吳偉華，劉潤(rùn)滋，楊清海

（1.西安電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院，陜西 西安 710071；2.西安建筑科技大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，陜西 西安 710055）

1 引言

與授權(quán)頻譜不同，未授權(quán)頻譜對(duì)滿(mǎn)足相關(guān)規(guī)定的任何運(yùn)營(yíng)商都是完全開(kāi)放的。因此在未授權(quán)頻譜上部署長(zhǎng)期演進(jìn)（LTE,long term evolution）技術(shù)網(wǎng)絡(luò)以獲得吞吐量的提升越來(lái)越流行[1]。但是，未授權(quán)頻譜上的Wi-Fi 設(shè)備通過(guò)載波監(jiān)聽(tīng)多路訪問(wèn)（CSMA,carrier sense multiple access）協(xié)議來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)未授權(quán)頻譜的占用，未授權(quán)頻譜部署LTE 可能擠占Wi-Fi 的資源并造成Wi-Fi 吞吐量的下降。

一種常見(jiàn)的Wi-Fi 和LTE 的共存方法是將它們分別運(yùn)行在2 個(gè)分離且不重疊的頻譜上[2]。然而，對(duì)未授權(quán)頻譜進(jìn)行固定劃分通常會(huì)帶來(lái)很大的問(wèn)題。由于LTE 和Wi-Fi 構(gòu)成的異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)時(shí)變的動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)，固定的劃分方法很難自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)的動(dòng)態(tài)變化[3]。因此，自適應(yīng)的頻譜劃分策略成為實(shí)現(xiàn)LTE 和Wi-Fi 共存的必備選項(xiàng)。傳統(tǒng)的自適應(yīng)的頻譜劃分策略普遍采用基于快照形式的資源管理。傳統(tǒng)算法如圖1(a)所示，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)發(fā)生變化時(shí)，需要重新對(duì)算法的輸入進(jìn)行初始化，并對(duì)算法進(jìn)行迭代直至收斂到當(dāng)前時(shí)隙的最優(yōu)點(diǎn)。這種自適應(yīng)策略的性能提升以終端設(shè)備和中央管理器之間較高的信令開(kāi)銷(xiāo)為代價(jià)[3-4]，例如，軟件定義網(wǎng)絡(luò)（SDN,software defined network）或網(wǎng)絡(luò)功能虛擬化（NFV,network functions virtualization）。因此，需要設(shè)計(jì)一種低成本的自適應(yīng)頻譜劃分策略。補(bǔ)償算法如圖1(b)所示，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)發(fā)生變化時(shí)，自適應(yīng)頻譜劃分算法僅需一次迭代就能找當(dāng)前時(shí)隙的最優(yōu)點(diǎn)。圖1 中，縱坐標(biāo)所示頻譜劃分為歸一化頻譜劃分。

圖1 頻譜劃分算法的不同迭代策略

此外，LTE/Wi-Fi 網(wǎng)絡(luò)的不同信道狀態(tài)信息（CSI,channel state information）只能在不同的時(shí)間尺度上獲取。具體來(lái)說(shuō)，所有Wi-Fi 設(shè)備以競(jìng)爭(zhēng)的方式來(lái)占用相同頻譜，這使Wi-Fi 的頻譜劃分決策取決于Wi-Fi 網(wǎng)絡(luò)中的所有CSI?；贑SMA 網(wǎng)絡(luò)的傳輸時(shí)延和不可靠性，難以實(shí)時(shí)獲取全局CSI。與Wi-Fi 設(shè)備不同，LTE 設(shè)備工作在不同的專(zhuān)用頻段上，因此其頻譜劃分決策僅取決于局部CSI。通過(guò)利用LTE 的上行傳輸鏈路，局部CSI 能夠輕松地實(shí)時(shí)獲取。如果對(duì)Wi-Fi 和LTE 頻譜劃分決策都進(jìn)行純小時(shí)間尺度的控制，則該算法必須實(shí)時(shí)地獲取局部CSI 和全局CSI，這在實(shí)際的無(wú)線網(wǎng)絡(luò)中很難實(shí)現(xiàn)。另一方面，如果對(duì)頻譜劃分決策都進(jìn)行純大時(shí)間尺度的控制，那么得到的算法必將過(guò)于保守，導(dǎo)致浪費(fèi)很多瞬時(shí)的傳輸機(jī)會(huì)。根據(jù)上述觀察，有必要對(duì)Wi-Fi 和LTE 的頻譜劃分決策進(jìn)行混合時(shí)間尺度的控制。

