陳成， 趙良玉， 謝浩怡， 郝曉兵

(1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院, 北京 100081; 2.河南北方紅陽機(jī)電有限公司, 河南 南陽 473000)

0 引言

由于繞自身縱軸的連續(xù)滾轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)彈在簡(jiǎn)化控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及組成、減小制造公差影響、避免單面燒蝕、降低成本等方面具有明顯優(yōu)勢(shì)[1]，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于火箭彈、反坦克導(dǎo)彈、防空導(dǎo)彈、戰(zhàn)略導(dǎo)彈等領(lǐng)域。考慮彈體的低通濾波特性，部分旋轉(zhuǎn)彈僅使用一對(duì)鴨舵來完成俯仰和偏航兩個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)控制，進(jìn)一步簡(jiǎn)化了彈體結(jié)構(gòu)并降低了成本，如美國(guó)“拉姆”艦空導(dǎo)彈和我國(guó)FL-3000N近防系統(tǒng)就是這類單通道控制旋轉(zhuǎn)彈的典型代表。

同樣考慮連續(xù)滾轉(zhuǎn)的特點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)彈飛行過程中會(huì)受到陀螺效應(yīng)、馬格努斯效應(yīng)的影響，導(dǎo)致彈體縱軸繞速度矢量旋轉(zhuǎn)并形成以速度矢量為中心的圓錐面運(yùn)動(dòng)，通常稱為錐形運(yùn)動(dòng)或圓錐運(yùn)動(dòng)[2]。錐形運(yùn)動(dòng)將顯著影響旋轉(zhuǎn)彈飛行的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性，不收斂的錐形運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致射程降低甚至出現(xiàn)飛行中“掉彈”的情況[3]。因此，旋轉(zhuǎn)彈的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性即錐形運(yùn)動(dòng)及其穩(wěn)定條件，一直是國(guó)內(nèi)外在旋轉(zhuǎn)彈領(lǐng)域的研究重點(diǎn)和難點(diǎn)[4]。

目前，對(duì)旋轉(zhuǎn)彈動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性的研究主要圍繞具有兩對(duì)鴨舵的雙通道控制旋轉(zhuǎn)彈進(jìn)行開展。由Murphy創(chuàng)造性提出的，在準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系下建立復(fù)攻角運(yùn)動(dòng)模型對(duì)旋轉(zhuǎn)彈角運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析的方法至今仍被廣泛采用，該方法能夠給出彈體角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定的解析式充要條件[5]。徐明友采用李雅普諾夫直接法得到旋轉(zhuǎn)彈角運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定邊界條件，進(jìn)一步證明了Murphy復(fù)攻角分析方法的正確性和有效性[6]。在此基礎(chǔ)上，閆曉勇等[7]、楊樹興等[8]針對(duì)帶有控制系統(tǒng)的制導(dǎo)火箭彈開展了深入研究，推導(dǎo)了不同自動(dòng)駕駛儀結(jié)構(gòu)下的旋轉(zhuǎn)彈角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定條件。與雙通道控制旋轉(zhuǎn)彈的解析研究方法不同，單通道控制旋轉(zhuǎn)彈的研究更多是通過數(shù)值仿真來判斷各因素對(duì)錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響，這主要是因?yàn)槠湟粚?duì)鴨舵引起的氣動(dòng)不對(duì)稱性無法忽略[9]。任天榮等[10]通過對(duì)導(dǎo)彈縱向靜穩(wěn)定力矩及側(cè)向力矩的研究，判斷線性氣動(dòng)阻尼會(huì)對(duì)單通道控制旋轉(zhuǎn)彈的錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定產(chǎn)生不利影響。Cooper等[11]、石忠佼等[12]通過引入鴨舵坐標(biāo)系，建立了具有一對(duì)鴨舵的單通道控制旋轉(zhuǎn)彈線性化角運(yùn)動(dòng)模型，并利用數(shù)值計(jì)算得到了其錐形運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)間，揭示了氣動(dòng)不對(duì)稱對(duì)單通道控制旋轉(zhuǎn)彈角運(yùn)動(dòng)特性的影響規(guī)律。Xu等[13]建立了忽略二倍彈旋頻率分量的單通道控制旋轉(zhuǎn)彈非線性角運(yùn)動(dòng)模型，并通過李雅普諾夫指數(shù)譜分析和龐加萊截面分析，指出單通道控制旋轉(zhuǎn)彈的規(guī)則錐形運(yùn)動(dòng)可以隨參數(shù)變化過渡到混沌運(yùn)動(dòng)。

