李書領(lǐng)，段松凱，李書良

（1.河南機電職業(yè)學院電氣工程學院，河南鄭州451191；2.包頭鋼鐵集團，內(nèi)蒙古包頭014000）

隨著科學技術(shù)的發(fā)展，人類生產(chǎn)生活對機電設(shè)備復(fù)雜程度的需求日益提升，電機作為機電產(chǎn)品中的驅(qū)動設(shè)備，已被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域。利用電機實現(xiàn)電能與機械能的轉(zhuǎn)換，具有高效、環(huán)保且可靠的優(yōu)點，是目前工業(yè)生產(chǎn)和控制中普遍應(yīng)用的驅(qū)動產(chǎn)品。以適應(yīng)復(fù)雜工控環(huán)境和市場需求為導向，越來越多的機電產(chǎn)品如工業(yè)生產(chǎn)線、打印機、數(shù)控機床、醫(yī)療器械及工業(yè)機器人等，其控制系統(tǒng)都需要多電機協(xié)同控制，驅(qū)動執(zhí)行機構(gòu)實現(xiàn)預(yù)期功能。目前，多電機控制系統(tǒng)中存在的遲滯非線性、參數(shù)攝動及多狀態(tài)變量等問題是研究的重點和難點，國內(nèi)外學者對此展開廣泛深入研究，以提高多電機同步控制或協(xié)同控制的精度[1-4]。

馮建修等學者[5]以玻璃纖維濕法氈生產(chǎn)線為研究對象，提出了基于變頻器間數(shù)據(jù)傳輸特性和控制器特性的激光測距閉環(huán)控制策略，并說明了交流同步傳動系統(tǒng)的實現(xiàn)方法。谷雨等學者[6]在相鄰交叉耦合控制策略的基礎(chǔ)上，考慮不同職能電機的功能權(quán)值，提出了加權(quán)交叉耦合的多電機同步控制算法，利用Matlab/Simulink對算法的有效性和穩(wěn)定性進行了驗證。李言民等學者[7]為保證多臺伺服電機的同步控制精度，提出了基于模糊PID控制器的多電機交叉耦合控制方法，通過Matlab仿真實驗驗證了此方法對系統(tǒng)抗擾動的優(yōu)化。上述方法通過優(yōu)化控制器結(jié)構(gòu)和參數(shù)提高多電機同步控制精度，但由于這些控制方法需要較大計算量，多通過仿真驗證算法的性能，難以應(yīng)用在實際工控環(huán)境中。

Xia Changliang等學者[8]針對兩自由度機械控制平臺，在傳統(tǒng)的比例積分速度控制器基礎(chǔ)上，利用卡爾曼濾波對速度反饋信號實時估計，降低傳感器反饋信號的噪聲，提高多電機同步控制精度。涂文聰和周湛清等學者[9-10]分別利用模糊動態(tài)代價函數(shù)和魯棒控制方法實現(xiàn)模型預(yù)測電流或轉(zhuǎn)矩控制，將現(xiàn)代智能控制算法思想融入控制器，可有效提高伺服電機單軸跟蹤精度。樊英等學者[11]提出了基于新型趨近律和混合速度控制器的IPMSM調(diào)速系統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制，通過提高單軸永磁同步電機的跟蹤性能來間接提高多電機同步跟蹤性能。綜上所述，利用提高單軸動態(tài)特性及反饋信號準確度的方法可以在一定程度上提高多電機同步控制精度，但是對于具有交叉耦合特性的機電系統(tǒng)，此類方法不再適用。

