夏文杰 陸代強(qiáng) 郭曉明 黃 路

（1.國(guó)家海洋技術(shù)中心漳州基地籌建辦公室 廈門 361001）（2.海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院 武漢 430000）

1 引言

低信噪比條件下精確估計(jì)CW脈沖信號(hào)的頻率一直是水聲、雷達(dá)領(lǐng)域的重要研究?jī)?nèi)容。已有最大似然估計(jì)［1］、相位差分算法［2］和基于離散傅里葉變換（DFT）的各類頻率估計(jì)等方法。最大似然估計(jì)計(jì)算復(fù)雜度高，難以實(shí)時(shí)應(yīng)用，相位差分在低信噪比下效果差，基于DFT的校正方法，運(yùn)算量小、精度高、實(shí)時(shí)性好，是一種較穩(wěn)健且工程易實(shí)現(xiàn)的算法。

DFT的頻譜校正方法最具有代表性的是Rife插值［3］和Quinn插值［4］，可降低頻譜泄露造成的估計(jì)誤差，但強(qiáng)干擾可能會(huì)造成反向插值，導(dǎo)致頻率估計(jì)誤差增大。針對(duì)此問(wèn)題有眾多改進(jìn)算法［5～10］相繼提出，估計(jì)性能得到一定提升，但低信噪比下，頻率估計(jì)誤差離CRLB還有一定差距。直到一種基于頻移性質(zhì)的I-Quinn算法被提出，解決了當(dāng)被估計(jì)頻率位于量化頻率附近時(shí)估計(jì)誤差較大問(wèn)題［11］，該算法對(duì)CW信號(hào)的頻率估計(jì)方差較為接近CRLB，但“中心區(qū)域”選擇不當(dāng)時(shí)，插值后的頻率估計(jì)誤差沒(méi)有明顯降低，本文在該算法的基礎(chǔ)上，使用兩次Quinn插值，省去選取中心區(qū)域步驟，進(jìn)一步提高了頻率估計(jì)精度。

2 CW信號(hào)頻率估計(jì)

2.1 Quinn插值法

Quinn插值法頻率估計(jì)公式為

式中，Δf為頻率分辨率，k0為DFT最大譜線的索引值，δ∈[-0.5，0.5]為頻率偏移值，其表達(dá)式為

根據(jù)式（1）～（4）可實(shí)現(xiàn)CW信號(hào)中心頻率估計(jì)。Quinn插值法的理論頻率估計(jì)方差為［12］

根據(jù)上式可知，隨著|δ|的增加，估計(jì)方差單調(diào)減小，當(dāng)|δ|接近0.5時(shí)，估計(jì)方差較小。

2.2 I-Quinn插值法

Quinn算法在低信噪比或|δ|較小時(shí)，會(huì)產(chǎn)生較大的估計(jì)誤差。為了降低|δ|較小時(shí)頻率估計(jì)誤差，結(jié)合頻移性質(zhì)，I-Quinn算法被提出：首先，對(duì)接收信號(hào)用Quinn算法估計(jì)頻率偏差δ，判斷其是否位于中心區(qū)域，若δ位于中心區(qū)域，直接用Quinn算法進(jìn)行頻率估計(jì)；若δ位于中心區(qū)域之外，那么先對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行頻移得到新的信號(hào)，之后，使用Quinn算法實(shí)現(xiàn)頻率估計(jì)。I-Quinn插值算法的整體性能優(yōu)于之前的同類算法，I-Quinn算法步驟如下。

1）對(duì)接收信號(hào)x（n）進(jìn)行Quinn插值，得到頻率估計(jì)值和頻偏值估計(jì)值δ0。

2）根據(jù)式（5）選取實(shí)際中選取中心區(qū)域 (u，λ)，一般取值u=0.35，λ=0.5。判斷條件“u≤|δ|≤λ”是否成立。條件若為真，將作為頻率的最終估計(jì)值，否則，執(zhí)行步驟3）。

