（西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 成都 610031）

1 引言

為了降低斜盤式軸向柱塞泵的噪聲，必須減小來(lái)自泵源處的流量脈動(dòng)和振動(dòng)，控制流量脈動(dòng)的關(guān)鍵因素在于配流盤的設(shè)計(jì)，配流盤上的腰形槽的開啟角度和關(guān)閉角度對(duì)流量脈動(dòng)、柱塞腔沖擊力、斜盤力矩有著重要影響［1］?？吭黾映隹谘尾鄣拈_啟角度，即形成預(yù)壓縮角，使柱塞在運(yùn)動(dòng)過程中對(duì)油液進(jìn)行預(yù)壓縮，可以使柱塞腔與出口腰形槽連通時(shí)的油壓與出口壓力完美匹配，從而減少由油液壓縮性帶來(lái)的流量脈動(dòng)［3］。但是預(yù)壓縮角的缺點(diǎn)在于對(duì)工況的高敏感性，即當(dāng)出口壓力、轉(zhuǎn)速、排量角發(fā)生變化時(shí)，流量脈動(dòng)將會(huì)增加，配流盤腰形槽不再是最優(yōu)設(shè)計(jì)［2］。文獻(xiàn)［4］依靠旋轉(zhuǎn)配流盤的方法來(lái)調(diào)節(jié)配流盤的開啟角度［4］，使得預(yù)壓縮效果與工況相匹配，這種方法的缺陷在于實(shí)現(xiàn)成本較高而且需要外部設(shè)備進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)，不便于推廣應(yīng)用。而斜盤交錯(cuò)角結(jié)構(gòu)通過調(diào)節(jié)斜盤的交錯(cuò)角來(lái)改變柱塞的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，等效于旋轉(zhuǎn)配流盤且實(shí)現(xiàn)成本較低，是一種較好的降低流量脈動(dòng)的方式。

如圖1所示，虛線表示柱塞泵斜盤的法向量，用來(lái)確定斜盤的空間朝向，傳統(tǒng)的斜盤轉(zhuǎn)動(dòng)方向是繞Y軸旋轉(zhuǎn)，而交錯(cuò)角結(jié)構(gòu)的斜盤是先繞X軸旋轉(zhuǎn)交錯(cuò)角α，斜盤法向量由OZ轉(zhuǎn)動(dòng)到OA，再繞Y軸旋轉(zhuǎn)排量角β，斜盤法向量由OA轉(zhuǎn)動(dòng)到OA'。通過兩次轉(zhuǎn)動(dòng)使斜盤與配流盤之間形成一個(gè)錯(cuò)配角，等效于旋轉(zhuǎn)配流盤改變柱塞的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從而影響柱塞在三角槽過渡區(qū)的壓縮體積，進(jìn)而減小倒灌流量、降低流量脈動(dòng)率［5～7］。

圖1 斜盤交錯(cuò)角原理

2 柱塞的運(yùn)動(dòng)分析

圖2 柱塞運(yùn)動(dòng)原理

要分析交錯(cuò)角對(duì)柱塞運(yùn)動(dòng)的影響，首先要分析一般柱塞泵的柱塞運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在此基礎(chǔ)上考慮交錯(cuò)角對(duì)柱塞運(yùn)動(dòng)規(guī)律的影響。

如圖2所示，以斜盤的中心O點(diǎn)為坐標(biāo)系原點(diǎn)、柱塞在X方向上的最高點(diǎn)A點(diǎn)為柱塞開始運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)，則柱塞的運(yùn)動(dòng)軌跡在X-Y平面上的投影是一個(gè)圓，該軌跡圓在X方向上的位移為

由于柱塞在Z方向上的位移與X方向上的位移成正比，比例為斜盤傾角的正切值：

式中AC與BD是X方向上的位移，OC與OD是Z方向上的位移。

所以柱塞在Z方向上的位移即軸向位移等于X方向上的位移乘以tanδ，即：

該余弦函數(shù)的相位角為0，當(dāng)且僅當(dāng)斜盤的旋轉(zhuǎn)軸為Y軸時(shí)成立。若斜盤存在交錯(cuò)角，則無(wú)法確保斜盤的旋轉(zhuǎn)軸是Y軸，斜盤可能繞X-Y平面內(nèi)任意一根軸旋轉(zhuǎn)。如圖3所示，兩條相互垂直的虛線分別表示斜盤的死點(diǎn)軸和等效旋轉(zhuǎn)軸，斜盤的死點(diǎn)軸與配流盤的對(duì)稱軸之間錯(cuò)開一個(gè)角度，即錯(cuò)配角ε。由于柱塞運(yùn)動(dòng)的起始位置位于配流盤對(duì)稱軸，所以柱塞位移起始相位等于錯(cuò)配角ε，交錯(cuò)角柱塞泵的柱塞位移函數(shù)為