本文提出了一種低成本的雙時(shí)間尺度頻譜劃分算法，其中，Wi-Fi 頻譜根據(jù)全局統(tǒng)計(jì)CSI 在較大的時(shí)間尺度上進(jìn)行劃分，而LTE 頻譜根據(jù)快速變化的本地CSI 在較小時(shí)間尺度上進(jìn)行劃分。為了減少算法迭代和信令交換產(chǎn)生的開(kāi)銷(xiāo)，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)在相應(yīng)的大時(shí)間尺度和小時(shí)間尺度上發(fā)生變化時(shí)，僅對(duì)Wi-Fi 和LTE 頻譜劃分決策進(jìn)行一次迭代。本文為雙時(shí)間尺度的迭代算法設(shè)計(jì)了一個(gè)自適應(yīng)補(bǔ)償機(jī)制，以補(bǔ)償算法輸出與目標(biāo)最優(yōu)頻譜劃分決策之間的跟蹤誤差。最后，本文證明了算法的收斂性等同于一個(gè)虛擬隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定，并通過(guò)計(jì)算虛擬隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性，得出了雙時(shí)間尺度算法收斂的充分條件。

2 系統(tǒng)模型

在LTE/Wi-Fi 系統(tǒng)中，后端的云服務(wù)器負(fù)責(zé)協(xié)調(diào)管理LTE 和Wi-Fi 在未授權(quán)頻譜上的共存[3]。系統(tǒng)模型如圖2 所示。

圖2 系統(tǒng)模型

假設(shè)系統(tǒng)由一個(gè)LTE網(wǎng)絡(luò)和M個(gè)Wi-Fi網(wǎng)絡(luò)組成，其中，wDevice 表示連接到Wi-Fi 的移動(dòng)設(shè)備，sDevice 表示連接到LTE 的設(shè)備，K m表示W(wǎng)i-Fi 網(wǎng)絡(luò)m服務(wù)的wDevice 集合，L表示sDevice 集合。在不失一般性的前提下，假設(shè)LTE 使用頻分復(fù)用技術(shù)來(lái)承載所有的sDevice。集合Km中的wDevice 通過(guò)CSMA 協(xié)議來(lái)競(jìng)爭(zhēng)未授權(quán)頻譜并訪問(wèn)核心網(wǎng)絡(luò)。Wi-Fi 網(wǎng)絡(luò)吞吐量的計(jì)算方法由ICN（ideal CSMA network）模型給出[5]。根據(jù)ICN，不同wDevice 之間相互競(jìng)爭(zhēng)和交互的結(jié)果可以抽象為傳輸機(jī)會(huì)，通常表示為1/|Km|，其中|Km|是集合Km中的設(shè)備數(shù)。假設(shè)整個(gè)未授權(quán)頻譜的寬度為B，αm和ρl分別表示W(wǎng)i-Fi 網(wǎng)絡(luò)m和sDevicel的未授權(quán)頻譜劃分決策，則與Wi-Fi 網(wǎng)絡(luò)m相關(guān)聯(lián)的wDevice 設(shè)備k可實(shí)現(xiàn)的吞吐量為[5]

其中，pk為發(fā)射功率，N0為高斯背景噪聲的功率譜密度，h為鏈路kk的信道增益。根據(jù)ICN 的計(jì)算方法，可得Wi-Fi 網(wǎng)絡(luò)m的吞吐量為

由式(2)可以看出，Wi-Fi 網(wǎng)絡(luò)m的吞吐量取決于和其相連的所有wDevice 的CSI。因此，Wi-Fi網(wǎng)絡(luò)m的頻譜劃分決策αm取決于全局的CSI。