雙通道控制旋轉(zhuǎn)彈的研究成果證明了通過復(fù)攻角運(yùn)動(dòng)方程對(duì)彈體動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性進(jìn)行復(fù)分析是切實(shí)有效的，可得到旋轉(zhuǎn)彈角運(yùn)動(dòng)的解析解并能夠揭示彈體出現(xiàn)不收斂錐形運(yùn)動(dòng)的原因。但對(duì)于單通道控制旋轉(zhuǎn)彈來說，受一對(duì)鴨舵引入的不對(duì)稱氣動(dòng)力影響，導(dǎo)致無法直接建立其復(fù)攻角運(yùn)動(dòng)模型，也就無法采用復(fù)分析方法對(duì)其錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行研究，盡管Xu等[13]通過建立忽略二倍彈旋頻率分量的單通道控制旋轉(zhuǎn)彈角運(yùn)動(dòng)模型，消除了不對(duì)稱因素的影響，推導(dǎo)得到了對(duì)應(yīng)的復(fù)攻角運(yùn)動(dòng)模型，但其并未對(duì)該模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證，且沒有確定不同的舵面偏轉(zhuǎn)方式對(duì)角運(yùn)動(dòng)的影響規(guī)律。

本文針對(duì)單通道控制旋轉(zhuǎn)彈角運(yùn)動(dòng)分析方法的不足，在對(duì)比分析多個(gè)角運(yùn)動(dòng)近似模型的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了適用于單通道控制旋轉(zhuǎn)彈動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性研究的復(fù)攻角運(yùn)動(dòng)模型，采用復(fù)分析方法得到了旋轉(zhuǎn)彈無舵偏、固定舵偏及正弦式舵偏條件下的角運(yùn)動(dòng)解析解，并對(duì)角運(yùn)動(dòng)的收斂過程、穩(wěn)態(tài)情況及可能出現(xiàn)的共振現(xiàn)象進(jìn)行了分析，為研究同類旋轉(zhuǎn)彈的錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性問題提供了參考。

1 角運(yùn)動(dòng)模型及穩(wěn)定性分析

1.1 角運(yùn)動(dòng)模型

參考文獻(xiàn)[11-12]，定義如圖1所示的彈體坐標(biāo)系Obxbybzb、鴨舵1坐標(biāo)系Oc1xc1yc1zc1、鴨舵2坐標(biāo)系Oc2xc2yc2zc2. 其中：δ為舵偏角。彈體坐標(biāo)系原點(diǎn)Ob位于彈體質(zhì)心，Obxb軸與彈體縱向?qū)ΨQ軸重合；Obzb軸位于彈體縱向?qū)ΨQ面內(nèi)與Obxb軸垂直，指向下為正；Obyb軸垂直于Obxbzb平面，指向彈體右側(cè)為正。鴨舵1坐標(biāo)系原點(diǎn)Oc1位于鴨舵1的質(zhì)心，Oc1xc1軸與鴨舵1縱向?qū)ΨQ軸重合；Oc1zc1軸位于鴨舵1縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)與Oc1xc1軸垂直，指向下為正；Oc1yc1軸垂直于Oc1xc1zc1平面，指向彈體右側(cè)為正。鴨舵2坐標(biāo)系原點(diǎn)Oc2位于鴨舵2的質(zhì)心，Oc2xc2軸與鴨舵2縱向?qū)ΨQ軸重合；Oc2zc2軸位于鴨舵2縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)與Oc2xc2軸垂直，指向下為正；Oc2yc2軸垂直于Oc2xc2zc2平面，指向彈體右側(cè)為正。

圖1 鴨舵坐標(biāo)系Fig.1 Canard coordinate system

假設(shè)彈體速度、轉(zhuǎn)速、質(zhì)量及氣動(dòng)力系數(shù)在短時(shí)間內(nèi)保持不變，且滿足sinα=α、cosα=1的小角度假設(shè)(α為攻角)，通過建立單通道控制旋轉(zhuǎn)彈的動(dòng)力學(xué)方程，可得其線性化角運(yùn)動(dòng)模型(下文稱為單通道模型)：

(1)

由(1)式的系統(tǒng)矩陣可以看出，僅具有一對(duì)鴨舵的單通道控制旋轉(zhuǎn)彈，在飛行過程中會(huì)引入氣動(dòng)力不對(duì)稱項(xiàng)，即vV2/L、V3、M2v2/L2、M3v/L，導(dǎo)致無法建立其復(fù)攻角形式的角運(yùn)動(dòng)方程。針對(duì)此問題，仿照雙通道控制旋轉(zhuǎn)彈的鴨舵布局引入另外一對(duì)虛擬鴨舵，并在該對(duì)鴨舵上建立如圖(1)b所示的鴨舵2坐標(biāo)系，令兩對(duì)鴨舵的舵面偏轉(zhuǎn)規(guī)律相同，如此可得到雙通道控制形式的旋轉(zhuǎn)彈角運(yùn)動(dòng)模型(下文稱為雙通道模型)：