Shi Tingna等學者[12]簡化了基于偏差耦合的控制器結(jié)構(gòu)，利用速度環(huán)同步控制調(diào)節(jié)實現(xiàn)多電機同步性能和跟蹤性能的解耦控制。為兼顧控制系統(tǒng)單軸跟蹤性能和多軸同步性能，耿強等學者[13]針對傳統(tǒng)偏差耦合多電機同步控制方法，將多電機系統(tǒng)運行過程進行分段化處理，提出了基于線性系統(tǒng)校正原理的改進型偏差耦合控制結(jié)構(gòu)，根據(jù)分段控制需求設(shè)計控制器輸出選擇函數(shù)，通過仿真和試驗驗證了所提方法的有效性和可行性。以上方法針對實際被控對象，進行數(shù)學建模和控制器優(yōu)化，能夠較好地解決多電機同步控制精度的問題，但是在試驗過程中需要進行大量的在線計算，給控制器帶來了較大的運算負擔，在一定程度上占用了控制器在其他方面的運算能力。

為了有效提升多電機交叉耦合控制系統(tǒng)的動態(tài)性能，降低控制器運算負載，提高算法實現(xiàn)可行性和普適性，本文提出一種基于迭代優(yōu)化的多電機交叉耦合控制方法，針對被控對象數(shù)學模型及輸入指令跟蹤軌跡，設(shè)計合理的前饋控制器結(jié)構(gòu)，并對前饋控制器的參數(shù)迭代優(yōu)化，利用前饋控制器的有效補償提升被控對象的多軸交叉耦合控制性能，最后，通過仿真和試驗驗證所提算法的正確性和有效性。

1 前饋控制器結(jié)構(gòu)設(shè)計

針對含有控制器、旋轉(zhuǎn)伺服電機和滾珠絲杠的機電系統(tǒng)，建立其數(shù)學模型，圖1為機電控制系統(tǒng)的控制框圖。

圖1 典型機電系統(tǒng)控制框圖Fig.1 Control block diagram of typical electromechanical system

圖1中，控制環(huán)節(jié)采用傳統(tǒng)的PID控制器，由于機械系統(tǒng)需要將旋轉(zhuǎn)伺服電機的旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)換為直線運動，因此利用聯(lián)軸器和滾珠絲杠實現(xiàn)運動形式轉(zhuǎn)換。針對圖1的典型機電系統(tǒng)控制功能框圖，在忽略前饋補償環(huán)節(jié)的條件下，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

式中：x（s）為機電系統(tǒng)的輸出位移；xr（s）為系統(tǒng)位置指令；Kp，Ki，Kd分別為PID控制器的比例、積分和微分系數(shù)；Kt為旋轉(zhuǎn)伺服電機的轉(zhuǎn)矩系數(shù)；Krl為機械平臺旋轉(zhuǎn)運動與直線運動的轉(zhuǎn)換系數(shù)，其與聯(lián)軸器剛度、滾珠絲杠參數(shù)有關(guān)；M為滾珠絲杠和移動平臺在工作過程中的等效質(zhì)量；B為機械平臺在平行移動時的阻尼系數(shù)。

根據(jù)式（1）所示的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，在考慮傳動環(huán)節(jié)的情況下，系統(tǒng)含有高階特性，在單軸運動控制過程中，常利用前饋控制器對系統(tǒng)特性進行補償，實現(xiàn)響應(yīng)快、精度高的動態(tài)性能要求。對于兩軸或多軸機電系統(tǒng)，由于不同自由度工件臺的質(zhì)量相互耦合，其某一自由度工件臺的等效質(zhì)量隨運動過程呈慢時變特性，因此針對多自由度機電系統(tǒng)交叉耦合問題，設(shè)計合理的前饋控制器對系統(tǒng)交叉耦合特性進行補償，是提高系統(tǒng)動態(tài)性能的關(guān)鍵。

前饋控制器的設(shè)計主要包括前饋控制器結(jié)構(gòu)設(shè)計和參數(shù)優(yōu)化。其設(shè)計的核心是利用前饋控制器結(jié)構(gòu)和參數(shù)優(yōu)化實現(xiàn)對被控對象數(shù)學模型的逆等效。在理想狀態(tài)下，若前饋控制器F能夠與被控對象數(shù)學模型的逆等效，則系統(tǒng)在無控制器作用下也可實現(xiàn)對輸入指令軌跡的準確跟蹤。考慮到式（1）所示的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，本文采用基于連續(xù)指令軌跡的前饋控制器，其數(shù)學表達為

