王 何 周俊杰 李泉兵

（1、重慶理工大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，重慶400054 2、重慶理工大學(xué) 理學(xué)院，重慶400054 3、重慶理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，重慶400054）

1 背景介紹

“同心鼓”又名“擊鼓顛球”，是一項(xiàng)對(duì)團(tuán)隊(duì)合作能力要求較高的新興素質(zhì)拓展項(xiàng)目，該活動(dòng)需要在保證安全的情況下，使顛球次數(shù)最多。項(xiàng)目開始時(shí)，球從鼓面中心上方豎直落下，隊(duì)員同心協(xié)力將球顛起，使其有節(jié)奏地在鼓面上跳動(dòng)，顛球過程中，隊(duì)員只能抓握繩子的末端，不能接觸鼓或繩子的其他位置。該項(xiàng)目在培養(yǎng)團(tuán)體意識(shí)、團(tuán)隊(duì)合作能力、進(jìn)取精神上都有一定積極作用。

2 問題

所用排球質(zhì)量為0.27kg，鼓面直徑為40cm，鼓身高度為22 cm，鼓的質(zhì)量為3.6kg，參與該項(xiàng)目的人數(shù)不少于8 人，隊(duì)員之間的最小距離不小于60cm。開始時(shí)，球從鼓面中心上方40cm 處豎直落下，球被顛起的高度應(yīng)離開鼓面40cm 以上，如果低于40cm，則項(xiàng)目停止，項(xiàng)目的目標(biāo)是使得連續(xù)顛球的次數(shù)盡可能多。根據(jù)上述基本要求，建立數(shù)學(xué)模型解決以下問題：

問題1：在參與人員都能精確控制施力方向、時(shí)機(jī)和力度的理想狀態(tài)下，討論團(tuán)隊(duì)的最佳協(xié)作策略，給出該策略下的顛球高度。

問題2：在隊(duì)員不能精確控制發(fā)力時(shí)機(jī)和力度的實(shí)際情況下，建立描述隊(duì)員的發(fā)力時(shí)機(jī)和力度與某一特定時(shí)刻的鼓面傾斜角度的關(guān)系模型。在隊(duì)員人數(shù)為8，繩長(zhǎng)為1.7m，鼓面初始時(shí)刻水平靜止，初始位置較繩子水平下降11cm 時(shí)，求解表1 中0.1s 時(shí)鼓面的傾斜角度。

問題3：在實(shí)際情況下，根據(jù)問題2 模型，調(diào)整問題1 的策略。

問題4：在隊(duì)員人數(shù)為10，繩長(zhǎng)2m，球反彈高度60cm，球相對(duì)豎直方向傾斜1 度，傾斜方向在水平面的投影指向某兩位隊(duì)員之間，且與這兩位隊(duì)員的夾角之比為1:2 時(shí)，調(diào)整隊(duì)員拉繩策略，使球能豎直彈跳，求解精確控制條件下所有隊(duì)員的發(fā)力時(shí)機(jī)及力度，并分析該調(diào)整策略的實(shí)施效果。

3 模型假設(shè)

假設(shè)所有參與人員給繩的力為恒力，且施力方向沿繩向外；假設(shè)所有參與人員握繩高度相同，繩端處于同一水平面；不考慮繩的彈性勢(shì)能；不考慮空氣阻力對(duì)球與鼓運(yùn)動(dòng)的影響；所有參與人員之間的距離相等、均勻分布;假設(shè)球與鼓總是在鼓上升到最大速度時(shí)碰撞。

4 問題分析

問題1:該問為優(yōu)化問題，將力度作為優(yōu)化目標(biāo)。在假設(shè)條件下，建立二維直角坐標(biāo)系。該運(yùn)動(dòng)具有循環(huán)性，只考慮球從鼓面中心上方40cm、鼓從最低處開始運(yùn)動(dòng)到球與鼓再次回到各自原點(diǎn)的單次運(yùn)動(dòng)過程，將球與鼓的運(yùn)動(dòng)分為鼓上升、球與鼓碰撞、恢復(fù)原狀態(tài)三階段，對(duì)球與鼓每一階段的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，從而建立優(yōu)化模型求得最優(yōu)力度。

問題2：從單力不平衡、多力不平衡、單人提前發(fā)力、多人提前發(fā)力、提前發(fā)力與多力不平衡五種情況分析發(fā)力時(shí)機(jī)和力度與鼓面傾斜角度的關(guān)系。