(2)

由(2)式系統(tǒng)矩陣可知其具有氣動(dòng)對(duì)稱性，若直接忽略(1)式中的氣動(dòng)力不對(duì)稱項(xiàng)，同樣可得滿足氣動(dòng)對(duì)稱性的角運(yùn)動(dòng)模型(下文稱為單對(duì)稱模型)：

(3)

接下來利用(2)式和(3)式分析其角運(yùn)動(dòng)情況，以判斷它們是否能夠作為單通道控制旋轉(zhuǎn)彈的角運(yùn)動(dòng)近似模型。

1.2 穩(wěn)定性分析

(4)

用(4)式表示單通道模型的系統(tǒng)矩陣，則系統(tǒng)的特征方程為

Δ(λ)=b4λ4+b3λ3+b2λ2+b1λ+b0，

(5)

式中：λ為特征方程的特征值；b4、b3、b2、b1、b0為系數(shù)，各項(xiàng)系數(shù)定義為

(6)

由勞斯判據(jù)可知其穩(wěn)定的充要條件為

(7)

對(duì)于指定的單通道控制旋轉(zhuǎn)彈，可將(6)式中的旋轉(zhuǎn)彈錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定條件等價(jià)為錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定情況下的轉(zhuǎn)速取值范圍，將表1所示的相關(guān)參數(shù)代入(6)式，經(jīng)轉(zhuǎn)換求解得到單通道模型的穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)間為

(8)

表1 彈體參數(shù)

同理可得單對(duì)稱模型的穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)間為

0 rad/s<ω<79.2 rad/s，

(9)

雙通道模型的穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)間為

0 rad/s<ω<69.0 rad/s.

(10)

為更好地比較上述3種模型，分別對(duì)不同轉(zhuǎn)速條件下的角運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行數(shù)值仿真。建立如圖2所示的準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系[12]：Onxn軸與彈體坐標(biāo)系Obxb軸重合；Onzn軸位于包含彈體縱軸的鉛垂面內(nèi)，指向下為正；Onyn軸垂直于Onxnzn平面，指向彈體右側(cè)為正。在準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系下有準(zhǔn)攻角α*和準(zhǔn)側(cè)滑角β*的表達(dá)式為

(11)

圖2 坐標(biāo)系示意圖Fig.2 Schematic diagram of coordinate system

圖3 0～100 rad/s轉(zhuǎn)速條件下最大全攻角變化情況Fig.3 Full angle of attack at 0-100 rad/s

由(8)式的求解結(jié)果及圖3的仿真結(jié)果可知，單通道模型的穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)間不連續(xù)，在低頻段存在10～13.4 rad/s的不穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)間，且在該區(qū)間內(nèi)角運(yùn)動(dòng)發(fā)散速度極快。除此之外，3種模型在臨界轉(zhuǎn)速以內(nèi)的最大全攻角均相差不大，但超出臨界轉(zhuǎn)速后，最大全攻角的數(shù)值會(huì)出現(xiàn)明顯差別。

分別對(duì)3種模型處于各自高頻臨界轉(zhuǎn)速條件下的角運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行仿真，結(jié)果見圖4.

圖4 穩(wěn)定轉(zhuǎn)速邊界條件下的角運(yùn)動(dòng)曲線Fig.4 Angular motion curves at critical stable rotational speed

由圖4及上述分析結(jié)果可知，舵偏角為0°時(shí)，3種模型在各自高頻臨界轉(zhuǎn)速條件下的角運(yùn)動(dòng)曲線有一定相似，但近似度較差，且3種模型的高頻臨界轉(zhuǎn)速相差較大，故單對(duì)稱模型和雙通道模型作為近似模型均存在不足，有必要構(gòu)造更準(zhǔn)確的角運(yùn)動(dòng)近似模型。

2 改進(jìn)的角運(yùn)動(dòng)模型

2.1 單對(duì)稱倍頻模型

考慮旋轉(zhuǎn)彈的低通濾波特性，在準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系下建立忽略二倍彈旋頻率分量的單通道控制旋轉(zhuǎn)彈角運(yùn)動(dòng)模型[13](下文稱為單對(duì)稱倍頻模型)：

(12)

同樣利用勞斯判據(jù)可求得其穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)間為

0 rad/s<ω<75.9 rad/s.

