高文君，殷瑞，高能，盛寒，高志江

（1.中國石油吐哈油田分公司勘探開發(fā)研究院，新疆哈密 839009；2.長江大學(xué)石油工程學(xué)院，武漢 430100；3.中海油能源發(fā)展股份有限公司工程技術(shù)分公司，天津 300452；4.中國石油測井有限公司大慶分公司，黑龍江大慶 163412）

水驅(qū)特征曲線和含水變化規(guī)律反映的是注水油藏宏觀開發(fā)指標(biāo)變化規(guī)律[1]，而含水率與出口端含水飽和度的關(guān)系（即分流量解析方程），反映的是油層微觀水驅(qū)油滲流特征[2]。1941 年，萊文萊特首次提出了分流量方程的計(jì)算通式[3]。但萊文萊特提出的并非分流量方程的解析式，只是一個(gè)兩種非混相流體流動(dòng)的基本計(jì)算公式。為此，油藏工程師常假定地層是平的，毛細(xì)管壓力梯度可忽略不計(jì)，且利用油水相滲比值，將分流量方程簡化為解析式來確定含水率與出口端含水飽和度的變化關(guān)系。這種處理方式，對于中—高滲油藏在中—高含水階段水驅(qū)機(jī)理的研究起到一定的理論指導(dǎo)作用[4-5]，但并不符合特低—低滲或非常規(guī)等油藏的油水相滲比值[6-8]，加上毛細(xì)管壓力非常大，非潤濕相還存在一定的啟動(dòng)壓力，簡化后的分流量解析式很難與實(shí)驗(yàn)值實(shí)現(xiàn)完全匹配。

20 世紀(jì)60—70 年代，前人陸續(xù)從已開發(fā)油田統(tǒng)計(jì)得到了許多水驅(qū)特征曲線，如馬克西莫夫水驅(qū)特征曲線、卡扎科夫水驅(qū)特征曲線等[9-10]。此后，中國學(xué)者也陸續(xù)提出了一些新的水驅(qū)特征曲線，如俞啟泰水驅(qū)特征曲線、張金慶水驅(qū)特征曲線等[11-14]。然而，這些水驅(qū)特征曲線缺乏正向理論推理過程，只是以經(jīng)驗(yàn)或統(tǒng)計(jì)的形式給出。中國學(xué)者也試圖實(shí)現(xiàn)部分水驅(qū)特征曲線的正向理論推理，但一直未找到合適油水相滲比值的關(guān)系式，導(dǎo)致這些水驅(qū)特征曲線缺乏滲流理論依據(jù)的支持。本文利用反向推理技術(shù)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)較強(qiáng)的特點(diǎn)，先對水驅(qū)特征曲線進(jìn)行微分，直接得到含水變化規(guī)律后，再結(jié)合韋爾杰（Welge）的平均含水飽和度方程，通過微分求解，得到分流量方程的解析式[15]；若進(jìn)一步與兩相滲流理論中含水率的衍生式——萊文萊特函數(shù)相結(jié)合，可得到描述兩相滲流特征的油水相滲比值與含水飽和度關(guān)系式，這也間接地解決了水驅(qū)特征曲線理論推導(dǎo)問題。同時(shí)，考慮到含水變化規(guī)律曲線呈凸形、“S”形或凹形的特點(diǎn)，經(jīng)對已有水驅(qū)特征曲線進(jìn)行篩選，歸納出了一種新型廣義水驅(qū)特征曲線，然后再對其進(jìn)行反向推理，得到更具廣泛適應(yīng)性的分流量解析方程。

1 新型廣義水驅(qū)特征曲線的確定

1997 年，俞啟泰提出了一種廣義水驅(qū)特征曲線[12]，文獻(xiàn)［8］給出了其校正關(guān)系式：

1976 年，卡扎科夫通過對已開發(fā)注水油藏進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到了一種水驅(qū)特征曲線，簡稱卡扎科夫曲線，文獻(xiàn)［8］給出了其校正關(guān)系式：

將Lp=Np+Wp代入（2）式，得

對比（1）式和（3）式，并引入活塞式驅(qū)程度指數(shù)n（其值越大，水驅(qū)油活塞式驅(qū)特征越明顯[16]），（3）式可寫成通式：

很明顯，（4）式中，當(dāng)n=0時(shí)，則轉(zhuǎn)化為（1）式；當(dāng)n=1 時(shí)，則轉(zhuǎn)化為（3）式。因此，（4）式是一個(gè)廣義水驅(qū)特征曲線[17]，（1）式和（3）式只是（4）式的特例。