在LTE/Wi-Fi 網(wǎng)絡(luò)中，LTE 能夠?yàn)閟Device 設(shè)備l劃分專(zhuān)用的頻譜ρl。因此，sDevice 設(shè)備l的吞吐量為

其中，pl為發(fā)射功率，gl為鏈路l的信道增益。從式(3)可以看出，sDevice 設(shè)備l的頻譜劃分決策僅取決于局部CSIgl。

為了描述簡(jiǎn)便，使用h來(lái)建模LTE 和Wi-Fi 網(wǎng)絡(luò)中CSI 的動(dòng)態(tài)模型，h=hlhs，其中，hl是大時(shí)間尺度信道衰落，hs是小時(shí)間尺度信道衰落。hs的動(dòng)態(tài)變化由以下隨機(jī)微分方程（SDE stochastic differential equation）建模[6-7]，如式(4)所示。

其中，a表示信道h的前后時(shí)間相關(guān)性，W表示一個(gè)具有單位方差的標(biāo)準(zhǔn)復(fù)合維納過(guò)程。大時(shí)間尺度的CSI 模型可以建模為hl=Gh0D-ι，其中，ι表示路徑損耗因子，G表示電路放大器和天線導(dǎo)致的功率增益常量，h0～CN(0,1)表示復(fù)高斯變量，D≥Dmin表示發(fā)射機(jī)和接收機(jī)之間的距離。因此，大時(shí)間尺度 CSI 的動(dòng)態(tài)變化模型可以計(jì)算為dhl=-Gh0ιD-ι-1dD。假設(shè)發(fā)射機(jī)和接收機(jī)之間的相對(duì)移動(dòng)速度為v，可得D=vt和dD=dv t。根據(jù)以上結(jié)論，大時(shí)間尺度的CSI 動(dòng)態(tài)模型可以建模為

對(duì)于CSI 的動(dòng)態(tài)模型，小時(shí)間尺度hs滿(mǎn)足高斯平穩(wěn)分布，因此|hs| 服從瑞利分布。對(duì)于大時(shí)間尺度CSI，表示hl的大時(shí)間尺度參數(shù)。

受限于Wi-Fi 網(wǎng)絡(luò)的傳輸時(shí)延和不可靠性，它所需要的全局信息只能在相對(duì)較大的時(shí)間尺度上獲得。因此，Wi-Fi 只能根據(jù)大時(shí)間尺度的CSI 信息{,}?k∈K來(lái)進(jìn)行頻譜劃分決策。LTE 網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)崟r(shí)獲取本地CSI，則它可以根據(jù)2 個(gè)時(shí)間尺度的CSI 信息lsh=h h來(lái)進(jìn)行頻譜劃分決策。在無(wú)線m網(wǎng)絡(luò)中，評(píng)估每個(gè)網(wǎng)絡(luò)的吞吐量仍然是確保所有共存網(wǎng)絡(luò)可以維持一定服務(wù)水平的常用方法。因此，網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問(wèn)題可以描述為L(zhǎng)TE 和Wi-Fi 網(wǎng)絡(luò)吞吐量的最大化問(wèn)題，如式(6)所示。

其中，w1和w2分別表示LTE 和Wi-Fi 的權(quán)重，即網(wǎng)絡(luò)運(yùn)營(yíng)商對(duì)不同網(wǎng)絡(luò)的服務(wù)偏好；約束條件表示劃分的頻譜不能超過(guò)總帶寬。

3 雙時(shí)間尺度迭代算法

3.1 基于補(bǔ)償?shù)念l譜劃分迭代算法

上述關(guān)于系統(tǒng)模型的討論說(shuō)明Wi-Fi 網(wǎng)絡(luò)的頻譜劃分變量α=[α1,…,αM]T和LTE 網(wǎng)絡(luò)的頻譜劃分變量ρ=[ρ1,…,ρL]T分別受到LTE 和Wi-Fi 網(wǎng)絡(luò)中不同時(shí)間尺度CSI 的影響。根據(jù)分尺度的CSI 架構(gòu)，可以將式(6)分解成不同時(shí)間尺度的子問(wèn)題。