(13)

圖5 穩(wěn)定轉(zhuǎn)速邊界條件下的角運(yùn)動(dòng)曲線Fig.5 Angular motion curves at critical stable rotational speed

設(shè)攻角和側(cè)滑角的仿真初值均為3°，舵偏角為0°，仿真時(shí)長(zhǎng)30 s，單對(duì)稱倍頻模型的角運(yùn)動(dòng)情況如圖5～圖8所示。

圖6 30 rad/s轉(zhuǎn)速條件下的角運(yùn)動(dòng)曲線Fig.6 Angular motion curves at 30 rad/s

圖7 80 rad/s轉(zhuǎn)速條件下的角運(yùn)動(dòng)曲線Fig.7 Angular motion curves at 80 rad/s

圖8 75～100 rad/s轉(zhuǎn)速條件下的最大全攻角Fig.8 Full angle of attack curves at 75-100 rad/s

根據(jù)圖5和圖6可知，單對(duì)稱倍頻模型的轉(zhuǎn)速邊界與單通道模型較為接近，且其在穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)(除較低頻段轉(zhuǎn)速外)的角運(yùn)動(dòng)曲線與單通道模型也比較匹配。但文獻(xiàn)[8]指出，若增加自動(dòng)駕駛儀會(huì)減小旋轉(zhuǎn)彈的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定區(qū)域，因此有必要對(duì)其穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)間外的角運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行分析。由圖7和圖8可知，當(dāng)彈體轉(zhuǎn)速超出穩(wěn)定轉(zhuǎn)速時(shí)，單對(duì)稱模型的角運(yùn)動(dòng)曲線與單通道模型相差較大，80 rad/s轉(zhuǎn)速條件下前者的錐形運(yùn)動(dòng)頻率明顯快于后者，88 rad/s轉(zhuǎn)速條件下的最大全攻角數(shù)值相差最大，為2.3°. 不同轉(zhuǎn)速條件下的最大全攻角見表2.

表2 不同轉(zhuǎn)速條件下的最大全攻角

2.2 單對(duì)稱μ系數(shù)模型

對(duì)比上述4種模型的系統(tǒng)矩陣可以發(fā)現(xiàn)，其差異主要是由vV2/L、V3、M2v2/L2、M3v/L及其系數(shù)決定的，這些項(xiàng)均與鴨舵的升力/側(cè)向力系數(shù)導(dǎo)數(shù)有關(guān)，構(gòu)造具有氣動(dòng)對(duì)稱性角運(yùn)動(dòng)近似模型的過程，實(shí)質(zhì)上是對(duì)上述各氣動(dòng)不對(duì)稱項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行調(diào)整的過程。參考前文所述各模型，對(duì)vV2/L、V3、M2v2/L2、M3v/L各項(xiàng)引入比例因子μ，在準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系下構(gòu)造更準(zhǔn)確的單通道控制旋轉(zhuǎn)彈角運(yùn)動(dòng)近似模型(下文稱為單對(duì)稱μ系數(shù)模型)，其形式如下：

(14)

為提高近似度，將單通道模型的臨界轉(zhuǎn)速ω=76.1 rad/s作為已知條件代入(14)式，可解得

μ=2.07.

(15)

對(duì)單對(duì)稱μ系數(shù)模型的角運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖9～圖12所示。

圖9 76.1 rad/s臨界轉(zhuǎn)速條件下的角運(yùn)動(dòng)曲線Fig.9 Angular motion curves at 76.1 rad/s

圖10 30 rad/s轉(zhuǎn)速條件下的角運(yùn)動(dòng)曲線Fig.10 Angular motion curves at 30 rad/s

圖11 80 rad/s轉(zhuǎn)速條件下的角運(yùn)動(dòng)曲線Fig.11 Angular motion curves at 80 rad/s

圖12 75～100 rad/s轉(zhuǎn)速條件下的最大全攻角Fig.12 Full angle of attack curves at 75-100 rad/s

由圖9～圖12仿真結(jié)果可知：當(dāng)彈體轉(zhuǎn)速在穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)時(shí)(除較低頻段轉(zhuǎn)速外)，單對(duì)稱μ系數(shù)模型的角運(yùn)動(dòng)情況同樣十分接近單通道模型，且彈體轉(zhuǎn)速超出穩(wěn)定轉(zhuǎn)速時(shí)，單對(duì)稱μ系數(shù)模型的角運(yùn)動(dòng)情況要優(yōu)于單對(duì)稱倍頻模型；80 rad/s轉(zhuǎn)速條件下與單通道模型的錐形運(yùn)動(dòng)頻率十分接近；90 rad/s轉(zhuǎn)速條件下的最大全攻角數(shù)值相差最大，但僅為0.62°；不同轉(zhuǎn)速條件下的最大全攻角數(shù)值均更接近于單通道模型，即單對(duì)稱μ系數(shù)模型作為單通道控制旋轉(zhuǎn)彈角運(yùn)動(dòng)近似模型更為準(zhǔn)確。具體見表3.

