楊恒昆 賈文超

（1 深圳市市政設(shè)計研究院有限公司；2 廣東省工程勘察院）

0 前言

在地鐵運營過程中，隨著隧道建成年限的增加，由于區(qū)域性地面沉降、隧道周邊基坑開挖、隧道滲漏、列車荷載等因素的影響，隧道沉降會持續(xù)增大，繼而影響地鐵正常運行、乘客乘坐舒適性，嚴重的不均勻沉降將直接造成地鐵本身結(jié)構(gòu)的變形，甚至引發(fā)安全性問題[1]。在地鐵隧道長期運營過程中，不間斷出現(xiàn)的隧道沉降問題日益引起相關(guān)單位的重視，因此，通過科學(xué)合理的方法對隧道沉降問題進行預(yù)測預(yù)防具有重要的理論和實踐意義。

灰色理論認為一切隨機變量是在一定范圍內(nèi)變化的灰色量，對灰色量的處理不是找概率分布和求統(tǒng)計規(guī)律， 而是根據(jù)數(shù)據(jù)處理的方法來找出數(shù)據(jù)間的規(guī)律，因而只要求較短的觀測資料就可處理， 這就和時序分析、多元分析等概率統(tǒng)計模型要求較多的觀測資料很不一樣[2]。

GM(1，1)模型具有十分廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域。是工程監(jiān)測中最常用的一種預(yù)測模型，許多文獻對此進行了大量的研究， 但也存在一些預(yù)測精度不高的情況。因此，對GM(1，1)模型進行深入仔細的研究，提高其模型的精度及其適應(yīng)性， 具有非常重要的理論意義和實際意義[3]。本文利用基于殘差改正的GM(1，1)模型對地鐵運營隧道長期沉降的變化趨勢進行預(yù)測分析，得到了良好的精度效果及可靠性。

1 灰色系統(tǒng)GM（1，1）原理

在傳統(tǒng)的GM（1，1）模型中，設(shè)非負且離散的數(shù)據(jù)序列為：

X(0)=﹛x(0)（1），x(0)（2），x(0)（3），……x(0)（n）﹜，式n 為序列長度，對X(0)進行一次累加生成，得X(1)=﹛x(1)（1），x(1)（2），x(1)（3），……x(1)（n）﹜，對X(1)序列建立一階微分方程[4]。

式⑴即為GM(1，1)模型，在該式中，α、u 為灰參數(shù)，其白化值為依據(jù)最小二乘法可求得：

對X(1)作緊鄰均值生成：

式⑵中矩陣B 及向量：

將利用最小二乘原理求得的a 代入式⑴中，可求解出微分方程為：

對上文所述建立得GM(1，1)模型進行殘差大小檢驗、后驗差檢驗等，殘差大小檢驗是對模型值和實際值進行逐點檢驗；后驗差檢驗是對殘差分布的統(tǒng)計特征進行檢驗，它由后驗差比值及小概率誤差概率P 共同確定[5]。由上文中GM（1，1）模型預(yù)測得到數(shù)據(jù)序列為：

計算殘差序列ε(k)=x(0)(k)－x(1)(k)得：

記原始數(shù)據(jù)序列x(0)及殘差數(shù)據(jù)系列ε(0)的方差分別為：

2 基于殘差修正的GM（1，1）模型改進

計算殘差序列ε(k)=x(0)(k)－x(1)(k)得ε(0)=(ε(0)(1)，ε(0)(2)，…，ε(0)(n))。若k0存在，并合理定義k0，其滿足①k≥k0，ε(0)(k)的符號一致；②n－k0≥3，則稱(|ε(0)(k0)|，|ε(0)(k0+1)|，…，|ε(0)(n)|) 為可建模殘差尾段[6]，記為：

對該殘差尾段數(shù)據(jù)序列重復(fù)進行GM（1，1）模型預(yù)測，則其殘差修正值為：

將殘差修正值改正至原預(yù)測值中，經(jīng)過殘差修正的累減還原式GM（1，1）模型見式⒀：

3 工程實例

工程實例選取廣州地鐵某線路過江段左線道床D1沉降監(jiān)測點及右線道床D2 沉降監(jiān)測點2020 年4 月～2020 年8 月監(jiān)測數(shù)據(jù)進行建模及預(yù)測分析，數(shù)據(jù)如表1所示。

利用數(shù)學(xué)軟件matlab2016a 對沉降數(shù)據(jù)進行GM（1，1）模型建模分析，傳統(tǒng)的GM(1，1)計算結(jié)果如表2、表3 所示。

利用殘差改進后的GM(1，1)模型計算結(jié)果如表4、表5。

表1 沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)

表2 傳統(tǒng)模型下D1點沉降數(shù)據(jù)計算結(jié)果

表3 傳統(tǒng)模型下D2 點沉降數(shù)據(jù)計算結(jié)果

傳統(tǒng)的GM(1，1)模型及利用殘差改進后的GM(1，1)模型沉降預(yù)測曲線對比如圖1、圖2 所示。

從表4 及表5 的數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果可看出，傳統(tǒng)的GM(1，1)模型在D1、D2 點的預(yù)測結(jié)果與實際監(jiān)測數(shù)據(jù)相比平均相對誤差分別為1.60%及2.20%，利用殘差改進后的GM(1，1)模型在預(yù)測結(jié)果上的平均相對誤差分別為0.78%及0.92%，在其方差比C 檢驗及小誤差概率p 檢驗中，殘差改進后的GM(1，1)模型的表現(xiàn)均優(yōu)于傳統(tǒng)的GM(1，1)模型，從圖1 及圖2 的曲線圖對比結(jié)果上，殘差改進后的GM(1，1)模型預(yù)測數(shù)據(jù)相對于傳統(tǒng)的GM(1，1)模型也更貼近于實際監(jiān)測數(shù)據(jù)。

表4 改進后模型下D1點沉降數(shù)據(jù)計算結(jié)果

表5 改進后模型下D2 點沉降數(shù)據(jù)計算結(jié)果

圖1 D1 點沉降預(yù)測曲線

4 結(jié)論

本文介紹了灰色系統(tǒng)GM(1，1)模型的原理及建模方法，并通過實例對殘差修正的GM(1，1)模型與傳統(tǒng)的GM (1，1) 模型進行比較分析，結(jié)果表明殘差修正GM(1，1)模型能夠更準(zhǔn)確地預(yù)測監(jiān)測點的沉降變化規(guī)律和趨勢，相對于傳統(tǒng)的GM(1，1)模型其精度更高，可靠性更好，基于殘差修正的GM(1，1)模型在工程監(jiān)測領(lǐng)域具有良好的適用性，可廣泛應(yīng)用。