對(duì)于給定的Wi-Fi 頻譜劃分變量α，LTE 網(wǎng)絡(luò)的頻譜劃分變量ρ可以通過(guò)求解式(7)得到。

為了證明優(yōu)化問(wèn)題式(7)為一個(gè)凹問(wèn)題，首先定義以下2 個(gè)函數(shù)

其中，p=[p1,…,pL]T。由于Λ(p)是對(duì)數(shù)函數(shù)的和，因此它是一個(gè)凹函數(shù)。不難發(fā)現(xiàn)Γ(ρ,p) 是Λ(p) 的透視函數(shù)，則Γ(ρ,p) 也是一個(gè)凹函數(shù)。式(7)優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)是給定p*的Γ(ρ,p*)，則目標(biāo)函數(shù)也是一個(gè)凹函數(shù)。考慮到優(yōu)化問(wèn)題的約束條件為線性約束，則優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)凹問(wèn)題。

對(duì)于給定的LTE 網(wǎng)絡(luò)頻譜劃分變量ρ，Wi-Fi網(wǎng)絡(luò)的頻譜劃分問(wèn)題可以描述為

式(8)問(wèn)題可以看作在給定LTE 網(wǎng)絡(luò)頻譜劃分變量下的式(6)問(wèn)題。用式(7)問(wèn)題中同樣的證明方法可以證明式(6)問(wèn)題是一個(gè)凹問(wèn)題，則式(8)問(wèn)題也是一個(gè)凹問(wèn)題。

下面，分別介紹如何解決這2 個(gè)凹問(wèn)題。首先，給出LTE 網(wǎng)絡(luò)頻譜劃分問(wèn)題的拉格朗日形式為

其中，g=[g1,…,gL]T，λ為拉格朗日乘子。求拉格朗日函數(shù)Lρ(g;ρ,λ)關(guān)于ρ和λ的導(dǎo)數(shù)，可以得到

用原始對(duì)偶算法來(lái)搜索頻譜劃分的最優(yōu)值，即得到迭代算法為

其中，γ為步長(zhǎng)參數(shù)，ns為時(shí)隙索引。為了表示方便，令x=[ρT,λ]T表示LTE 頻譜劃分變量，則LTE頻譜劃分的迭代算法可以表示為

其中，nf為幀索引。

對(duì)于Wi-Fi 網(wǎng)絡(luò)頻譜劃分問(wèn)題，將式(8)問(wèn)題的最大化表示為

則Wi-Fi 頻譜劃分的迭代算法可以設(shè)計(jì)為

其中，μ為步長(zhǎng)因子。

根據(jù)不同CSI 的獲取時(shí)間尺度，將網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行時(shí)間劃分為幀和時(shí)隙，每一個(gè)幀包含Ns個(gè)時(shí)隙。則LTE 的頻譜劃分算法和Wi-Fi 的頻譜劃分算法分別在每一個(gè)時(shí)隙和每一幀進(jìn)行一次迭代。算法的迭代尺度如圖3 所示。

圖3 算法的迭代尺度

算法的跟蹤性能如圖4 所示，其中縱坐標(biāo)所示頻譜劃分為歸一化頻譜劃分?？陀^上，隨機(jī)優(yōu)化式(6)問(wèn)題一定存在一個(gè)和隨機(jī)信道狀態(tài)相關(guān)的最優(yōu)解。當(dāng)不同時(shí)間尺度的隨機(jī)信道狀態(tài)發(fā)生變化時(shí)，最優(yōu)解（也稱(chēng)為均衡點(diǎn)）在隨機(jī)信道狀態(tài)的驅(qū)動(dòng)下動(dòng)態(tài)變化。由于本文設(shè)計(jì)LTE 的頻譜劃分算法和Wi-Fi的頻譜劃分算法分別在每一時(shí)隙和每一幀只進(jìn)行一次迭代，并且信道狀態(tài)也在隨算法的迭代而變化，因此迭代算法的輸出解很難跟蹤均衡點(diǎn)的動(dòng)態(tài)變化。將算法的輸出解和均衡點(diǎn)之間的誤差定義為跟蹤誤差。不難理解，跟蹤誤差的存在導(dǎo)致算法很難收斂，因此有必要研究算法的跟蹤性能。