表3 不同轉(zhuǎn)速條件下的最大全攻角

3 復(fù)攻角運(yùn)動(dòng)模型及解析解

單通道控制旋轉(zhuǎn)彈的執(zhí)行機(jī)構(gòu)常采用氣動(dòng)舵機(jī)和電動(dòng)舵機(jī)，氣動(dòng)舵機(jī)一般作兩位置或三位置的Bang-Bang式偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，電動(dòng)舵機(jī)一般作正弦式偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。為驗(yàn)證單對(duì)稱μ系數(shù)模型的有效性，通過推導(dǎo)其對(duì)應(yīng)的復(fù)攻角運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)無舵偏、固定舵偏及正弦式舵偏3種典型舵面偏轉(zhuǎn)情況進(jìn)行解析求解[14-16]，得到不同條件下的角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)態(tài)值，并對(duì)共振情況進(jìn)行分析。

定義復(fù)攻角ξ為

ξ=β*+iα*.

(16)

參考(14)式中單對(duì)稱μ系數(shù)模型的矩陣表達(dá)式，對(duì)于與其形式相似的如(17)式所示模型為

(17)

式中：a、d、e、f、j、h、u1、u2、u3、u4為用于簡(jiǎn)化形式的中間量。

比較(14)式，令(17)式中

(18)

式中：

(19)

有復(fù)攻角運(yùn)動(dòng)方程：

(20)

則(20)式可表示為

(21)

3.1 無舵面偏轉(zhuǎn)

為了對(duì)(21)式中的復(fù)攻角運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行解析求解，需要先確定其齊次方程的通解，再求取不同舵面偏轉(zhuǎn)條件下的非齊次方程特解，二者相加即可得到復(fù)攻角運(yùn)動(dòng)方程的解析解。當(dāng)考慮重力影響且無舵面偏轉(zhuǎn)時(shí)，有

(22)

(22)式的特解為

(23)

則其通解表達(dá)式為

ξ=C1eφ1t+C2eφ2t+C3，

(24)

式中：

(25)

λ1、λ2為彈體角運(yùn)動(dòng)的圓運(yùn)動(dòng)阻尼指數(shù)，ω1、ω2為圓運(yùn)動(dòng)頻率，并有

(26)

3.2 舵面偏轉(zhuǎn)角度固定

當(dāng)舵面偏轉(zhuǎn)角度為某一固定值δ時(shí)，有復(fù)攻角運(yùn)動(dòng)方程：

(27)

(27)式的特解為

ξ*=C3eiωt+C4，

(28)

式中：

(29)

則其通解表達(dá)式為

ξ=C1eφ1t+C2eφ2t+C3eiωt+C4，

(30)

式中：

(31)

3.3 舵面正弦式偏轉(zhuǎn)

當(dāng)舵面作正弦式偏轉(zhuǎn)時(shí)，可將舵偏角表示為

δ(t)=δmaxsin(kt+φ)，

(32)

式中：δmax為最大舵偏角；k為舵機(jī)控制頻率；φ為初始相位。令k等于轉(zhuǎn)速ω，則有復(fù)攻角運(yùn)動(dòng)方程：

(33)

對(duì)(33)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得

(34)

(34)式的特解為

ξ*=C3e2iωt+C4，

(35)

式中：

(36)

則其通解表達(dá)式為

ξ=C1eφ1t+C2eφ2t+C3e2iωt+C4，

(37)

式中：

(38)

4 仿真分析

4.1 舵面偏轉(zhuǎn)角度固定

根據(jù)(30)式的解析結(jié)果，當(dāng)偏轉(zhuǎn)角度固定時(shí)，由舵面偏轉(zhuǎn)施加的控制可以視為周期性的強(qiáng)迫擾動(dòng)，旋轉(zhuǎn)彈角運(yùn)動(dòng)在無舵偏狀態(tài)二圓運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上增加了以轉(zhuǎn)速為圓頻率(幅值與舵偏角相關(guān))的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，變成三圓運(yùn)動(dòng)，且在轉(zhuǎn)速ω接近ω1或ω2時(shí)產(chǎn)生共振。將彈體參數(shù)及單對(duì)稱μ系數(shù)模型中的各項(xiàng)代入(26)式，令ω=ω1或ω=ω2，可得

ω=11.90 rad/s.