2 對應(yīng)含水變化規(guī)律的反演

對（4）式兩端時(shí)間t求導(dǎo)，并結(jié)合階段產(chǎn)油量qo=dNp/dt，階段產(chǎn)水量qw=dWp/dt，得：

由含水率基本概念式[18]可知：

將（6）式與（5）式結(jié)合，得：

將（7）式代入（4）式，再結(jié)合采出程度R=Np/N，并令a=A/N，b=N-1（B/mm）[1/（1+m）]，得廣義水驅(qū)特征曲線（4）式對應(yīng)的含水變化規(guī)律：

3 新型分流量解析方程的確定

俞啟泰曾指出，油水滲流特征實(shí)質(zhì)性關(guān)系式為fw～Swe，即分流量方程的解析式，而（8）式實(shí)質(zhì)上只是平均含水飽和度與含水率的變化關(guān)系，反映的是油藏宏觀生產(chǎn)指標(biāo)變化規(guī)律。因此，油藏在注水保持地層壓力的條件下，其平均含水飽和度[3]為

結(jié)合Buckley-Leverett 的線性驅(qū)替理論，在非活塞式水驅(qū)油條件下，Welge方程[3]為

將（9）式代入（10）式，得：

再將（8）式代入（11）式，得：

很明顯，（12）式屬非齊次線性方程。因此，按常數(shù)變易法，先求得齊次線性方程dSwe/dfw=-Swe/（1-fw）的通解:

再將（13）式中常數(shù)C1換成fw的未知函數(shù)u（fw），則得到：

對（14）式求導(dǎo)，得：

將（14）式代入（12）式左端，結(jié)合（15）式，可得：

進(jìn)一步整理（16）式，得：

求解（17）式微分方程的解，得：

將（18）式代入（14）式，整理之后可得到非齊次線性方程（12）式的通解：

在水驅(qū)油過程中，油井剛見水時(shí)出口端含水飽和度Swe=Swi，若含水率為0，則

將式（20）代入（19）式，整理得：

上述在確定分流量方程的解析式過程中，只使用了含水率的概念式，而沒有采用傳統(tǒng)兩相滲流理論中含水率的衍生式——萊文萊特函數(shù)，回避了傳統(tǒng)方法中需要確定油水相滲比值與含水飽和度的關(guān)系式，以及油、水各自流動(dòng)符合線性流的條件限制[3]。在得到（21）式的基礎(chǔ)上，若再結(jié)合萊文萊特函數(shù)，可直接得到描述油水兩相滲流特征方程——油水相滲比值與含水飽和度的關(guān)系式：

顯然，上述油水相滲比值與含水飽和度的關(guān)系式很難通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析得到，（22）式與分流量解析方程均屬超越方程，具有比較特殊的函數(shù)結(jié)構(gòu)。若令y=Swe，x1=fw，x2=（1-fw）{nk-[fw/（1-fw）+n]k}，a0=Swi，a1=a（1-Swi），a2=b（1+m）（1-Swi），k=1/（1+m），那么，（21）式轉(zhuǎn)化為多元線性方程：

由于x2中含有2 個(gè)待定的參數(shù)n和k，因此，在擬合時(shí)，先給定n的初始值為1，然后求得相關(guān)系數(shù)最大時(shí)的k值；其次，固定前面確定的k值，再求得相關(guān)系數(shù)最大時(shí)的n值；重復(fù)前面2個(gè)步驟，直至得到擬合相關(guān)系數(shù)最大時(shí)的n和k值，以及對應(yīng)的a0、a1、a2等待定參數(shù)。這種求解方法稱為雙變量正交求解法，在復(fù)雜數(shù)學(xué)模型分析中經(jīng)常采用。

利用西峰油田莊19 井區(qū)（特低滲致密油藏）、羊二莊油田某區(qū)塊（塊狀砂巖底水油藏）、貝爾油田某區(qū)塊（特低滲復(fù)雜砂巖油藏）、榆樹林油田東14 區(qū)塊（低滲裂縫砂巖油藏）的水驅(qū)油實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[19-22]，分別代入（21）式后，并轉(zhuǎn)化成（23）式進(jìn)行擬合（表1）。雖然4 個(gè)油藏含水率與出口端含水飽和度變化形態(tài)差異很大，但擬合效果均很好，相關(guān)系數(shù)均超過0.999 6，表明分流量解析方程（21）式具有較好的適應(yīng)性（表2，圖1）。

為了進(jìn)一步對比說明（21）式的精確度，同樣，選用傳統(tǒng)的含水率與出口端含水飽和度的關(guān)系式fw=[1+m0μw/μo·exp（-n0Swe）]-1，對西峰油田莊19 井區(qū)、羊二莊油田某區(qū)塊和貝爾油田某區(qū)塊和榆樹林油田東14 區(qū)塊的水驅(qū)油實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合（表3，圖2），結(jié)果表明，利用傳統(tǒng)指數(shù)式，不僅擬合程度較低，而且擬合曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)偏差也較大。