圖4 算法的跟蹤性能

為了分析方便，可以將不同時(shí)間尺度的離散迭代索引ns和nf映射到實(shí)數(shù)域，即sns=γns和snf=μnf。則算法迭代的軌跡可以用以下連續(xù)方程來(lái)描述

給定時(shí)隙的長(zhǎng)度為τ，則幀和時(shí)隙的離散迭代索引分別為ns=t/τ和nf=t/τNs，因此，實(shí)數(shù)sns和snf與時(shí)間t的關(guān)系可以表示為

如果將時(shí)隙的長(zhǎng)度看作一個(gè)單位，則式(11)可以表示為

根據(jù)式(11)和式(12)的建模分析，離散的算法迭代可以抽象為平均連續(xù)時(shí)間動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（MCTS,mean continuous time dynamic system），如圖4 中的虛線所示。算法的均衡點(diǎn)(x*,α*)一定滿(mǎn)足G(g;x*,α*)=0和K(h;α*)=0。事實(shí)上，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中的CSI 為靜態(tài)時(shí)，均衡點(diǎn)是固定不變的。然而在時(shí)變的無(wú)線網(wǎng)絡(luò)中，均衡點(diǎn)隨著隨機(jī)CSI 的變化而變化。根據(jù)最優(yōu)條件（G(·)=0和K(·) =0）和隱函數(shù)定理，均衡點(diǎn)的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程可以由以下MCTS 建模

將式(12)中的算法迭代和式(13)中均衡點(diǎn)相減可以得到跟蹤誤差為

從式(14)和式(15)可以看出，當(dāng)dg和dhl都為0時(shí)，跟蹤誤差可以收斂為0。然而，動(dòng)態(tài)隨機(jī)變化的CSI 會(huì)對(duì)算法的迭代產(chǎn)生持續(xù)的擾動(dòng)，這會(huì)導(dǎo)致跟蹤誤差(xe,αe)很難收斂到0，因此迭代算法的輸出很難跟蹤均衡點(diǎn)的變化。為了提高算法的跟蹤性能，可以為式(12)中的算法設(shè)計(jì)補(bǔ)償項(xiàng)來(lái)抵消dg，dhl和dα*為對(duì)算法的迭代產(chǎn)生的擾動(dòng)。基于這點(diǎn)考慮，設(shè)計(jì)基于補(bǔ)償?shù)念l譜劃分迭代算法，如式(16)和式(17)所示。

3.2 算法的收斂性分析

在設(shè)計(jì)式(16)和式(17)中的補(bǔ)償機(jī)制時(shí)，補(bǔ)償項(xiàng)φxgdg、φxαdα和φαhldhl并不是根據(jù)均衡點(diǎn)(x*,α*)得出的，而是用算法的當(dāng)前輸出值(x,α) 取代。這是因?yàn)樵谒惴ǖ倪\(yùn)行過(guò)程中均衡點(diǎn)是不可能提前得到的，因此補(bǔ)償項(xiàng)只能根據(jù)算法的當(dāng)前輸出值來(lái)計(jì)算。不難理解，根據(jù)算法當(dāng)前輸出值設(shè)計(jì)的補(bǔ)償算法并不符合根據(jù)式(14)和式(15)得到的理論值。因此，仍然不能確定得到的補(bǔ)償算法是否能實(shí)時(shí)地跟蹤均衡點(diǎn)的變化。為了研究補(bǔ)償算法的跟蹤性能，首先計(jì)算補(bǔ)償算法和均衡點(diǎn)之間的跟蹤誤差為

然后，式(4)和式(5)代入式(18)和式(19)，隨機(jī)誤差可以動(dòng)態(tài)建模為式(20)所示的虛擬隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（VSDS,virtual stochastic dynamic system）。

