王雪玲，劉鐵夫，徐征

（1.中國石油渤海石油裝備公司采油裝備分公司河北華油一機(jī)抽油機(jī)有限公司，河北 青縣 062658；2.中國石油渤海石油裝備公司石油機(jī)械廠華油一機(jī)(河北)鉆井裝備有限公司，河北 青縣 062658）

1 概述

我國從20 世紀(jì)60 年代中期就開始研究雙圓弧齒輪，但進(jìn)入實(shí)質(zhì)性的研究、試驗(yàn)和應(yīng)用是在1975 年以后。經(jīng)過一系列的分析和工業(yè)使用驗(yàn)證，證明雙圓弧齒輪的承載能力比單圓弧齒輪有較大的提高。雙圓弧齒輪是集凸、凹弧于一體，在輪齒根部有較寬的齒厚，提高了輪齒根部的彎曲強(qiáng)度。在相同條件下，雙圓弧齒輪同時(shí)接觸的點(diǎn)數(shù)要多于單圓弧齒輪，減小了每個(gè)接觸點(diǎn)上的平均載荷。

臺架承載能力試驗(yàn)證明，雙圓弧齒輪的彎曲強(qiáng)度和接觸強(qiáng)度分別比單圓弧齒輪提高60%和40%。其綜合承載能力比單圓弧齒輪提高40% 以上。在工藝上，雙圓弧齒輪只需一把滾刀就可以加工一對嚙合齒輪。雙圓弧齒輪的這兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)正好克服了單圓弧齒輪的兩點(diǎn)不足。另外，非硬齒面的雙圓弧齒輪無論是按彎曲強(qiáng)度或按表面接觸強(qiáng)度所計(jì)算的承載能力，都高于同樣條件的漸開線齒輪。雙圓弧齒輪在我國的應(yīng)用十分廣泛，主要應(yīng)用于冶金、礦山、石油化工等行業(yè)。我國石油工業(yè)抽油機(jī)用的減速器，幾乎全部采用雙圓弧齒輪。

在雙圓弧齒輪加工中，加工誤差是造成齒輪基本齒廓位移的主要原因。它直接影響齒輪的嚙合傳動(dòng)質(zhì)量和承載能力。因此，在加工現(xiàn)場，常用控制齒根圓直徑（或斜徑）、凸齒公法線長度、凸齒弦齒厚和弦齒深極限偏差的方法，來間接地控制齒輪基本齒廓的位移量。

一般只測量其中一項(xiàng)尺寸的誤差控制加工精度。測量公法線長度, 對于斜齒圓柱齒輪將受到齒寬條件的限制；對于大模數(shù)齒輪, 測量也有困難；此外, 還不能用于檢測錐齒輪和蝸輪。在這種情況下, 通常改測齒輪的分度圓弦齒厚。

過去，多采用近似方法計(jì)算弦齒厚和弦齒深的尺寸，缺點(diǎn)是當(dāng)齒數(shù)較少、螺旋角較大時(shí)，計(jì)算誤差較大。其精確計(jì)算需用數(shù)值方法解超越方程，比較麻煩?，F(xiàn)在，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和普及，利用計(jì)算機(jī)程序精確地計(jì)算弦齒厚和弦齒深，已不再成為難事。

圖1 弦齒厚尺寸計(jì)算圖

2 雙圓弧齒輪弦齒厚和測量弦齒高的計(jì)算原理

法向弦齒厚即為輪齒左、右齒面上，兩條理論接觸跡線（空間螺旋線）之間的最短距離，見圖1 弦齒厚尺寸計(jì)算圖。

由齒面接觸跡線方程式：

兩條螺旋線之間的距離為

由于弦齒厚是AB 距離的最小值，所以AB 為弦齒厚時(shí)，上式中的值由的條件確定。

將下列各參數(shù)值代入式(4)、（5）進(jìn)行計(jì)算, 計(jì)算出弦齒厚和測量弦齒高

2.1 牛頓迭代法原理簡介

迭代法是一種重要的逐次逼近的求解法，它是采用某個(gè)固定的公式把所選定的方程的根的初值代入，以校正根的近似值，使之逐漸精確化，最后得到滿足要求的解。牛頓迭代法是一種常用的迭代方法，其基本方法是把非線性方程轉(zhuǎn)化為某個(gè)線性方程求解。

設(shè)已知方程f(x)=0 的一個(gè)近似根為x0,則函數(shù)f(x)在x0附近可用一階泰勒多項(xiàng)式來近似表示。

因 此， 方 程f(x)=0 在 點(diǎn)x=x0可 近 似 的 表 示 為f(x0)+f′(x0)(x-x0)=0,設(shè)f′(x0)≠0,則線性方程的解為x=x0-f(x0)/f′(x0)。

若將以上求得的x 作為原方程f(x)=0 的一個(gè)新解代換原來的根x0,重新代入方程，可得到一系列新根x2xn+1,故得到迭代公式為xn+1=xn-f(xn)/f′(xn)。

在實(shí)際迭代中，只要前后兩次迭代值之差不超過允許的誤差，即滿足xn-xn+1＜ε，則xn與方程的真實(shí)根xn誤差不會(huì)超過ε，即可取xn為方程的根。

2.2 牛頓迭代法計(jì)算流程如圖2 所示

圖2 牛頓迭代法計(jì)算流程圖

3 實(shí)際應(yīng)用

基于以上分析，對我廠生產(chǎn)的73 型雙圓弧減速器的大齒輪的弦齒厚和測量弦齒高進(jìn)行了計(jì)算，如表1 所示為雙圓弧齒輪的基本參數(shù)。

表1 齒輪參數(shù)

計(jì)算精度ε取值為1″,執(zhí)行程序，計(jì)算結(jié)果如下。

4 結(jié)語

基于牛頓迭代法進(jìn)行圓弧齒輪弦齒厚、弦齒高計(jì)算方法，借助計(jì)算機(jī)，比手工計(jì)算大大降低了工作量，而且精度也得到了很好的保證，為生產(chǎn)提供了方便，此方法已在多家機(jī)械廠推廣應(yīng)用。