(39)

盡管11.90 rad/s的低頻段轉(zhuǎn)速屬于單對(duì)稱μ系數(shù)模型匹配度較差的范圍，但由解析結(jié)果可知在該轉(zhuǎn)速下單對(duì)稱μ系數(shù)模型會(huì)因共振出現(xiàn)不收斂的錐形運(yùn)動(dòng)，且由于處于非穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)間，單通道模型同樣會(huì)出現(xiàn)不收斂的錐形運(yùn)動(dòng)。

將參數(shù)及模型中的各項(xiàng)代入(27)式～(31)式，可得角運(yùn)動(dòng)的解析解。設(shè)攻角和側(cè)滑角的仿真初值均為3°，仿真時(shí)長(zhǎng)30 s，對(duì)不同固定舵偏及轉(zhuǎn)速下的角運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖13～圖16所示。

圖13 30 rad/s轉(zhuǎn)速條件下的攻角變化曲線Fig.13 Angle-of-attack curve at 30 rad/s

圖14 30 rad/s轉(zhuǎn)速條件下的側(cè)滑角變化曲線Fig.14 Sideslip angle curve at 30 rad/s

圖15 60 rad/s轉(zhuǎn)速條件下的攻角變化曲線Fig.15 Angle-of-attack curve at 60 rad/s

圖16 60 rad/s轉(zhuǎn)速條件下的側(cè)滑角變化曲線Fig.16 Sideslip angle curve at 60 rad/s

由圖13～圖16仿真結(jié)果可以看出，不同固定舵偏及轉(zhuǎn)速條件下，單對(duì)稱μ系數(shù)模型的角運(yùn)動(dòng)曲線與單通道模型均匹配較好，且收斂趨勢(shì)相同。對(duì)比圖13(a)與圖13(b)、圖16(a)與圖16(b)在相同轉(zhuǎn)速、不同舵偏下的仿真結(jié)果可知，角運(yùn)動(dòng)的振幅隨舵偏值的增大而增大；對(duì)比圖13與圖15、圖14與圖16在相同舵偏、不同轉(zhuǎn)速下的仿真結(jié)果可知，轉(zhuǎn)速較低時(shí)，角運(yùn)動(dòng)收斂速度更快。根據(jù)旋轉(zhuǎn)彈旋轉(zhuǎn)一周受等效控制力作用的原理，當(dāng)舵偏角固定時(shí)，彈體旋轉(zhuǎn)一周受到的等效控制力為0 N，角運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后會(huì)做繞原點(diǎn)的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)，與圖13～圖16中的仿真結(jié)果一致。

4.2 舵面正弦式偏轉(zhuǎn)

根據(jù)(37)式，單對(duì)稱μ系數(shù)模型在二倍轉(zhuǎn)速接近ω1或ω2時(shí)會(huì)產(chǎn)生共振。將彈體參數(shù)及模型中的各項(xiàng)代入(26)式，令2ω=ω1或2ω=ω2，可得

ω=5.88 rad/s.

(40)

設(shè)最大舵偏角為10°，初始相位為60°，對(duì)轉(zhuǎn)速為5.88 rad/s時(shí)的角運(yùn)動(dòng)情況及0～10 rad/s轉(zhuǎn)速條件下的最大全攻角情況進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖17和圖18所示。

圖17 5.88 rad/s轉(zhuǎn)速條件下的角運(yùn)動(dòng)曲線Fig.17 Angular motion curves at 5.88 rad/s

圖18 0～10 rad/s轉(zhuǎn)速條件下的最大全攻角Fig.18 Full angle-of-attack curves at 0-10 rad/s

由圖17、圖18的仿真結(jié)果可知，盡管在5.88 rad/s低頻轉(zhuǎn)速條件下，單對(duì)稱μ系數(shù)模型的匹配度與高頻段轉(zhuǎn)速相比稍差一些，但兩種模型均出現(xiàn)了共振(單通道模型具體共振轉(zhuǎn)速為5.55 rad/s)，可見在舵面作正弦式偏轉(zhuǎn)時(shí)，單對(duì)稱μ系數(shù)模型的共振分析結(jié)果能夠準(zhǔn)確反映單通道控制旋轉(zhuǎn)彈角運(yùn)動(dòng)的共振情況。

對(duì)不同最大舵偏角、初相位及轉(zhuǎn)速條件下的角運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖19～圖22所示。

