毛北行

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450015)

0 引言

混沌系統(tǒng)的同步日益成為研究的熱門[1-11]，滑?？刂朴捎谄渚_性、高效性以及良好的魯棒性成為控制學(xué)科重要的研究方法之一.隨著人們對混沌的深入研究，滑模同步引起了控制界的廣泛興趣，自適應(yīng)滑模方法、積分滑模方法、有限時間滑模方法被相繼提出.文獻(xiàn)[12]利用Laplace變換根據(jù)分?jǐn)?shù)階終值定理研究了分?jǐn)?shù)階Genesio-Tesi系統(tǒng)的滑?；煦缤絾栴}.文獻(xiàn)[13]研究了一類整數(shù)階不確定混沌系統(tǒng)的終端滑模問題，給出了非奇異終端滑模面的設(shè)計與控制器的構(gòu)造.文獻(xiàn)[14]研究了一類新型混沌系統(tǒng)的滑模同步，給出了新型滑模面的設(shè)計.另一方面，Victor-Carmen系統(tǒng)的同步控制引起眾多學(xué)者的密切關(guān)注，例如：文獻(xiàn)[15]研究了整數(shù)階Victor-Carmen系統(tǒng)的投影同步，得到了系統(tǒng)取得投影同步的充分性條件；文獻(xiàn)[16]研究了分?jǐn)?shù)階Victor-Carmen系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步，給出了自適應(yīng)規(guī)則的設(shè)計和控制器的選取.在以上研究的基礎(chǔ)上，研究分?jǐn)?shù)階Victor-Carmen系統(tǒng)的自適應(yīng)比例積分滑模同步，設(shè)計新型分?jǐn)?shù)階比例積分滑模面，能夠使誤差動態(tài)系統(tǒng)快速收斂到滑模面.

1 主要結(jié)果

定義1[17]Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

設(shè)計分?jǐn)?shù)階Victor-Carmen混沌系統(tǒng)作為主系統(tǒng)[18]：

(1)

其中：x1，x2，x3∈R3為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；a，b，α，β，γ為系統(tǒng)參數(shù).當(dāng)α=50，β=20，γ=4.1，a=5，b=9，q=0.873時出現(xiàn)混沌吸引子，其相軌如圖1所示.

圖1 Victor-Carmen混沌系統(tǒng)的相軌

其對應(yīng)的從系統(tǒng)為

(2)

假設(shè)1設(shè)不確定項Δf1(y)和外部擾動di(t)有界，即存在mi，ni>0使得|Δfi(y)|

(3)

假設(shè)2|Δfi+d1|<|ei|.

自適應(yīng)律為

上式兩邊積分，得

根據(jù)引理1，si(t)→0，結(jié)論證畢.

以系統(tǒng)(1)為主系統(tǒng)，設(shè)計從系統(tǒng)為

(4)

定義誤差e1=y1-x1，e2=y2-x2，e3=y3-x3，很容易得到誤差方程：

(5)

假設(shè)3存在未知m，n滿足|Δf(y(t))|

假設(shè)4|Δf+d-be1-ae2+γy1e2+γe1x2|<λ|e3|.

假設(shè)5|αe2y3|<|e1|.

代入控制器，則系統(tǒng)(5)的第3個方程為

所以e3→0.

-βy1y3+βx1x3=β(-y1y3+y1x3)+β(-y1x3+x1x3)=-βy1e3-βx3e1.

由Barbarlet’s引理，s→0.

2 數(shù)值仿真

系統(tǒng)參數(shù)取為α=50，β=20，γ=4.1，a=5，b=9，其中分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)取q=0.873，系統(tǒng)(2)的初始值設(shè)置為(x(0)，y(0)，z(0)，w(0))=(2.2，6.5，2.5，1.5).不確定項和外部擾動取為

Δf1(y(t))+d1(t)=0.1sin(t)y1+0.1cost，

Δf2(y(t))+d2(t)=-0.1cos(t)y2+0.1cost，

Δf3(y(t))+d3(t)=-0.1sin(t)y3+0.1cos(2t)，

Δf(y(t))+d(t)=-0.1cos(t)y2+0.1cost.

系統(tǒng)的誤差曲線如圖2—3.從中可看出初始時刻誤差相差較大，距離原點較遠(yuǎn)，隨時間變化系統(tǒng)誤差逐漸趨近于坐標(biāo)原點.比較定理1與定理2可以看到，定理1中滑模面設(shè)計比較簡單，而控制器較復(fù)雜；定理2剛好相反，滑模面設(shè)計的形式復(fù)雜而控制器較簡潔.因此兩種方法各有優(yōu)缺點：定理1中滑模面形式簡單，因此在滑模趨近階段需要更短的時間，系統(tǒng)狀態(tài)就能被驅(qū)動到原點；定理2控制器簡單，控制代價小，更容易實現(xiàn).

圖2 定理1中的系統(tǒng)誤差曲線

3 結(jié)論

研究分?jǐn)?shù)階Victor-Carmen系統(tǒng)的自適應(yīng)比例積分滑模同步，利用滑模方法提出一種新型比例積分滑模面，獲得分?jǐn)?shù)階Victor-Carmen系統(tǒng)自適應(yīng)比例積分滑模同步的充分條件.研究表明，適當(dāng)條件下分?jǐn)?shù)階Victor-Carmen主從系統(tǒng)是自適應(yīng)比例積分滑模同步的.能否研究出收斂更加快速且無抖振的滑模面是下一步需要考慮的問題.