劉春晶，曹文洪，耿 旭，許琳娟

（1.中國水利水電科學研究院 流域水循環(huán)模擬與調(diào)控國家重點實驗室，水利部水沙科學與江河治理重點實驗室，北京 100048；2.黃河水利委員會黃河水利科學研究院，河南 鄭州 450003）

1 研究背景

近底床面是推移質(zhì)運動的主要區(qū)域，也是水流紊動產(chǎn)生和發(fā)展最為活躍的區(qū)域，水沙動量和能量交換頻繁，推移質(zhì)顆粒運動是其與近壁區(qū)水流紊動相互作用外在表現(xiàn)。大量試驗觀測表明，與水流的紊動類似，推移質(zhì)顆粒運動存在一定隨機特性。1930年代開始，Einstein根據(jù)泥沙隨機運動特性建立了推移質(zhì)輸沙理論體系［1］，打開了以隨機過程理論研究泥沙運動之門，之后大量學者從顆粒運動特性角度開展推移質(zhì)研究，其中顆粒的擴散特性一直是這方面研究的熱點［2-7］。

布朗運動是花粉顆粒在水分子作用下的無規(guī)則運動，典型布朗運動遵循菲克擴散定律，同時為典型的馬爾科夫過程［2］，顆粒未來運動狀態(tài)只與當前狀態(tài)有關，與歷史狀態(tài)無關，僅通過當前的運動狀態(tài)就可以獲知顆粒未來運動的全部信息。韓其為等假定泥沙顆粒運動遵循馬爾科夫過程，將泥沙顆粒運動分為4種狀態(tài)，提出泥沙顆粒未來運動可完全由當前狀態(tài)與16個轉(zhuǎn)移概率確定［3-5］；Ancey等在描述挾沙力時引入馬爾科夫“生-滅”過程，即“生”和“滅”兩個狀態(tài)［6-7］，“生”表示泥沙被水流所挾帶由靜止狀態(tài)轉(zhuǎn)為運動，“滅”表示泥沙顆粒由運動轉(zhuǎn)為靜止；Furbish等建立了推移質(zhì)顆粒運動通量主方程，認為顆粒通量可分解為對流項和擴散項，其中對流項與水流動力相關，擴散項與顆粒本身的隨機運動相關［2］。Nikora等將泥沙顆粒運動分為小、中、大三個尺度［8］，其中小尺度為顆粒跳躍階段，符合彈道擴散規(guī)律，中尺度為顆粒多個跳躍階段，符合超擴散或正常擴散規(guī)律，大尺度為包括顆粒等待時間在內(nèi)的更長的時間尺度，符合次擴散規(guī)律。Ganti等提出可以同時反映顆粒正常擴散和反常擴散的模型［9］；Martin等利用水槽試驗證實了泥沙示蹤顆粒運動的反常擴散現(xiàn)象［10］；Fathel等進一步分析了顆粒運動的特征［11-12］，并將顆粒運動與布朗運動進一步詳細對比，認為泥沙顆粒運動類似于布朗運動中顆粒在單次碰撞之間的彈道運動，經(jīng)過彈道擴散階段后顆粒將回歸正常擴散，不同于一般的反常擴散。范念念等認為在均勻沙條件下，根據(jù)不同的停止時間，泥沙顆粒運動可分別表現(xiàn)為次擴散、正常擴散和超擴散，非均勻沙總體上出現(xiàn)的彈道運動是由于沿程分選造成的，而非反常擴散造成［13-14］。近期，Liu等對低輸沙率條件下顆粒運動參數(shù)進行統(tǒng)計，分析了顆粒停止時間隨水流強度變化特征［15］；Ballio等研究了由于拍攝范圍和時間觀測限制對推移質(zhì)運動參數(shù)統(tǒng)計結果的影響［16］；Ancey全面回顧了推移質(zhì)研究進展，指出進一步深入理解顆粒運動內(nèi)在的隨機特性是未來準確估算推移質(zhì)輸沙率的基礎［17-18］。