圖19 30 rad/s轉(zhuǎn)速條件下的攻角變化曲線Fig.19 Angle-of-attack curve at 30 rad/s

圖20 30 rad/s轉(zhuǎn)速條件下的側(cè)滑角變化曲線Fig.20 Sideslip angle curve at 30 rad/s

圖21 60 rad/s轉(zhuǎn)速條件下的攻角變化曲線對(duì)比Fig.21 Angle-of-attack curve at 60 rad/s

圖22 60 rad/s轉(zhuǎn)速條件下的側(cè)滑角變化曲線Fig.22 Sideslip angle curve at 60 rad/s

由圖19～圖12的仿真結(jié)果可以看出，舵面作正弦式偏轉(zhuǎn)時(shí)，在不同最大舵偏角及轉(zhuǎn)速條件下，單對(duì)稱μ系數(shù)模型的角運(yùn)動(dòng)曲線與單通道模型均匹配較好。對(duì)比圖19(a)與圖19(b)、圖22(a)與圖22(b)可知，角運(yùn)動(dòng)的振幅隨最大舵偏角的增大而增大，角運(yùn)動(dòng)在轉(zhuǎn)速較低時(shí)收斂速度更快。彈體旋轉(zhuǎn)一周受到等效控制力的大小和方向與舵偏角幅值及初相位有關(guān)：初始相位為0°時(shí)，等效控制力的方向?yàn)镺nyn軸負(fù)向；初始相位不為0°時(shí)，等效控制力在Onyn軸及Onzn軸上均有分量，控制力的分析結(jié)果與圖19～圖22中角運(yùn)動(dòng)的仿真收斂結(jié)果一致。

5 結(jié)論

本文針對(duì)單通道控制旋轉(zhuǎn)彈角運(yùn)動(dòng)現(xiàn)有分析方法的不足，通過引入一個(gè)比例因子構(gòu)建了具有氣動(dòng)對(duì)稱形式的單對(duì)稱μ系數(shù)模型，推導(dǎo)得到其復(fù)攻角運(yùn)動(dòng)方程。利用復(fù)分析方法得到了無舵偏、固定舵偏及正弦式舵偏情況下角運(yùn)動(dòng)的解析解，并對(duì)角運(yùn)動(dòng)的收斂過程、穩(wěn)態(tài)情況及共振情況進(jìn)行了分析。得到主要結(jié)論如下：

1) 在單通道控制旋轉(zhuǎn)彈的穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)(除較低頻段轉(zhuǎn)速外)，單對(duì)稱倍頻模型及單對(duì)稱μ系數(shù)模型與單通道模型的近似度都很高，但超出高頻段的穩(wěn)定轉(zhuǎn)速后，后者的準(zhǔn)確性要明顯優(yōu)于前者。

2) 通過求解復(fù)攻角運(yùn)動(dòng)方程，可以得到單對(duì)稱μ系數(shù)模型在不同舵面偏轉(zhuǎn)情況下的角運(yùn)動(dòng)解析解，在固定舵偏及正弦式舵偏情況下，單對(duì)稱μ系數(shù)模型與單通道模型的角運(yùn)動(dòng)曲線均匹配較好。

3) 無論是固定舵偏還是正弦式舵偏，均存在低頻段共振轉(zhuǎn)速，且單通道模型與單對(duì)稱μ系數(shù)模型的共振轉(zhuǎn)速在正弦式舵偏情況下基本吻合。

參考文獻(xiàn)(References)

[1] 高慶豐. 旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈飛行動(dòng)力學(xué)與控制[M]. 北京: 中國(guó)宇航出版社, 2016.

GAO Q F. Flight dynamics and control of spinning missiles [M]. Beijing: China Astronautic Publishing House, 2016. (in Chinese)

[2] 任天榮, 馬建敏. 旋轉(zhuǎn)彈錐形運(yùn)動(dòng)發(fā)生區(qū)間及頻率特性研究[J]. 固體火箭技術(shù), 2014, 37(3): 295-300.

REN T R, MA J M. Research on activating region and frequency characteristics of coning motion for spinning missiles [J]. Journal of Solid Rocket Technology, 2014, 37(3): 295-300. (in Chinese)

[3] 段笑菊, 孫瑞勝, 白宏陽, 等. 錐形運(yùn)動(dòng)控制的導(dǎo)彈姿態(tài)穩(wěn)定性分析[J]. 國(guó)防科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2015, 37(3): 97-103.