若式(20)中的VSDS 能夠在(0,0) 處逐漸穩(wěn)定，則跟蹤誤差(xe,αe) 能夠收斂到(0,0) 。因此，式(20)表明基于補(bǔ)償?shù)念l譜劃分迭代算法的收斂等同于VSDS 的穩(wěn)定。VSDS 的穩(wěn)定性可以由李雅普諾夫穩(wěn)定性理論來(lái)證明[8]。定義一個(gè)關(guān)于VSDS 狀態(tài)u的李雅普諾夫能量函數(shù)為

則V(u) 的李雅普諾夫漂移可以由引理1 給出。

引理1假設(shè)隨機(jī)過(guò)程u可以由以下SDE 建模[7]

其中，W是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的復(fù)合維納過(guò)程，則V(u) 的李雅普諾夫漂移可以計(jì)算為

引理1 構(gòu)建了一個(gè)李雅普諾夫漂移LV(u) 和式(20)中SDE 之間的一個(gè)橋梁。因此，式(20)中VSDS 的穩(wěn)定性可以通過(guò)研究其李雅普諾夫漂移的特性來(lái)刻畫(huà)，因此給出引理2。

引理2假設(shè)隨機(jī)過(guò)程u(t) 的李雅普諾夫漂移滿(mǎn)足如下條件

其中，θ是一個(gè)正的常量，s是一個(gè)滿(mǎn)足如下條件的隨機(jī)過(guò)程

其中，d＜∞，則隨機(jī)過(guò)程u(t) 一定穩(wěn)定并且滿(mǎn)足如下條件

證明證明過(guò)程可參考文獻(xiàn)[7]。

在證明VSDS 的穩(wěn)定性之前給出以下假設(shè)條件。

根據(jù)引理1 和假設(shè)條件，可以得到定理1。

定理1如果算法的步長(zhǎng)因子滿(mǎn)足條件

則小時(shí)間尺度迭代算法和均衡點(diǎn)之間的跟蹤誤差能夠收斂到0，并且大時(shí)間尺度迭代算法和均衡點(diǎn)之間的跟蹤誤差滿(mǎn)足上限

證明將大時(shí)間尺度跟蹤誤差αe的李雅普諾夫能量函數(shù)定義為

根據(jù)引理1，式(19)的李雅普諾夫漂移可以轉(zhuǎn)化為

其中，c＞0 是常量。需要指出的是，上式中存在以下關(guān)系

隨后定義一個(gè)關(guān)于xe的李雅普諾夫函數(shù)

大時(shí)間尺度信道衰落h1和用戶(hù)的位置相關(guān)，因此它的變化相對(duì)緩慢。而小時(shí)間尺度信道狀態(tài)hs則變速變化，通常情況下為毫米級(jí)[8]。在相同的實(shí)數(shù)單位內(nèi)，dh1的量值要比dhs小得多，因此證明中省略了dh1。根據(jù)以上結(jié)果，如果

則跟蹤誤差xe能夠收斂到0。

證畢。

在所提的雙時(shí)間尺度迭代算法中，小時(shí)間尺度算法在每一個(gè)時(shí)隙需要O(1)次迭代，大時(shí)間尺度算法在每一個(gè)幀需要O(1)次迭代，則它在每一個(gè)時(shí)隙需要平均O(1/Ns)次迭代，因此算法的平均復(fù)雜度為O(1 +1/Ns)。

4 仿真分析

在仿真中，假設(shè)系統(tǒng)包含一個(gè)LTE 網(wǎng)絡(luò)和2 個(gè)Wi-Fi 網(wǎng)絡(luò)，并且每一個(gè)網(wǎng)絡(luò)服務(wù)3 個(gè)移動(dòng)終端設(shè)備。假設(shè)所有的移動(dòng)終端設(shè)備采用列維行走模型在系統(tǒng)中隨機(jī)移動(dòng)[9]。所有移動(dòng)設(shè)備的最大移動(dòng)速度設(shè)置為vmax=2 m/s。每一個(gè)幀包含100 個(gè)時(shí)隙，即Ns=100，每個(gè)時(shí)隙為1 ms。移動(dòng)設(shè)備和接入點(diǎn)之間的最小距離Dmin=40 m，路徑損耗指數(shù)為ι=3[7]。功率增益常量G=，信道的前后時(shí)間相關(guān)性參數(shù)設(shè)置為a=0.01。w1和w2設(shè)置為0.75 和0.25。仿真中，將雙時(shí)間尺度迭代算法和以下幾個(gè)策略進(jìn)行對(duì)比。