已有關于推移質(zhì)擴散特性研究多基于平整床面和均勻沙開展，與天然河流實際情況存在一定差異。Zhu等關于粗化床面顆粒運動表明，在較小時間尺度下顆粒表現(xiàn)為超擴散，較大時間尺度下則表現(xiàn)為次擴散［19］。許琳娟等利用水槽試驗分析了粗化床面條件下輸沙率及顆粒運動分布特性［20-21］，本文以高速攝像機拍攝顆粒運動圖像，建立顆粒圖像與顆粒粒徑之間的定量關系［22］，然后根據(jù)顆粒在連續(xù)幀的位置獲取泥沙顆粒運動的速度、軌跡等信息，進而對泥沙顆粒運動的擴散特性進行分析。

2 試驗簡介

2.1 試驗水槽和拍攝系統(tǒng) 試驗在中國水利水電科學研究院大興試驗基地大型徑流波浪水槽中進行。水槽長50 m，寬1 m，高1.2 m，邊壁與底板均由玻璃板組成，可從側面或底部觀測泥沙運動。水槽坡度可調(diào)，變坡范圍0～1%。

采用特制拍攝裝置從水槽頂部對泥沙顆粒運動進行拍攝，如圖1所示。該裝置由平板小車、支撐架、兩端翹起的玻璃板、吊裝絲杠及照明燈管組成，整個裝置可沿水槽移動。使用時將小車移動至所拍攝部位，調(diào)整絲杠吊裝高度，使底部玻璃板剛好與流動的水面相接觸。攝像機位于平板小車頂部，通過平板中央的拍攝孔對床面泥沙進行拍攝。底部玻璃板與水流直接接觸，避免了由于水面波動而產(chǎn)生的拍攝成像不清問題。當水流速度較快時，玻璃板與水流接觸面會有空氣被吸入，在玻璃板中央形成較大氣孔，影響床沙拍攝，為此在上游側設置絲網(wǎng)，使進氣孔破碎。

圖1 顆粒運動拍攝裝置示意

2.2 試驗條件和數(shù)據(jù)提取 試驗采用非均勻石英砂，粒徑范圍0.1～20 mm（顆粒級配如圖2所示），水槽坡度4‰，流量110 l/s，試驗粗化床面為170 l/s水流沖刷形成。攝像機分辨率1280×720 Pixel，拍攝速度50 fps，拍攝時長60 s。

圖2 試驗沙級配

表1為本文與已有顆粒擴散規(guī)律研究的試驗條件對比。由表1可知，現(xiàn)有研究試驗條件多為均勻沙，水流條件與天然河流相差較大，其中Furbish等［2］和Fathel等［11-12］的顆粒運動速度較小，僅為5 cm/s左右，而Martin等［10］和Ancey等［7］的水深較淺，僅為2 cm左右。本文非均勻沙粒徑0.1～20 mm，水深約13 cm，水流流速約0.8 m/s，實測顆粒速度20 cm/s左右，與已有研究相比更接近天然河流實際情況。

表1 本文與其他研究試驗條件對比

采用人工判讀方法將60s拍攝觀測范圍內(nèi)所有運動的顆粒按幀提取，共得到7000多個坐標，268個泥沙顆粒的運動信息［20-21］，泥沙顆粒粒徑可根據(jù)其在圖像中所占像素大小確定，粒徑范圍0.5～8 mm，如圖3所示，其中大部分顆粒集中在2～3 mm之間。

圖3 提取的運動顆粒粒徑分布

3 結果分析

3.1 顆粒均方位移變化 以x方向代表水流運動方向，y方向代表與x方向垂直的橫向方向。以顆粒在x方向的運動為例，xp(t)表示顆粒在t時刻的位置，則經(jīng)過間隔時間τ后顆粒位移為［2，11］：

根據(jù)擴散方程，x方向的均方位移為：

其中kx為顆粒擴散系數(shù)，顆粒均方位移與間隔時間之間的關系可表示為：

由式（3）可見，顆粒的均方位移與時間間隔之間為指數(shù)關系，指數(shù)α=1時表示顆粒運動符合正常擴散，0＜α＜1時擴散速度小于正常擴散，稱為次擴散，1＜α＜2時擴散強度大于正常擴散，稱為超擴散，α=2時為彈道擴散。