DUAN X J, SUN R S, BAI H Y, et al. Analysis on the altitude stability of missile with coning motion-based control [J]. Journal of National University of Defense Technology, 2015, 37(3): 97-103. (in Chinese)

[4] 陳亮, 劉榮忠, 郭銳, 等. 旋轉(zhuǎn)尾翼彈箭極限圓錐運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定判據(jù)[J]. 兵工學(xué)報(bào), 2019, 40(7): 1329-1339.

CHEN L, LIU R Z, GUO R, et al. Stability criteria for limiting conical motion of rotary fin-stablized projectiles [J]. Acta Armamentarii, 2019, 40(7): 1329-1339. (in Chinese)

[5] MURPHY C H. Free flight motion of symmetric missiles: R1216[R]. Aberdeen Proving Ground, MD, US: The Ballistic Research Laboratory, 1963.

[6] 徐明友. 用李雅普諾夫直接法建立彈箭飛行動(dòng)穩(wěn)定條件[J]. 南京理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2001, 25(1): 10-12.

XU M Y. Derivation of dynamical stability conditions of projectiles in flight by Lyapunov’s direct method [J]. Journal of Nanjing University of Science and Technology, 2001, 25(1): 10-12. (in Chinese)

[7] 閆曉勇, 楊樹興, 張成. 基于章動(dòng)運(yùn)動(dòng)理論的火箭彈錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性分析[J]. 兵工學(xué)報(bào), 2009, 30(10): 1291-1296.

YAN X Y, YANG S X, ZHANG C. Analysis of stability for coning motion of rockets based on theory of nutation movement [J]. Acta Armamentarii, 2009, 30(10): 1291-1296. (in Chinese)

[8] 楊樹興, 趙良玉, 閆曉勇. 旋轉(zhuǎn)彈動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性理論[M]. 北京: 國(guó)防工業(yè)出版社, 2014.

YANG S X, ZHAO L Y, YAN X Y. Dynamic stability of spinning missiles [M]. Beijing: National Defense Industry Press, 2014. (in Chinese)

[9] MURPHY C H. Angular motion of spinning almost-symmetric missiles [J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1979, 2(6): 504-510.

[10] 任天榮, 馬建敏. 基于陀螺力學(xué)的旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈錐形運(yùn)動(dòng)分析[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2010, 31(9): 2082-2087.

REN T R, MA J M. Coning motion analysis of spinning missile based on gyrodynamics [J]. Journal of Astronautics, 2010, 31(9): 2082-2087. (in Chinese)

[11] COOPER G, FRESCONI F, COSTELLO M. Flight stability of an asymmetric projectile with activating canards [J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 2012, 49(1): 130-135．

[12] 石忠佼, 謝浩怡, 林蔚, 等. 單通道控制的旋轉(zhuǎn)彈錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究[J]. 固體火箭技術(shù), 2015, 38(2): 156-159.

SHI Z J, XIE H Y, LIN W, et al. Research on coning motion stability of a spinning missile with one pair of canards [J]. Journal of Solid Rocket Technology, 2015, 38(2): 156-159. (in Chinese)

[13] XU Y L, YUE B Z, YANG Z M. Study on the chaotic dynamics in yaw-pitch-roll coupling of asymmetric rolling projectiles with nonlinear aerodynamics [J]. Nonlinear Dynamics, 2019, 97: 2739-2756.

[14] 吳映鋒, 鐘揚(yáng)威, 王良明. 旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定二維彈道修正彈在固定舵作用下的角運(yùn)動(dòng)特性研究[J]. 兵工學(xué)報(bào), 2017, 38(7): 18-27.

WU Y F, ZHONG Y W, WANG L M. Study on angular motion characteristics of spin-stabilized 2D trajectory correction projectile under the effect of fixed canards [J]. Acta Armamentarii, 2017, 38(7): 18-27. (in Chinese)

[15] 常思江, 王中原, 劉鐵錚. 鴨式布局雙旋穩(wěn)定彈強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)理論研究[J]. 兵工學(xué)報(bào), 2016, 37(5): 829-839.

CHANG S J, WANG Z Y, LIU T Z. A theoretical study of forced motion for dual-spin-stabilized projectiles with canards [J]. Acta Armamentarii, 2016, 37(5): 829-839.(in Chinese)

[16] 楊杰, 謝飛, 常思江, 等. 小口徑旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈在控制作用下的彈道特性[J]. 兵器裝備工程學(xué)報(bào), 2020, 41(11):40-45.

YANG J, XIE F, CHANG S J, et al. Trajectory characteristics of small caliber spin-stabilized projectile under control [J]. Journal of Ordnance Equipment Engineering, 2020,41(11):40-45. (in Chinese)