1) 單時(shí)間尺度最優(yōu)策略[5]。在每一個(gè)時(shí)隙，單時(shí)間尺度最優(yōu)策略都會(huì)描述一個(gè)和式(6)一樣的頻譜劃分問(wèn)題，并且調(diào)用一個(gè)次梯度算法來(lái)尋找當(dāng)前時(shí)隙的最優(yōu)解。假如單時(shí)間尺度最優(yōu)策略的目標(biāo)是ε-最優(yōu)，即每個(gè)時(shí)隙內(nèi)迭代算法的停止門(mén)限為|λ-λ*|≤ε，則單時(shí)間尺度最優(yōu)策略需要在每一個(gè)時(shí)隙內(nèi)進(jìn)行O(1/ε2)次迭代。很明顯，單時(shí)間尺度最優(yōu)策略的復(fù)雜度比雙時(shí)間尺度迭代算法高得多。

2) 無(wú)補(bǔ)償雙時(shí)間尺度策略。在無(wú)補(bǔ)償雙時(shí)間尺度策略中，Wi-Fi 和LTE 的頻譜劃分按照式(9)和式(10)分別在每個(gè)時(shí)隙和每個(gè)幀進(jìn)行一次迭代。

3) 均衡點(diǎn)策略。均衡點(diǎn)策略利用次梯度迭代算法分別在每一時(shí)隙和幀找到問(wèn)題式(7)和式(8)的ε-最優(yōu)解。不難理解，當(dāng)ε非常小時(shí)，均衡點(diǎn)算法得到的解可以看作雙時(shí)間尺度優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解。

圖5 和圖6 分別通過(guò)展示W(wǎng)i-Fi 和LTE 頻譜劃分變量（歸一化頻譜）在不同時(shí)間尺度上的移動(dòng)軌跡來(lái)驗(yàn)證基于補(bǔ)償?shù)碾p時(shí)間尺度迭代算法的跟蹤性能。本文實(shí)驗(yàn)中容忍度參數(shù)被設(shè)置為一個(gè)非常小的值。因此均衡點(diǎn)算法的輸出解可以作為最優(yōu)解。從圖5 和圖6 可以看出，由于時(shí)變CSI 的影響，Wi-Fi 和LTE 頻譜劃分均衡點(diǎn)分別在不同的時(shí)間尺度上劇烈變化，說(shuō)明無(wú)補(bǔ)償雙時(shí)間尺度算法很難跟蹤上均衡點(diǎn)的動(dòng)態(tài)變化。得益于式(16)和式(17)中所設(shè)計(jì)的補(bǔ)償項(xiàng)，基于補(bǔ)償?shù)碾p時(shí)間尺度迭代算法能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)均衡點(diǎn)的準(zhǔn)確跟蹤。