類似地，顆粒在與水流垂直的y方向運動也可以用式（1）—式（3）表示。此外，上式既適用于單顆粒運動分析，也用于大量顆粒運動分析。

根據(jù)式（3）計算了本文單顆粒均方位移變化情況，部分顆粒計算結果如圖4所示，圖中小標題No.表示顆粒序號，d為該顆粒的粒徑，Rx(τ)、Ry(τ)分別表示顆粒在x方向和y方向的均方位移，其中圖4（a）中泥沙顆粒x方向運動速度大于y方向，圖4（b）、圖4（c）中兩個方向運動速度接近，圖4（d）中泥沙顆粒x方向運動速度小于y方向。

由圖4可知，粗化床面條件下單顆粒均方位移與平整均勻沙床面顆粒運動存在顯著差異。在Furbish等［2］、Fathel等［11-12］試驗中，時間尺度較小時均方位移曲線斜率幾乎與 α=2 平行，F(xiàn)athel等［11-12］據(jù)此將泥沙顆粒運動與布朗運動粒子相類比，認為顆粒運動在小時間尺度下表現(xiàn)為“類似彈道擴散”，后隨著時間尺度增加以明顯的反常擴散特征過渡到正常擴散。與上述結果不同，本文非均勻沙均方位移隨時間間隔變化曲線斜率均處于1和2之間，一方面有可能是本文最小時間尺度較大，另一方面可能是由于粗化床面獨特的邊界條件所導致。在Furbish等［2］和Fathel等［11-12］的均勻沙試驗中，泥沙顆粒在水流流向x方向的流速遠大于橫向y方向，x方向的均方位移約比y方向大一個數(shù)量級，與本文圖4（a）接近。在本文粗化床面條件下，在近底床面存在與x方向具有一定夾角的優(yōu)勢“通道”，在“通道”中運動的顆粒y方向的流速有可能接近，甚至是超過x方向，如在圖4（b）和圖4（c）中x方向與y方向均方位移規(guī)律接近，在圖4（d）中，y方向的均方位移已超過x方向。

圖4 部分單顆粒均方位移隨時間間隔變化

為進一步分析非均勻沙運動特性，將顆粒按粒徑大小分為7組，分別為＜1.5 mm、1.5～2 mm、2～2.5 mm、2.5～3 mm、3～3.5 mm、3.5～4 mm和＞4 mm組，計算了各粒徑組所有顆粒的均方位移變化特征，圖5列出了兩組典型計算結果，圖6為本文全部顆粒的均方位移變化特征。由圖5和圖6可知，即使是在小時間尺度條件下，推移質(zhì)顆粒均方位移曲線斜率均介于1和2之間，不符合均勻沙的小時間尺度“類彈道”擴散規(guī)律［2，11-12］。在本文非均勻沙試驗中，不同顆粒的擴散特性存在一定差異，其中大顆粒均方位移隨長時間尺度衰減較快，小顆粒均方位移隨時間間隔衰減較慢。

圖5 不同粒徑組顆粒均方位移隨時間間隔變化

圖6 所有顆粒均方位移隨時間間隔變化

3.2 顆粒運動的速度自協(xié)方差 泥沙顆粒在運動時段Tp內(nèi)的平均運動速度為uˉp，則顆粒運動速度與平均運動速度的差值為u′p=up(t)-，則速度的自協(xié)方差為［11-12］：