式中，R為柱塞分布圓半徑，mm；w為主軸轉(zhuǎn)速，r/min；δ為斜盤的有效排量角，°；ε為斜盤的錯(cuò)配角，°。

式中Rtanδ是余弦函數(shù)的幅值，ε是余弦函數(shù)的相位角，只要能夠計(jì)算出有效排量角δ與錯(cuò)配角ε就可以得出柱塞在軸向方向的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，需要注意的是，此時(shí)的有效排量角δ不等于斜盤沿Y軸旋轉(zhuǎn)的排量角β，有效排量角δ是以斜盤交錯(cuò)角α、排量角β為自變量的函數(shù)，同理錯(cuò)配角ε也是以α、β為自變量的函數(shù)［8］。

圖3 交錯(cuò)角柱塞泵的柱塞運(yùn)動(dòng)規(guī)律

3 角度函數(shù)關(guān)系的幾何分析

如圖4所示，本文通過研究斜盤法向量的轉(zhuǎn)動(dòng)過程得出有效排量角δ、錯(cuò)配角ε與斜盤交錯(cuò)角α、排量角β的函數(shù)關(guān)系，為了方便數(shù)學(xué)描述，本文把斜盤法向量的轉(zhuǎn)動(dòng)過程放入到長(zhǎng)方體內(nèi)進(jìn)行分析，假設(shè)O點(diǎn)為斜盤中心點(diǎn)，OZ為柱塞泵的主軸方向，初始斜盤法向量與OZ軸重合，斜盤法向量首先沿Y-Z平面轉(zhuǎn)動(dòng)α，由OZ軸轉(zhuǎn)動(dòng)到OA，再沿縱向平面XOA轉(zhuǎn)動(dòng)β，由OA轉(zhuǎn)動(dòng)到OA'，通過兩次轉(zhuǎn)動(dòng)，斜盤法向量的最終空間位置為OA'，兩次轉(zhuǎn)動(dòng)可以等效為一次在ZOA'平面上的轉(zhuǎn)動(dòng)，即法向量在ZOA'平面內(nèi)由OZ轉(zhuǎn)動(dòng)有效排量角δ到OA'，斜盤法向量的最終位置OA'在X-Y面上的投影即為死點(diǎn)軸，死點(diǎn)軸與配流盤對(duì)稱軸（X軸）的夾角即為錯(cuò)配角ε，經(jīng)過上述描述，將有效排量角δ、錯(cuò)配角ε、交錯(cuò)角α、排量角β放入到了四面體OAZA'中，下面通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出有效排量角δ、錯(cuò)配角ε與交錯(cuò)角α、排量角β的函數(shù)關(guān)系。

圖4 斜盤法向量轉(zhuǎn)動(dòng)過程

1）δ與α、β的函數(shù)關(guān)系

2）ε與α、β的函數(shù)關(guān)系

圖5 有效排量角δ 與α、β 的函數(shù)關(guān)系圖

斜盤的最大排量角通常在18°～20°之間［11］，所以圖5和圖6中的排量角β的范圍為0°～20°，本文采用的交錯(cuò)角α范圍為-2°～2°［12］，由于對(duì)稱關(guān)系，圖5、圖6中的交錯(cuò)角范圍為0°～2°。

圖6 錯(cuò)配角ε 與α、β 的函數(shù)關(guān)系圖

由圖5可知，斜盤的有效排量角受交錯(cuò)角的影響較小，且與排量角近似相等。這是因?yàn)橥ǔＧ闆r下交錯(cuò)角較小，式（5）中的cosα近似等于1，將cosα≈1代入式（5）中得出δ≈β。所以在交錯(cuò)角較小的情況下，柱塞泵的有效排量角近似等于排量角。

由圖6可知，斜盤的錯(cuò)配角與排量角的關(guān)系曲線近似于雙曲線，該曲線相對(duì)于虛線ε=β對(duì)稱。當(dāng)錯(cuò)配角為1°/2°，曲線與虛線的交點(diǎn)為（7.53，7.53）/（10.58，10.58），當(dāng)排量角由0°增加到7.53°/10.58°時(shí)，錯(cuò)配角由90°迅速降低到7.53°/10.58°；當(dāng)排量角由7.53°/10.58°增加到90°時(shí)，錯(cuò)配角由7.53°/10.58°緩慢降低到0°。由此可見，隨著排量角從0°增加到90°，錯(cuò)配角由90°下降到0°，且下降趨勢(shì)是先快后慢。

