型更好的去噪效果。

(2) 在不同噪聲水平下，相比ATV模型、ITV模型、ITV_Lp模型，LOGS_Lp模型和本文HOGS_Lp模型性能更加優(yōu)異，證明了交疊組稀疏變分的方法對于去噪算法具有很大改進。

(3) 在不同噪聲水平下，本文HOGS_Lp模型的各項指標均高于LOGS_Lp模型，證明了考慮高階圖像梯度的先驗信息能夠進一步提高圖像質(zhì)量的恢復。

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Salt and pepper noise denoising using high-order overlapping group sparsity with Lp-pseudo-norm

CHENG Zhu-yuan1, NI Wan-zhen2, CHEN Ying-pin2

(1. Fujian Xinyuan Power Development Group Co., Ltd., Zhangzhou Fujian 363000, China; 2. School of Physics and Information Engineering, Minnan Normal University, Zhangzhou Fujian 363000, China)

The total variation (TV) model is widely employed to remove salt and pepper noise. However, there is a serious staircase effect on the TV model. Recently, low-order overlapping group sparsity (LOGS) has received increasing attention due to the great performance in the suppression of the staircase effect. It is necessary to point out that there is still room for the improvement of LOGS total variation denoising model. In fact, the LOGS-based denoising model only takes into account the prior of the first-order image gradients and ignores the prior of the high-order image gradients. To further improve the quality of the recovery image, the author proposed a high-order OGS with the Lp-pseudo-norm. On the one hand, the overlapping group sparsity constraint of the high-order gradient can better describe the prior sparsity of image. On the other hand, the Lp-pseudo-norm was adopted to describe the sparsity of the salt and pepper noise, because of the strong sparsity inducing capacity. The alternating direction method of multipliers was employed to separate the proposed model into several sub-problems for the solving process. Finally, the numerical experiments were carried out to verify the proposed model, while the peak signal to noise ratio (PSNR), structural similarity (SSIM), and gradient magnitude similarity deviation (GMSD) were incorporated to evaluate the recovery performance. The experimental results prove that the proposed method is more competitiveness than some state-of-the-art denoising models.

image denoising; overlapping group sparsity; Lp-pseudo-norm; high order gradient; regular term

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2021010023

A

2095-302X(2021)01-0023-09

2020-07-09；

9 July，2020；

2020-08-24

24 August，2020

福建省教育廳中青年教師教育科研教育項目(JAT190378)；閩南師范大學高級別項目(GJ19019)；福建省重大教改項目(FBJG20180015)；閩南師范大學校長基金項目(KJ19019)；閩南師范大學教改項目(JG201918)；福建省自然科學基金項目(2020J05169)

：Educational Research and Education Project for Young and Middle-Aged Teachers of Fujian Provincial Department of Education (JAT190378); High-Level Project of Minnan Normal University (GJ19019); Major Educational Reform Project of Fujian Province (FBJG20180015); Principal Fund of Minnan Normal University (KJ19019); Educational Reform Project of Minnan Normal University (JG201918); Natural Science Foundation Project of Fujian Province (2020J05169)

程祝媛(1986–)，女，四川廣安人，高級工程師，碩士。主要研究方向為數(shù)字圖像處理。E-mail：389769299@qq.com

CHENG Zhu-yuan (1986–), female, senior engineer, master. Her main research interest covers digital image processing. E-mail：389769299@qq.com

陳穎頻(1986–)，男，福建漳州人，講師，博士。主要研究方向為圖形圖像處理、計算機視覺等。E-mail：110500617@163.com

CHEN Ying-pin (1986–), male, lecturer, Ph.D. His main research interests cover graphics and image processing, computer vision, etc. E-mail：110500617@163.com