式中：F（s）為前饋控制器結(jié)構(gòu)；s為對指令軌跡的微分；n為指令軌跡微分的階數(shù)。

則前饋控制器輸出ufo為

式中：F（a）中元素a0，a1，a2，…，an為前饋控制器對應(yīng)參數(shù)配置。

綜上，根據(jù)前饋控制器的參數(shù)和指令軌跡可以確定前饋控制器補償量，與系統(tǒng)控制器輸出共同確定控制率輸出，實現(xiàn)對伺服電機的控制調(diào)節(jié)作用。以兩自由度平臺為研究對象，在考慮系統(tǒng)交叉耦合特性影響下，圖2為系統(tǒng)交叉耦合前饋控制器結(jié)構(gòu)原理，其中單軸前饋控制器用來擬合本系統(tǒng)模型的逆，耦合前饋控制器負責解耦其余自由度系統(tǒng)對本系統(tǒng)的影響，在此基礎(chǔ)上需確定前饋控制器中的參數(shù)以及參數(shù)的迭代優(yōu)化方法，利用準確高效的參數(shù)優(yōu)化方法實現(xiàn)系統(tǒng)動態(tài)性能的提升。

圖2 交叉耦合前饋控制器結(jié)構(gòu)原理圖Fig.2 Structural schematic diagram of crosscoupled feedforward controller

2 迭代優(yōu)化控制策略

本文采用基于連續(xù)指令軌跡的前饋控制器結(jié)構(gòu)，根據(jù)前饋控制器結(jié)構(gòu)，其傳遞函數(shù)中不含有極點，若能夠保證其前饋控制量輸出有界，則可確定此前饋控制器自身穩(wěn)定，進而保證系統(tǒng)穩(wěn)定性。根據(jù)圖1可確定系統(tǒng)單軸跟蹤誤差的表達式如下：

式中：xr（a）為輸入指令軌跡；x（a）為工件臺輸出位移；e（a）為系統(tǒng)單軸跟蹤誤差。

為提高此系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)特性，即保證在輸入指令軌跡時變的過程中，系統(tǒng)能夠快速、準確地實現(xiàn)對目標指令軌跡的跟蹤，避免單軸跟蹤誤差受到自身系統(tǒng)和耦合系統(tǒng)的共同影響，基于單軸跟蹤誤差定義控制系統(tǒng)的目標函數(shù)如下：

式中：Z為自定時非零正整數(shù)。

根據(jù)數(shù)值分析相關(guān)理論，式（5）的目標函數(shù)為凸函數(shù)，為確定其迭代更新率求解過程，首先確定初始前饋控制參數(shù)向量a0和正定矩陣Q，如下式所示：

式中：dk為迭代運算中間變量；k，i分別為迭代次數(shù)和F（a）中的第i個元素；?為梯度運算符號；τk為相互共軛且線性無關(guān)的向量，此向量可在初始化階段設(shè)定，滿足求解方程要求即可。在迭代計算過程中τk表達式如下式：

式（7）中，τk為方程求解初始化階段設(shè)定的向量參數(shù)，在迭代計算過程中，需要根據(jù)τk的殘差判斷方程求解的停止條件，即τk為方程求解精度設(shè)定向量，在實際應(yīng)用過程中，根據(jù)所需計算精度、處理器運算能力與計算效率匹配確定。

3 控制方法收斂性分析

針對第2節(jié)的前饋控制器參數(shù)向量確定方法，本節(jié)將對參數(shù)向量確定方法的收斂速度和收斂精度進行分析。根據(jù)式（5）所示的目標函數(shù)可知其滿足凸函數(shù)定義，假設(shè)ao為目標函數(shù)的最優(yōu)解，若目標函數(shù)二階連續(xù)可導，則目標函數(shù)滿足下式：