問題3：現(xiàn)實(shí)情況下，所有參與人員不可能對(duì)發(fā)力時(shí)機(jī)與力度進(jìn)行精確控制，根據(jù)顛球間隔和人的正常反應(yīng)時(shí)間對(duì)問題1中的策略進(jìn)行調(diào)整。

問題4：球運(yùn)動(dòng)方向不再豎直，小球相對(duì)于豎直方向產(chǎn)生1°的傾斜角度，以鼓為中心建立直角坐標(biāo)系，假定鼓的傾斜方向在隊(duì)員1 與隊(duì)員2 之間，且與 軸正半軸右夾12°?？梢栽O(shè)在該方向上增加△F，由此對(duì)鼓產(chǎn)生新力矩，在球與鼓碰撞前，轉(zhuǎn)動(dòng)鼓面使其恢復(fù)水平狀態(tài)，將△F 分解在隊(duì)員1 與隊(duì)員2 上，即△F1和△F2，即可使鼓變?yōu)樗綘顟B(tài)。

5 模型建立與解決

5.1 問題1:模型建立和求解

5.1.1 模型的建立

將力度作為優(yōu)化目標(biāo)，將球與鼓的運(yùn)動(dòng)分為鼓上升、球與鼓碰撞、恢復(fù)原狀態(tài)三階段，對(duì)球與鼓每一階段的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，如圖1 所示。

圖1

5.1.2 模型求解

利用Matlab 求解得到不同繩長(zhǎng)l、繩水平時(shí)所處水平面離地面的高度h0以及參與人數(shù)n 等參數(shù)條件下的策略，為了更好的描述以上三個(gè)參數(shù)對(duì)優(yōu)化目標(biāo)的影響，分別給出不同參數(shù)下的施力情況。

表1 不同參數(shù)條件下的策略解

5.2 問題2：模型建立與求解

對(duì)題目中的八種情況，分為5 種不同情況進(jìn)行求解。

5.2.1 單力不平衡

5.3 模型結(jié)果

根據(jù)以上幾種模型對(duì)具體實(shí)例樣本進(jìn)行求解，求解結(jié)果如表2 所示。

表2 樣本的鼓面傾斜

6 問題3:最優(yōu)策略模型的調(diào)整

在理想情況下建立的模型忽略了空氣阻力、碰撞點(diǎn)的能量損失、碰撞后鼓的速度以及恢復(fù)系數(shù)的準(zhǔn)確性。根據(jù)實(shí)際情況，給出三種模型調(diào)整策略。

6.1 增大小球碰撞前后的速度v2、v2'

增大碰撞前后的小球速度，從而增大小球上升與下落的時(shí)間，使參與人員擁有足夠反應(yīng)時(shí)間做出相應(yīng)調(diào)整，進(jìn)而對(duì)球進(jìn)行更好的控制。

6.2 調(diào)整施力大小

STEP1:確定球從最初位置下降到返回原位置的總時(shí)間及小球碰撞前的速度v2。

STEP2:確定樣本中鼓的傾斜角度。

STEP3:確定調(diào)整力的合力矩。

STEP4:計(jì)算鼓角加速度。

STEP5:確定 β表達(dá)式。

STEP6:分解調(diào)整力。

STEP7:求解調(diào)整力。

通過上述步驟可得樣本1 中第5 號(hào)成員的調(diào)整力為92.03N，且球來(lái)回彈起的時(shí)間在人正常反應(yīng)時(shí)間內(nèi)。根據(jù)以上分析可知，若需在短時(shí)間內(nèi)調(diào)整鼓面，則需更大的調(diào)整力，當(dāng)球來(lái)回運(yùn)動(dòng)的時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)，可用較小的力使鼓面恢復(fù)水平。

6.3 所有參與人員用力拉繩，將繩繃緊

若有參與人員提前發(fā)力或發(fā)力不均時(shí)，其他成員能盡快感知并及時(shí)做出調(diào)整，便能及時(shí)控制鼓面傾斜，保證球始終落在球面上且盡量保持豎直運(yùn)動(dòng)。

7 問題4：精確控制條件下調(diào)整球?yàn)樨Q直彈跳的策略

7.1 調(diào)整策略

圖2 三維坐標(biāo)系

7.2 調(diào)整策略效果分析

由于2 中為理想情況，且繩長(zhǎng)取值在1 米左右，而在第四問中繩長(zhǎng)為2 米，這導(dǎo)致兩種情況下的h1差距較大，其余參數(shù)取值差異不大，則可以認(rèn)為問題四的調(diào)整策略在現(xiàn)實(shí)情況中實(shí)施效果較好。