4 柱塞壓縮體積的數(shù)學(xué)分析

交錯(cuò)角通過改變柱塞的運(yùn)動(dòng)規(guī)律影響柱塞在過渡區(qū)的壓縮體積和排油區(qū)的排量，過渡區(qū)的壓縮體積和排油區(qū)的排量都與柱塞的軸向移動(dòng)距離成正比，兩者的區(qū)別在于包角大小不同［13］。如圖3所示，三角槽過渡區(qū)的包角?1為20°，而排油區(qū)的包角?2為180°，下面通過數(shù)學(xué)分析得出任意包角的柱塞壓縮體積的計(jì)算公式。柱塞的壓縮體積公式為

式中：r為柱塞半徑，mm；?為包角，°。

設(shè)ΔS=tanδ(cos(ε)-cos(?+ε))，則：

由圖4中的幾何關(guān)系可知：

將式（11）、式（12）代入式（10）中，得：

將式（13）代入到式（7）中，得：

式（14）是計(jì)算任意包角大小的柱塞壓縮體積的一般公式，該公式中的自變量有三個(gè)，分別為交錯(cuò)角α、排量角β、和包角?。如圖3所示，三角槽過渡區(qū)的包角?1=20°，排油區(qū)的包角?2=180°，將?1和?2代入式（14）中，則三角槽過渡區(qū)的壓縮體積為

排油區(qū)壓縮體積（單柱塞排量）為

圖7 三角槽過渡區(qū)壓縮體積ΔV1與α、β 的關(guān)系

圖7和圖8是根據(jù)式（15）和式（16）得出的二維函數(shù)圖，圖中的排量角范圍為0°～20°，交錯(cuò)角范圍為0°～2°，從圖8可以看出，交錯(cuò)角對(duì)排量的影響微乎其微，排量的大小主要跟排量角有關(guān)。從圖7中可以看出，交錯(cuò)角和排量角都對(duì)三角槽過渡區(qū)的壓縮體積有影響，圖7近似為一平面，表示交錯(cuò)角和排量角可以近似線性改變過渡區(qū)的壓縮體積，由圖7可以看出，排量角每增加1°，壓縮體積增加0.015mL，交錯(cuò)角每增加1°，壓縮體積增加0.084mL，相較而言，交錯(cuò)角對(duì)于過渡區(qū)的壓縮體積的影響比排量角更加顯著。近似線性化后，三角槽過渡區(qū)的壓縮體積公式可簡(jiǎn)化為

圖8 單柱塞排量ΔV2與α、β 的關(guān)系

5 單柱塞腔的仿真

單柱塞腔的流量特性對(duì)整泵有重要影響，如圖9所示，本文利用PumpLinx軟件建立了一個(gè)柱塞泵的單柱塞腔仿真模型，柱塞腔的仿真參數(shù)［14］如表1所示。

表1 仿真模型參數(shù)

圖9 單柱塞腔的仿真模型

幾何流量：

式（18）中的幾何流量Q為正弦函數(shù)，其中r表示柱塞腔的半徑，有效排量角δ與錯(cuò)配角ε都可以由式（5）和式（6）計(jì)算得出，仿真模型的交錯(cuò)角α范圍為-2°～2°，排量角β為一個(gè)固定角度15°，將交錯(cuò)角α和排量角β的值代入到式（5）、式（6）中，得出不同交錯(cuò)角下的有效排量角δ、錯(cuò)配角ε，將α、β代入到式（17）中得到單柱塞腔在過渡區(qū)的壓縮體積。

表2 交錯(cuò)角與過渡區(qū)壓縮體積的關(guān)系

圖10 不同交錯(cuò)角下單柱塞腔的幾何流量與仿真流量

圖11 不同交錯(cuò)角下單柱塞腔內(nèi)的壓力變化

圖10中的橫坐標(biāo)Φ表示柱塞腔轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，虛線是根據(jù)表2中的δ和ε代入式（18）計(jì)算得出的幾何流量曲線，實(shí)線是通過PumpLinx仿真軟件計(jì)算得出的仿真流量曲線。

在第一階段，柱塞腔中的流體不僅受到倒灌流量的壓縮，也受到柱塞運(yùn)動(dòng)的壓縮，從表2中可以看出斜盤交錯(cuò)角越大，柱塞在三角槽過渡區(qū)的壓縮體積越大，較大的壓縮體積有助于抑制流量倒灌現(xiàn)象，從而減小流量曲線的凹陷。此外，由于流體的慣性作用，柱塞腔中的流體被過度壓縮，又從柱塞腔反彈流回出口腰形槽中，形成一個(gè)波峰，從圖10中可以看出，斜盤的交錯(cuò)角越大，波峰的幅值越大。