且若目標函數(shù)的最優(yōu)解為ao，則對目標函數(shù)J（a）在最優(yōu)解點進行泰勒函數(shù)展開，有：

式中：為前饋控制器參數(shù)向量與最優(yōu)解目標向量的殘差值。

此時聯(lián)立式（8）和式（9）可以得到：

進一步可求得殘差的表達式：

若保證前饋控制器參數(shù)向量不斷收斂，則需要殘差向量滿足下式：

即對式（11）兩邊取范數(shù)后，需使不同迭代次數(shù)的殘差向量滿足式（12），將式（11）和式（12）聯(lián)立可得：若前饋向量滿足收斂特性，則需要Z滿足條件0＜Z＜2。

若使前饋控制器參數(shù)向量收斂速度快，則根據(jù)式（12）可知：若Z=1時，理論上其可以實現(xiàn)快速收斂，通過1次迭代計算即可得到最優(yōu)前饋控制器參數(shù)向量。但是，由于機電系統(tǒng)在數(shù)學建模過程中包含簡化環(huán)節(jié)，如機械平臺的死區(qū)非線性、遲滯滯回特性以及電機電感等非線性環(huán)節(jié)，在迭代計算過程中不可避免地產(chǎn)生系統(tǒng)誤差，因此收斂特性會受到影響。在確定前饋控制器參數(shù)向量過程中，通過多次迭代優(yōu)化可以降低上述非線性環(huán)節(jié)的影響，得到前饋控制器參數(shù)向量最優(yōu)解。

上述前饋控制器參數(shù)向量確定方法和收斂性分析是針對單軸伺服展開的，對于圖2所示的交叉耦合前饋控制器，前饋控制器結(jié)構(gòu)和迭代優(yōu)化方法相同，即通過優(yōu)化前饋控制器結(jié)構(gòu)和參數(shù)確定最優(yōu)解，實現(xiàn)對單軸系統(tǒng)本身及其他自由度對本軸影響的有效補償。

4 仿真試驗驗證

為驗證所提迭代優(yōu)化更新方法的正確性和收斂性，利用Matlab/Simulink對其算法驗證。仿真試驗中采用的控制器及被控對象參數(shù)為：工件臺等效質(zhì)量M=1.25 kg，工件滑動阻尼系數(shù)B=0.625 N/（m·s-1），控制器比例系數(shù)Kp=676.4，控制器積分系數(shù)Ki=10 146.1，控制器微分系數(shù)Kd=0?；谝陨系谋豢貙ο蠛涂刂破鲄?shù)，利用基于軌跡信息的前饋控制器實現(xiàn)迭代優(yōu)化控制，判斷迭代更新方法的收斂速度和收斂精度。

針對控制系統(tǒng)模型和控制器，以文獻[14]中指令軌跡為參考位置輸入進行仿真分析，利用所提的前饋控制器參數(shù)向量迭代優(yōu)化方法進行參數(shù)的迭代更新，圖3為10次迭代計算過程中迭代次數(shù)與目標函數(shù)的關(guān)系。由圖3可見，本文所提方法能夠在較短迭代過程中實現(xiàn)收斂，收斂速度較好，且隨著迭代計算次數(shù)的增加，其目標函數(shù)能夠收斂到全局最優(yōu)。

圖3 迭代優(yōu)化方法的收斂性分析Fig.3 Convergence analysis of iterative optimization method

圖4為傳統(tǒng)交叉耦合算法和本文所提出的基于迭代優(yōu)化控制方法的比較。由圖4可知，利用傳統(tǒng)交叉耦合算法，其最大跟蹤誤差為0.7 μm，而利用迭代優(yōu)化控制方法對交叉耦合控制器優(yōu)化后，其最大跟蹤誤差在0.2 μm以內(nèi)，據(jù)此通過仿真驗證了所提算法的有效性。