進(jìn)一步對（21）式進(jìn)行分析，當(dāng)n=0 時(shí)，可得到（1）式水驅(qū)特征曲線的分流量解析方程：

表1 中國4個(gè)不同類型油藏油水相滲實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Table 1.Experiment data of oil and water permeabilities in four different types of oil reservoirs in China

表2 中國4個(gè)油藏水驅(qū)油實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)利用（21）式擬合的結(jié)果Table 2.Fitting results of water flooding experiment data from four oilfields in China using equation (21)

當(dāng)n=1 時(shí)，由（21）式可得到（2）式水驅(qū)特征曲線的分流量解析方程：

當(dāng)Swe=1-Sor時(shí)，fw=1，代入（25）式，整理之后可以得到參數(shù)：

若存在a=b（1+m），則（25）式轉(zhuǎn)化為

由概念可知出口端含油率：

取m=0.5，μr（1-Sor-Swi）=50，那么，必然存在艾富羅斯兩相滲流實(shí)驗(yàn)結(jié)果[3]：

因此，艾富羅斯實(shí)驗(yàn)結(jié)果是（21）式在特定條件下的一種特殊情況，不僅要符合Swe=Swi時(shí)，fw=0；Swe=1-Sor時(shí)，fw=1 等初始邊界條件，而且還要滿足a=1.5b和μr（1-Sor-Swi）=50等特殊條件約束。

4 對應(yīng)含水變化規(guī)律適應(yīng)性分析

一般對（8）式取fw=0.98，得到最終水驅(qū)采收率為

將（8）式除以（30）式，可得水驅(qū)可采儲(chǔ)量采出程度關(guān)系式：

圖1 中國4個(gè)油藏利用（21）式擬合的分流量變化曲線Fig.1.Variations of fractional flow fitted by equation(21)in four reservoirs in China

表3 中國4個(gè)油藏水驅(qū)油實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)利用傳統(tǒng)指數(shù)式擬合的結(jié)果Table 3.Fitting results of water flooding experiment data from four oil reservoirs in China using traditional exponential formula

令a1=a/[a-b(49+n)-m/（1+m）]，b1=b/[a-b(49+n)-m/（1+m）]，代入（31）式，可得

按表4 中給定的參數(shù)，可得到2 組描述凹形、“S”形和凸形含水變化規(guī)律曲線。這說明（8）式不僅可以描述凹形、“S”形和凸形等含水變化規(guī)律曲線，而且也可以描述無水期為0或不為0的各種形態(tài)含水變化規(guī)律曲線（圖3）。

同樣，令y=RD，x=-[fw/（1-fw）+n]-m/（1+m），則（32）式轉(zhuǎn)化為一元一次線性方程：

圖2 中國4個(gè)油藏利用傳統(tǒng)指數(shù)式擬合的分流量變化曲線Fig.2.Variations of fractional flow in four oil reservoirs in China(exponential fitting)

表4 典型含水變化曲線參數(shù)取值Table 4.Parameter values for typical water cut curves

由于（33）式中x含有2 個(gè)待定參數(shù)n和m，因此，采用雙變量正交求解法，將文獻(xiàn)［23］給出的5 類不同油藏可采地質(zhì)儲(chǔ)量采出程度與含水率生產(chǎn)數(shù)據(jù)代入（33）式，進(jìn)行最優(yōu)擬合，即先給定n的初始值為1，然后求得相關(guān)系數(shù)最大時(shí)的m值；再固定前面確定的m值，求得相關(guān)系數(shù)最大時(shí)的n值；重復(fù)前面2 個(gè)步驟，直至得到擬合相關(guān)系數(shù)最大時(shí)的n和m值，以及對應(yīng)的a1、b1等待定參數(shù)（表5）。將擬合曲線與實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，擬合曲線與實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)一致（圖4），這也充分表明（8）式可以表征不同類型油藏的含水變化規(guī)律。

綜上所述，所建的分流量解析方程（21）式，不僅可以描述巖心實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)含水率與出口端含水飽和度的變化關(guān)系，而且其對應(yīng)的（8）式也可描述油藏不同的采出程度和含水變化規(guī)律。

5 實(shí)例應(yīng)用

巴喀油田西山窯組油藏屬低孔特低滲裂縫型砂巖油藏，油層平均孔隙度為8.9%，平均空氣滲透率為0.41 mD；地層原油密度為0.738 g/cm3，地層原油黏度為1.274 mPa·s，原始原油體積系數(shù)為1.255 3，氣油比為113.5 m3/t，地層水黏度為3.46 mPa·s。巴喀油田西山窯組油藏于1996年6月投入注水開發(fā)，目前已進(jìn)入高含水期低速開采階段，但采出程度較低，僅為10%左右。