在第二階段，柱塞腔內(nèi)的流體充分壓縮后不再反彈，在這一階段內(nèi)，仿真流量與幾何流量重合，柱塞泵的流量脈動(dòng)完全由幾何流量決定。

在第三階段，柱塞腔運(yùn)動(dòng)到與排油腰形槽的末端部分重合，兩者之間的流通面積急劇減小，流通阻尼極大，造成柱塞腔內(nèi)近似處于封閉狀態(tài)。如果斜盤的交錯(cuò)角為正，柱塞的負(fù)向速度會(huì)導(dǎo)致柱塞腔內(nèi)的液體膨脹；如果斜盤的交錯(cuò)角為負(fù)，柱塞的正向速度會(huì)導(dǎo)致柱塞腔內(nèi)的液體被壓縮。

圖11是單柱塞腔仿真過程中的壓力變化情況，當(dāng)柱塞處于第一階段，柱塞運(yùn)動(dòng)的壓縮作用和倒灌流量導(dǎo)致柱塞腔內(nèi)的壓強(qiáng)急劇升高，造成壓力超調(diào)。從圖11中可以看出，斜盤交錯(cuò)角越大，柱塞腔內(nèi)的壓力超調(diào)量也越大，說(shuō)明增大交錯(cuò)角雖然能減小流量倒灌，但會(huì)增加壓力超調(diào)量。第二階段柱塞腔內(nèi)的壓力平穩(wěn)，幾乎沒有變化。第三階段，正的斜盤交錯(cuò)角導(dǎo)致柱塞腔內(nèi)的流體膨脹，負(fù)的斜盤交錯(cuò)角導(dǎo)致柱塞腔內(nèi)的流體壓縮。因此，正的交錯(cuò)角可以讓柱塞腔內(nèi)的壓力減小，有助于減小柱塞腔與入口的壓差。

6 整泵的工況分析

整泵的仿真模型如圖12所示，本文采用的是7柱塞泵，除柱塞數(shù)目外，整泵的仿真模型參數(shù)與單柱塞腔的仿真模型完全相同，本文將考察柱塞泵在不同轉(zhuǎn)速、壓力下的流量脈動(dòng)率。

圖12 整泵的仿真模型

圖13 不同轉(zhuǎn)速下的出口流量

柱塞泵流量脈動(dòng)率的計(jì)算公式［15］如下：

式中η表示流量脈動(dòng)率，Qmax為波峰的平均值，Qmin為波谷的平均值。

根據(jù)圖13中的出口流量和式（19）得到不同轉(zhuǎn)速下的流量脈動(dòng)率（表3）。從表3中可以看出，500r/min～1500r/min范圍內(nèi)的脈動(dòng)率均值隨著交錯(cuò)角的增加而減小，當(dāng)交錯(cuò)角為2°時(shí)，脈動(dòng)率均值最小。

表3 不同轉(zhuǎn)速下的流量脈動(dòng)率（%）

圖14 不同壓力下的出口流量

表4 不同壓力下的流量脈動(dòng)率（%）

根據(jù)圖14中的出口流量和式（19）得到不同壓力下的流量脈動(dòng)率（表4）。從表4中可以看出，5MPa～15MPa范圍內(nèi)脈動(dòng)率均值隨著交錯(cuò)角的增加而減小，當(dāng)交錯(cuò)角為2°時(shí)，脈動(dòng)率均值最小。

雖然無(wú)論是轉(zhuǎn)速還是壓力的脈動(dòng)率均值都是交錯(cuò)角為2°時(shí)最小，但都與交錯(cuò)角為1°的脈動(dòng)均值相差不大。如圖11所示，考慮到當(dāng)交錯(cuò)角為2°時(shí)，柱塞腔內(nèi)的壓力超調(diào)量較大，所以取斜盤角錯(cuò)角為1°是較為合適的設(shè)計(jì)。

7 結(jié)語(yǔ)

本文通過數(shù)學(xué)分析建立了交錯(cuò)角與柱塞壓縮體積的函數(shù)關(guān)系。使用PumpLinx軟件仿真不同交錯(cuò)角下單柱塞腔的壓力流量情況，和不同工況下的柱塞泵的出口流量，總結(jié)得出以下結(jié)論：

1）交錯(cuò)角對(duì)三角槽過渡區(qū)的壓縮體積有重要影響，交錯(cuò)角每增加1°，過渡區(qū)壓縮體積增加0.084mL。

2）增加交錯(cuò)角可以減小單柱塞腔的倒灌流量，但會(huì)增加柱塞腔內(nèi)的壓力。

3）綜合考慮柱塞泵的流量脈動(dòng)率和壓力超調(diào)量，取柱塞泵的斜盤交錯(cuò)角為1°是較為合適的設(shè)計(jì)。