圖7 和圖8 分別為加權(quán)網(wǎng)絡(luò)吞吐量和平均迭代次數(shù)與算法容忍度ε之間的關(guān)系。通過(guò)圖7 可以發(fā)現(xiàn)，均衡點(diǎn)算法總是能夠獲得一個(gè)和單時(shí)間尺度算法接近的網(wǎng)絡(luò)吞吐量。然而從圖8 可以看出，當(dāng)ε<10-4時(shí)，單時(shí)間尺度算法所需的迭代次數(shù)比均衡點(diǎn)算法高得多。這驗(yàn)證了雙時(shí)間尺度算法設(shè)計(jì)的合理性，也就是說(shuō)不同的網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)分別按不同的時(shí)間尺度變化，如果在每一個(gè)時(shí)隙上對(duì)所有的算法都進(jìn)行多次迭代，則會(huì)帶來(lái)大量的計(jì)算開(kāi)銷(xiāo)。從圖7 可以看出，當(dāng)ε比較小時(shí)，均衡點(diǎn)算法能夠獲得比基于補(bǔ)償?shù)碾p時(shí)間尺度迭代算法和無(wú)補(bǔ)償雙時(shí)間尺度算法更高的網(wǎng)絡(luò)吞吐量；均衡點(diǎn)算法需要在每一個(gè)時(shí)隙內(nèi)對(duì)算法進(jìn)行多次迭代以獲得ε-最優(yōu)，這無(wú)疑會(huì)帶來(lái)巨大的迭代開(kāi)銷(xiāo)。與均衡點(diǎn)算法不同，無(wú)論是無(wú)補(bǔ)償雙時(shí)間尺度算法還是基于補(bǔ)償?shù)碾p時(shí)間尺度算法，都只需要在每一個(gè)幀和時(shí)隙內(nèi)進(jìn)行一次迭代。當(dāng)ε比較大時(shí)，盡管均衡點(diǎn)算法的迭代開(kāi)銷(xiāo)和其他算法差不多，但是其獲得的網(wǎng)絡(luò)吞吐量要比其他算法小得多。與此形成對(duì)比的是基于補(bǔ)償?shù)碾p時(shí)間尺度迭代算法能夠在比較低的迭代開(kāi)銷(xiāo)的情況下得到較好的網(wǎng)絡(luò)吞吐量性能。

圖5 Wi-Fi 頻譜劃分變量在大時(shí)間尺度上的移動(dòng)軌跡

圖6 LTE 頻譜劃分變量在小時(shí)間尺度上的移動(dòng)軌跡

圖9 和圖10 分別為加權(quán)網(wǎng)絡(luò)吞吐量和算法平均迭代次數(shù)與信道時(shí)間相關(guān)系數(shù)a之間的關(guān)系。從圖9 可以看出，網(wǎng)絡(luò)加權(quán)吞吐量隨著a的增加而減小。這是因?yàn)閍越大，無(wú)線信道的波動(dòng)越大，網(wǎng)絡(luò)傳輸條件越差，從而導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)加權(quán)吞吐量越低。從圖9 還可以看出，無(wú)論網(wǎng)絡(luò)條件的好壞，基于補(bǔ)償?shù)碾p時(shí)間尺度算法始終能夠獲得比無(wú)補(bǔ)償雙時(shí)間算法更好的性能。雖然均衡點(diǎn)算法和單時(shí)間尺度最優(yōu)算法能夠獲得比基于補(bǔ)償?shù)碾p時(shí)間尺度算法更好的吞吐量性能，但是從圖10 可以看出，它們獲得的吞吐量性能提升的代價(jià)是非常高的算法迭代開(kāi)銷(xiāo)。

圖7 加權(quán)網(wǎng)絡(luò)吞吐量與算法容忍度之間的關(guān)系

圖8 平均迭代次數(shù)與算法容忍度之間的關(guān)系

5 結(jié)束語(yǔ)

為了實(shí)現(xiàn)LTE 和Wi-Fi在未授權(quán)頻譜上的和諧共存，本文設(shè)計(jì)了一種基于補(bǔ)償機(jī)制的雙時(shí)間尺度頻譜劃分算法。具體而言，Wi-Fi 的頻譜根據(jù)全局CSI 進(jìn)行劃分并且運(yùn)行在以幀為單位的大時(shí)間尺度；LTE 依據(jù)局部CSI 進(jìn)行頻譜劃分并且運(yùn)行在以時(shí)隙為單位的小時(shí)間尺度。利用隨機(jī)微分方程將雙尺度迭代算法的跟蹤誤差建模為虛擬隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。最后，通過(guò)使虛擬隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定得到了算法收斂的充分條件。

圖9 加權(quán)網(wǎng)絡(luò)吞吐量和信道時(shí)間相關(guān)系數(shù)a 的關(guān)系

圖10 算法迭代次數(shù)和信道時(shí)間相關(guān)系數(shù)a 的關(guān)系