拉格朗日積分時間尺度可表示為：

τL表示流速的可持續(xù)性，如式（7）收斂，說明τL的值有限，則顆粒運動符合菲克擴散定律，且擴散規(guī)律滿足下式：

當式（7）不收斂則表明顆粒運動表現(xiàn)為超擴散現(xiàn)象。

圖7為按粒徑分組的顆粒自相關系數(shù)隨時間間隔的變化，可以看到，大多數(shù)顆粒運動的自相關系數(shù)均隨時間呈衰減趨勢，有部分顆粒在衰減過程中出現(xiàn)波動現(xiàn)象。與均勻沙成果相比，非均勻沙自相關系數(shù)衰減速率減緩，如在Furbish［2］、Fathel［11-12］的均勻沙試驗中，顆粒運動x方向自相關系數(shù)在0.1～0.15 s左右衰減至接近0，y方向在0.1 s左右衰減至接近0。在本文非均勻沙試驗中，衰減的時間間隔較長，衰減速率減緩，在時間間隔0.4 s左右時自相關系數(shù)還有0.2～0.3左右，且存在較為明顯的波動現(xiàn)象。此外，粗化床面條件下x方向與y方向自相關系數(shù)隨時間變化規(guī)律基本相同，如圖7所示。

圖7 按粒徑分組的顆粒自相關系數(shù)隨時間間隔的變化（圖中：x表示水流方向，y表示橫向方向）

3.3 非均勻沙擴散現(xiàn)象討論 以上試驗結果分析表明，粗化床面運動顆粒與均勻沙平整床面存在一定差異。對于均勻沙而言，顆粒大小均勻，在床面平整條件下，在水流作用下不同部位的泥沙顆粒被水流挾帶的概率相等；假定被挾帶走的顆粒為少量，挾帶走的泥沙顆粒不會改變其他泥沙顆粒的受力條件；也就是說在平整床面均勻沙條件下，各顆粒受力條件類似，顆粒運動的狀態(tài)基本不受其他顆粒的影響，床面當前的狀態(tài)與歷史無關，滿足馬爾科夫過程假定。而對于非均勻沙粗化床面，泥沙顆粒在水流作用下往往會形成不同的結構，粗化后的床面各處的結構不盡相同，當有泥沙顆粒被水流沖走，則該泥沙顆?？赡軙淖儺斍暗拇裁娲只Y構形式，進而改變底部水流邊界條件，反過來可能會對泥沙顆粒運動造成影響。

從床面隨時間發(fā)展變化過程來看，均勻沙平整床面不同時刻均表現(xiàn)為平整形態(tài)，隨時間變化不大。而對于粗化床面，某一時刻泥沙顆粒的沖離或停止有可能改變床面結構，造成粗化床面形態(tài)隨時間發(fā)生變化，進而對后來的泥沙顆粒運動造成影響。因此，粗化床面條件下泥沙顆粒運動可能會對后續(xù)泥沙顆粒運動造成影響，表明泥沙顆粒的未來運動狀態(tài)不僅與當前狀態(tài)有關，也可能與顆粒運動的歷史有關，非均勻沙床面泥沙運動可能難以滿足馬爾科夫過程所要求的無后效假定條件。

床面附近為水流紊動發(fā)展最為強烈的區(qū)域，也是流速梯度變化最大的區(qū)域。本文試驗條件下，最大顆粒約20 mm，顆粒頂部床面與顆粒底部床面高差最大可達20 mm，位于頂部的水流流速遠大于底部床面，同時各粗化結構體下游往往會形成較為強烈的尾流，從而形成遠比平整床面復雜的底部水流條件。另一方面，推移質(zhì)顆粒在跳躍運動過程中，運動速度與當?shù)厮髁魉俨⒉煌耆恢?，因而顆粒在運動過程中會不斷與水流進行著動量交換。均勻沙平整床面與非均勻粗化沙床面兩種底部邊界條件所形成的不同的水流條件，必然會造成顆粒與水流動量交換強度的不同。

布朗運動彈道擴散是指顆粒在液體分子與其兩次碰撞之前的真空期，顆粒在此期間為不受任何作用力，僅在慣性作用下做自由運動，符合彈道擴散［23］；Fathel等［11-12］試驗中均勻沙顆粒的“類彈道”運動，一方面可能是在小時間尺度下慣性占優(yōu)，水流對顆粒的作用不明顯，另一方面是由于泥沙顆粒運動速度較小，水流與泥沙顆粒動量交換不夠充分。