圖4 傳統(tǒng)交叉耦合與迭代優(yōu)化算法比較Fig.4 Comparison of traditional cross-coupling and iterative optimization algorithms

為進一步驗證所提方法的適用性和通用性，通過XY兩自由度試驗平臺進行試驗。兩自由度試驗平臺機械部分由THK滾珠絲杠和聯(lián)軸器組成，電氣部分包括自研的控制板卡和臺達旋轉(zhuǎn)交流伺服電機等，利用道爾光柵作為位置反饋傳感器，其分辨率為1 μm?；谏鲜鲈囼炂脚_，對勻速位置指令和正弦位置指令分別試驗，利用本文所提的迭代前饋控制器參數(shù)優(yōu)化方法，采集單軸跟蹤誤差來對比說明不同控制方法的動態(tài)性能。

圖5為在10 mm/s的指令速度下，傳統(tǒng)PID控制器和基于迭代優(yōu)化控制方法所對應(yīng)的單軸跟蹤誤差，基于傳統(tǒng)PID控制器的單軸跟蹤誤差的均方根值為21.3 μm，利用迭代優(yōu)化的PID控制器試驗平臺的單軸跟蹤誤差的均方根值為13.7 μm。

圖5 勻速指令下單軸跟蹤誤差Fig.5 Uniaxial tracking error under uniform speed command

與此同時，在幅值為50 mm、周期為1 s的正弦位置指令輸入下，基于PID控制器（初始狀態(tài)）和迭代優(yōu)化后的試驗結(jié)果如圖6所示，傳統(tǒng)PID控制器所對應(yīng)的單軸跟蹤誤差均方根值為88.3 μm，利用迭代優(yōu)化前饋控制器的控制方法其單軸跟蹤誤差的均方根值為25.6 μm；由于驅(qū)動控制過程中采用d-q軸控制方法，根據(jù)圖7的q軸電流采樣可見，初始狀態(tài)下其q軸采樣值的最大值為350 mA，經(jīng)過迭代優(yōu)化計算后q軸采樣值的最大值為200 mA，即通過迭代優(yōu)化后的控制方法能夠通過前饋交叉耦合前饋控制適量補償，從而減少控制器作用，提高系統(tǒng)動態(tài)跟蹤精度。

圖6 正弦指令下單軸跟蹤誤差Fig.6 Uniaxial tracking error under sinusoidal command

圖7 正弦指令下q軸電流采樣Fig.7 Sampling of q-axis current under sinusoidal command

綜上所述，基于迭代優(yōu)化的多電機交叉耦合控制方法能夠有效提升機電系統(tǒng)的動態(tài)控制精度，根據(jù)勻速位置指令和正弦位置指令的試驗結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，基于軌跡的前饋控制器結(jié)構(gòu)及其參數(shù)優(yōu)化方法能夠有效提升系統(tǒng)動態(tài)特性，且優(yōu)化方法具有較好的收斂速度和收斂精度，為實際工程應(yīng)用奠定基礎(chǔ)，為解決多軸電機同步控制及交叉耦合問題提供思路。

5 結(jié)論

為提高多電機同步控制性能及多自由度機電系統(tǒng)的動態(tài)特性，本文提出一種基于迭代優(yōu)化的多電機交叉耦合控制方法。首先，針對機電系統(tǒng)進行數(shù)學建模，利用經(jīng)典控制器理論推導系統(tǒng)傳遞函數(shù)；其次，設(shè)計合理的前饋控制器結(jié)構(gòu)并提出有效的前饋控制器參數(shù)優(yōu)化方法；再次，對所提方法進行了收斂速度和收斂精度的分析；最后，通過仿真和試驗驗證了所提方法的正確性和實用性。本文所提控制方法能夠通過離線迭代優(yōu)化，實現(xiàn)目標函數(shù)的快速收斂，有效降低了控制器在線運算負載和算法實現(xiàn)難度。