謝禮平

(南京東山外國(guó)語學(xué)校,江蘇 南京 211103)

1 問題提出

某高三物理訓(xùn)練卷中出現(xiàn)這樣一道習(xí)題.

例題.已知雨滴在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的空氣阻力f=kr2v2,其中k為比例系數(shù),r為雨滴的半徑,v為雨滴下落速度,t=0時(shí),雨滴由靜止開始沿豎直方向下落,落地前雨滴已做勻速直線運(yùn)動(dòng)且速率為v0,用a表示雨滴的加速度,g表示重力加速度,下列圖像可能正確的是

圖1

本題給出的正確選項(xiàng)為(A)、(B)、(C)．針對(duì)(A)選項(xiàng),許多教師展開了熱烈的討論,都覺得這是一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng),理由如下.由牛頓第二定律

(1)

這是一個(gè)關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)式,兩邊求導(dǎo)數(shù),可得

(2)

設(shè)x為雨滴下落某時(shí)刻的位置,根據(jù)初始條件:

當(dāng)t=0時(shí),x=0,v=x′=0,故在初始時(shí)刻加速度對(duì)時(shí)間的變化率應(yīng)為0,(A)選項(xiàng)與此結(jié)論矛盾,該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的．

以上討論,由初始位置的信息確定了(A)是錯(cuò)誤選項(xiàng),那么,從教師角度來看,(A)選項(xiàng)表示的加速度圖像究竟是什么形狀?(B)選項(xiàng)也是正確的嗎?

2 問題探究

2.1 推導(dǎo)雨滴下落的位置時(shí)間關(guān)系、速度時(shí)間關(guān)系以及加速度時(shí)間關(guān)系表達(dá)式

原題中的已知條件都是以字母的形式呈現(xiàn)的,為使得問題的討論更切合實(shí)際,本文從數(shù)據(jù)的層面上討論本題．

百度搜索可知,下落中的雨滴的最常見半徑為r=1 mm,這樣大小的雨滴下落的最終速度約為v0=5 m/s,假設(shè)這些數(shù)據(jù)是真實(shí)的,取g=10 m/s2.

當(dāng)雨滴勻速下落時(shí),有

kr2v02=mg.

(3)

(4)

由(3)、(4)兩式可得

代入數(shù)據(jù)可得k≈1.67 kg2/m3.

將此結(jié)果代入(1)式可得

a+0.4v2-10=0.

這是一個(gè)關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)式,將其轉(zhuǎn)化為位置x的二階微分方程,得

x″+0.4x′2-10=0.

(5)

令x′=p,那么

可將(5)式化為

上式進(jìn)一步變形為

湊項(xiàng)得

兩邊積分可得

ln|0.4p2-10|=-0.8x+C1.

整理得

0.4p2-10=C2e-0.8x.

(6)

根據(jù)初始條件

當(dāng)t=0時(shí),x=0,p=x′=0,代入上式得C2=-10.

于是(6)式可化為

0.4p2=10-10e-0.8x.

解得(負(fù)值舍去)

即

得到

再次湊項(xiàng)

兩邊積分得

根據(jù)初始條件,當(dāng)t=0時(shí),x=0可得C3=0.

于是可得

化簡(jiǎn)上式得

進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

(7)

(7)式為雨滴下落的位置與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式,對(duì)(7)式求導(dǎo)數(shù),得到雨滴速度表達(dá)式

(8)

進(jìn)一步求導(dǎo)數(shù),得到雨滴加速度表達(dá)式

(9)

2.2 描繪(7)—(9)3式圖像

在手機(jī)(如HUAWEI Mate30 5G)下載超級(jí)計(jì)算器APP,名為“Maple Companion”.

打開APP,分別輸入3個(gè)函數(shù)式: 圖1與(7)式對(duì)應(yīng)的雨滴下落的位置時(shí)間圖像,縱坐標(biāo)表示雨滴下落相對(duì)于出發(fā)點(diǎn)的位置,橫坐標(biāo)表示下落時(shí)間.圖2與(8)式對(duì)應(yīng)的雨滴下落的速度時(shí)間圖像,縱坐標(biāo)表示雨滴下落的速度大小,橫坐標(biāo)表示下落時(shí)間.圖3與(9)式的對(duì)應(yīng)的雨滴下落的加速度時(shí)間圖像,縱坐標(biāo)表示雨滴下落的加速度大小,橫坐標(biāo)表示下落時(shí)間．由于t>0,所以,對(duì)于圖1—3,只需要觀察第一象限的圖像即可．

圖1

圖2

圖3

圖4

3 問題討論

(1) 本題選項(xiàng)(B)是正確的,而(A)是錯(cuò)誤的,對(duì)(9)式求導(dǎo)數(shù),可得

當(dāng)t=0時(shí),加速度對(duì)時(shí)間變化率為0,在定義域范圍內(nèi),導(dǎo)函數(shù)不單調(diào)．正確的加速度與時(shí)間的圖像必然與圖4所示類似．

(2) 從命題的角度來看,(A)選項(xiàng)不僅僅是科學(xué)性的問題,對(duì)這個(gè)選項(xiàng)的判斷也完全超出了一個(gè)中學(xué)生的數(shù)理能力,他們甚至不能使用排除法解決它,這不是一道適合中學(xué)生解決的問題．

(3) 對(duì)本題的修改建議.

改編為多項(xiàng)選擇題已知雨滴在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的空氣阻力f=kr2v2,其中k為比例系數(shù),r為雨滴的半徑,v為雨滴下落速度,t=0時(shí),雨滴由靜止開始沿豎直方向下落,落地前雨滴已做勻速直線運(yùn)動(dòng)且速率為v0,用a表示雨滴的加速度,g表示重力加速度,下列圖像可能正確的是

圖5

這樣,學(xué)生可以排除(C)、(D)兩個(gè)選項(xiàng)從而得到(A)、(B)正確答案．