圖8為本文拍攝范圍內(nèi)實際床面，由圖8可知，在非均勻沙粗化床面上存在著大量大小不一的粗化結構體，這些結構體會對局部水流運動造成一定影響，其中突起的結構體對水流和泥沙運動造成阻礙，形成減速作用；相互交錯的結構在床面上可形成獨立“通道”，泥沙顆粒在通過這些“通道”可能被加速，加速與減速同時存在，使粗化床面條件下的泥沙顆粒運動更易出現(xiàn)反常擴散現(xiàn)象［24］。圖8中繪制了本文獲取的所有顆粒的運動軌跡，可以清楚的看到幾乎所有的顆粒均沿著幾個相對固定的“通道”運動，僅有少部分顆?？梢詳[脫“通道”的束縛，從粗化結構頂部跳躍而過。粗化床面上這種“通道”使泥沙顆粒運動不再是單一的x方向，而是隨著通道內(nèi)的水流運動方向運動，當顆粒剛好從與x方向具有一定夾角的通道內(nèi)運動時，則會出現(xiàn)y方向具有類似于x方向的運動特征?；谠囼灲Y果和上述分析可知，粗化床面顆粒運動與天然河道觀測到的反常擴散更為接近［8］，不符合均勻沙床面的“類彈道”擴散特性［2，11-12］。

圖8 顆粒運動軌跡示意

4 結論與展望

推移質(zhì)顆粒隨機運動和擴散特性研究對于深入把握推移質(zhì)規(guī)律，準確模擬推移質(zhì)運動具有重要理論意義和實用價值，現(xiàn)階段關于推移質(zhì)顆粒擴散特性還存在一定分歧。已有研究多基于泥沙顆粒運動強度較小、床面處于大致平整階段的均勻沙試驗，雖有助于加深對不同條件下水沙相互作用機理的認識，但與天然河流存在較大差異。本文在大型水槽中開展了非均勻沙推移質(zhì)試驗，測量了粗化床面條件下的泥沙顆粒運動特性，以顆粒運動均方位移和自相關系數(shù)為參數(shù)，分析了粗化床面與平整均勻沙床面之間存在的差異，得到以下幾點認識：

（1）粗化床面上的結構體改變了底部水流邊界條件，對推移質(zhì)泥沙運動造成較大影響，顆粒運動與擴散特性與均勻沙床面均存在一定差異。

（2）粗化床面上的非均勻沙在小時間尺度上未表現(xiàn)出均勻沙試驗的“類彈道”擴散特性，受粗化結構影響，部分顆粒y方向運動強度與x方向運動強度在一個量級，甚至超過x方向運動。

（3）與均勻沙研究成果相比，非均勻沙兩個方向的運動速度自相關系數(shù)衰減趨勢變緩，衰減至零的時間由均勻沙的0.15 s變?yōu)榉蔷鶆蛏车拇笥?.4 s，部分顆粒自相關系數(shù)存在一定波動，表明非均勻沙粗化床面條件下顆粒運動的記憶效應大于均勻沙平整床面。

（4）受粗化結構體影響，非均勻沙底部水流條件遠比均勻沙平整床面復雜，泥沙顆粒在運動過程中與水流之間的動量交換強度與均勻沙存在差異，表現(xiàn)為顆粒運動擴散特征存在著較明顯的反常擴散現(xiàn)象。

本文以高速攝像機拍攝的泥沙顆粒運動信息，分析了粗化床面條件下的泥沙顆粒擴散特性，并與均有沙床面試驗進行對比。受試驗和數(shù)據(jù)處理技術所限，本文分析所基于的拍攝時段較短，所獲顆粒信息較少，未來隨著圖像處理技術發(fā)展，可對更長時間、更多顆粒運動進行分析。此外，本文僅從平面上識別了粗化床面所形成的二維“通道”，未來可基于數(shù)字圖像處理技術獲取粗化床面三維形態(tài)［25］，并將顆粒運動特性與床面三維形態(tài)相結合進行分析，進一步解析粗化床面對顆粒運動的定量影響。