令y=Np，x=-（Wp+nNp+C）-m，那么，（5）式轉(zhuǎn)化為一元一次線性方程y=A+Bx，將歷年開發(fā)數(shù)據(jù)代入線性方程進(jìn)行最優(yōu)擬合，即采用多變量正交求解法（n、m、C），先固定C=0，n=1，求得最優(yōu)m值；然后固定m值和C=0，求得最優(yōu)n值；最后，固定m值和n值，求得最優(yōu)C值。重復(fù)前面步驟，直到獲得最大相關(guān)系數(shù)時(shí)的水驅(qū)特征曲線（圖5a）；其次，反演得到含水變化規(guī)律（圖5b）；最后，得到巴喀油田西山窯組油藏實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)反饋的油藏滲流特征方程（圖6）。

圖3 廣義含水變化規(guī)律曲線形態(tài)Fig.3.Generalized water cut variation curves

表5 文獻(xiàn)［23］的5種不同油田含水規(guī)律擬合結(jié)果Table 5.Fitting results of water cut variations in five different oil fields mentioned in Ref.[23]

將油藏實(shí)際生產(chǎn)反映的滲流特征與水驅(qū)油實(shí)驗(yàn)未含裂縫的均質(zhì)巖心得到的含水率與出口端含水飽和度關(guān)系曲線相比，差異非常明顯。除非均質(zhì)影響外，實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)反映的是基質(zhì)砂巖和裂縫共同對水驅(qū)油滲流特征的影響[24-25]，且單層油井實(shí)際生產(chǎn)結(jié)果也反映出油井一旦見水，迅速進(jìn)入特高含水期的裂縫型油藏見水特征，表明巴喀油田西山窯組油藏裂縫對水驅(qū)油滲流特征影響較大。

6 結(jié)論

（1）本文提出的廣義水驅(qū)特征曲線，在n取0 或1時(shí)可簡化為俞啟泰或卡扎科夫水驅(qū)特征曲線。

（2）廣義水驅(qū)特征曲線對應(yīng)采出程度與含水變化規(guī)律不僅可以有效描述無水期為0 或不為0 時(shí)凸形、“S”形、凹形含水變化規(guī)律，而且也能很好地?cái)M合5 種開發(fā)過程較全的不同形態(tài)含水變化規(guī)律，適應(yīng)性較強(qiáng)。

（3）利用Welge 方程，導(dǎo)出了水驅(qū)油微觀滲流特征方程——新型分流量解析方程，該方程在特定條件下，可得到艾富羅斯實(shí)驗(yàn)結(jié)果，表明艾富羅斯實(shí)驗(yàn)結(jié)果只是文中水驅(qū)油微觀滲流特征方程的一個(gè)特例。

圖4 文獻(xiàn)［23］的5種驅(qū)替特征曲線Fig.4.Five characteristic curves of the oilfields mentioned in Ref.[23]

（4）通過中國4 個(gè)油田實(shí)例驗(yàn)證，本文提出的分流量解析方程與傳統(tǒng)解析方程相比，擬合精度較高。

圖5 巴喀油田西山窯組油藏水驅(qū)曲線Fig.5.Water flooding curves of the reservoir in Xishanyao formation in Baka oilfield

（5）利用反向推理技術(shù)，通過水驅(qū)特征曲線→含水變化規(guī)律→水驅(qū)油特征，可以確定油藏實(shí)際水驅(qū)油滲流特征。

圖6 巴喀油田西山窯組油藏含水率與含水飽和度曲線Fig.6.Water saturation vs.water cut of the reservoir in Xishanyao formation in Baka oilfield

符號(hào)注釋

a，a1，A，b，b1，B，C，k，m，m0，n，n0——待定參數(shù)；

foe——出口端含油率，f；

fw——含水率，f；

Kro——油相相對滲透率，無量綱；

Krw——水相相對滲透率，無量綱；

Lp——累計(jì)產(chǎn)液量，104t；

N——地質(zhì)儲(chǔ)量，104t；

Np——累計(jì)產(chǎn)油量，104t；

qo——階段產(chǎn)油量，104t/a或104t/月；

qw——階段產(chǎn)水量，104t/a或104t/月；

R——采出程度，f；

RD——可采儲(chǔ)量采出程度，f；

Sor——?dú)堄嘤惋柡投?，f；

Swe——出口端含水飽和度,f；

Swi——束縛水飽和度，f；

t——生產(chǎn)時(shí)間，a或月；

Wp——累計(jì)產(chǎn)水量，104t；

μo——地層原油黏度，mPa·s；

μw——地層水黏度，mPa·s；

μr——油水黏度比，f。