3）對(duì)接收信號(hào)x（n）進(jìn)行頻移，頻移后新信號(hào)表示為

式中，δk=0.5-|δ|為頻移因子，αk=sign(δ)，為頻移方向。

4）同樣，對(duì)新的信號(hào)進(jìn)行Quinn插值，計(jì)算新的索引值ks和頻偏δs，計(jì)算最終的頻率估計(jì)值book=154,ebook=160=Δf(ks+δs-αkδk)。圖1為I-Quinn算法流程。

圖1 I-Quinn算法流程

2.3 修正I-Quinn算法

I-Quinn算法在中心區(qū)域的選取上沒(méi)有進(jìn)行理論分析，隨意選取中心區(qū)域不能使算法性能達(dá)到最佳。這里對(duì)I-Quinn算法進(jìn)行修正，根據(jù)式（5）可知，當(dāng)|δ|越大，頻率估計(jì)誤差越小，通過(guò)比較|δ0|與|δs|的大小，來(lái)確定頻率估計(jì)值。

若|δ0|>|δs|，最終頻率估計(jì)值為；反之，估計(jì)值為，圖2為修正I-Quinn算法流程。

圖2 修正I-Quinn算法流程

修正I-Quinn算法使得頻率估計(jì)方差更接近CRLB［1］：

3 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真實(shí)驗(yàn)具體參數(shù)如下：信號(hào)為復(fù)CW波（實(shí)CW信號(hào)的誤差是復(fù)信號(hào)的兩倍），采樣頻率fs=64kHz，采 樣 時(shí) 間 T=16ms，頻 率 分 辨 率Δf=62.5Hz。圖3（a）、（c）為信噪比為-3dB和3dB時(shí)，不同中心頻率的估計(jì)的均方根誤差，頻率選取[104Δf-Δf/2，104Δf+Δf/2]區(qū)間內(nèi)等間隔的41個(gè)頻率。當(dāng)頻率偏差δ的絕對(duì)值偏離0.5時(shí)，I-Quinn及其修正算法的均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）接近CRLB，明顯優(yōu)于Quinn算法；當(dāng)頻率偏差δ的絕對(duì)值接近0.5時(shí)修正I-Quinn算法性能要優(yōu)于I-Quinn算法。

圖3 不同頻率的均方根誤差

圖4為多種插值算法在不同信噪比下估計(jì)的均方根誤差，其中還包含Rife算法和M-Rife算法［18］。圖4（a）中設(shè)置信號(hào)頻率f0=104Δf+0.45Δf，此時(shí)這5種算法的均方根誤差都較小。圖4（b）中設(shè)置信號(hào)頻率f0=104Δf+0.05Δf，只有I-Quinn算法及其修正算法誤差接近CRLB，其余三種算法誤差都偏大，與理論相符合。

圖4 不同信噪比的均方根誤差

由于I-Quinn算法及其修正算法性能在圖4中不易區(qū)分，難以只比較修正I-Quinn算法和I-Quinn算法差異，為了能夠更直接顯示算法性能，特列表1。從表1中可知，修正I-Quinn算法的RMSE比I-Quinn算法要小，基本已經(jīng)接近CRLB。

表1 I-Quinn和修正I-Quinn算法均方根誤差

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)CW脈沖信號(hào)中心頻率估計(jì)問(wèn)題，深入研究了DFT的頻譜校正方法。I-Quinn算法將頻移技術(shù)和Quinn算法在被估計(jì)頻率位于相鄰量化頻率中心點(diǎn)時(shí)頻率估計(jì)精度高的優(yōu)點(diǎn)相結(jié)合，具有穩(wěn)定頻率估計(jì)性能。針對(duì)目前性能最佳I-Quinn插值算法，對(duì)其中頻移準(zhǔn)則的中心區(qū)域進(jìn)行修改，提出了提出修正I-Quinn插值算法。

從仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，修正I-Quinn算法相比于各類插值算法，在全頻段頻率的頻率均方根誤差更接近克拉美-羅下限，具有良好的估計(jì)性能。特別是在低信噪比且估計(jì)頻率位于量化頻率中間時(shí)，性能提升明顯。