戰(zhàn)海洋 邢飛 張利

(清華大學(xué)精密儀器系， 北京 100084)

1 引 言

高精度制造在國(guó)家科技和經(jīng)濟(jì)發(fā)展中發(fā)揮著重要作用.隨著科技的發(fā)展， 制造技術(shù)的精度跨越了毫米、微米尺度， 進(jìn)入納米量級(jí).以量子理論為基礎(chǔ)的原子及近原子尺度制造是下一代制造技術(shù)的主流發(fā)展方向[1，2]， 而納米級(jí)甚至更高精度的測(cè)量技術(shù)是原子制造技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)和保障.光學(xué)測(cè)量具有精度高、測(cè)量范圍廣、測(cè)量直觀等優(yōu)點(diǎn)， 雖然具有百納米級(jí)的衍射極限限制， 但此極限僅針對(duì)兩個(gè)相鄰目標(biāo)的辨識(shí)問(wèn)題， 對(duì)單個(gè)成像光斑中心的測(cè)量可以達(dá)到更高精度.如2014 年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)授予的光激活定位顯微技術(shù)(photoactivated localization microscopy， PALM)， 通過(guò)對(duì)細(xì)胞內(nèi)的單分子進(jìn)行分時(shí)點(diǎn)亮定位， 實(shí)現(xiàn)了對(duì)活細(xì)胞中單分子的超越衍射極限的成像測(cè)量[3，4].顯微領(lǐng)域利用相關(guān)技術(shù)， 實(shí)現(xiàn)了對(duì)DNA、溶酶體、線粒體等微小細(xì)胞結(jié)構(gòu)的清晰成像[5-8]和對(duì)膜上單分子運(yùn)動(dòng)等動(dòng)態(tài)過(guò)程的納米級(jí)測(cè)量[9-11]， 這對(duì)理解具有原子級(jí)結(jié)構(gòu)特征及裝配精度的細(xì)胞的內(nèi)部機(jī)理具有重要意義， 為復(fù)雜原子功能結(jié)構(gòu)的制造奠定了基礎(chǔ)[1].光學(xué)測(cè)量也廣泛應(yīng)用于超精密加工制造領(lǐng)域.在用于加工高端芯片的光刻機(jī)中， 通過(guò)測(cè)量晶圓反射光成像點(diǎn)確定晶圓的固定位置[12]， 直接影響著芯片的加工精度.美國(guó)噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室(jet propulsion laboratory， JPL)先后使用激光靜態(tài)和動(dòng)態(tài)干涉條紋對(duì)圖形探測(cè)器像素偏移進(jìn)行測(cè)量， 達(dá)到微像素級(jí)標(biāo)定精度[13-15].原子力顯微鏡(atomic force microscopy， AFM)通過(guò)測(cè)量激光光斑的中心位置，計(jì)算懸臂梁發(fā)生的微位移， 以實(shí)現(xiàn)近原子尺度的測(cè)量精度[16].光學(xué)測(cè)量也是AFM 校準(zhǔn)如溫漂誤差的測(cè)量及補(bǔ)償中重要的技術(shù)手段[17].

雖然對(duì)單個(gè)成像目標(biāo)中心位置的測(cè)量不受衍射極限的直接制約， 但根據(jù)量子力學(xué)理論， 成像過(guò)程中探測(cè)器上產(chǎn)生的光電子數(shù)是波動(dòng)的， 此波動(dòng)被描述為散粒噪聲(shot noise)， 服從泊松分布[18].散粒噪聲和探測(cè)器暗電流噪聲等隨機(jī)噪聲的存在決定了由灰度響應(yīng)估計(jì)像中心位置的過(guò)程中， 測(cè)量精度不可能達(dá)到無(wú)限高.Winick[19]基于克拉美羅下界(Cramer-Rao lower bound， CRLB)理論推導(dǎo)了特定形式下的點(diǎn)目標(biāo)像的測(cè)量精度極限， 其適用于像斑點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(point spread function， PSF)為高斯函數(shù)的情況.Wang 等[17，20]學(xué)者對(duì)固連在儀器上的微球進(jìn)行成像以精確測(cè)量?jī)x器運(yùn)動(dòng)， 討論了微球尺寸等參數(shù)對(duì)成像強(qiáng)度分布和測(cè)量精度的影響， 但沒(méi)有完整地從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度建立這些參數(shù)和測(cè)量精度的直接定量關(guān)系.

針對(duì)以上背景和問(wèn)題， 本文基于CRLB 理論等前人工作， 發(fā)展了適用于任意強(qiáng)度分布成像的光學(xué)測(cè)量精度極限計(jì)算方法， 并以典型點(diǎn)目標(biāo)光斑艾里斑為例， 分析了光強(qiáng)、波長(zhǎng)、光學(xué)系統(tǒng)相對(duì)孔徑、探測(cè)器噪聲等參數(shù)與光學(xué)測(cè)量極限的定量關(guān)系， 給出了適用于類(lèi)似艾里斑的PSF 的提高測(cè)量精度的建議.對(duì)于PSF 和艾里斑有較大差異的， 也可使用本文方法進(jìn)行推導(dǎo)分析.對(duì)測(cè)量極限的定量分析，為原子及近原子尺度制造過(guò)程中光學(xué)測(cè)量方式的應(yīng)用和優(yōu)化， 提供了分析方法和理論指導(dǎo).

2 精度極限分析方法

2.1 任意強(qiáng)度分布的二維定位精度極限

由目標(biāo)發(fā)出的光經(jīng)過(guò)光學(xué)系統(tǒng)打在探測(cè)器上，形成灰度響應(yīng).若不考慮量子效率， 像素 ( i，j) 由光信號(hào)產(chǎn)生的光電子數(shù)為

其中， I (x，y，x0，y0) 為到達(dá)探測(cè)器上的任意光強(qiáng)分布， 單位為每平方微米內(nèi)的光電子數(shù); ( x0，y0) 為探測(cè)器上像斑的中心; ( x，y) 為探測(cè)器上的任意位置; ( xi，yi) 為像素 ( i，j) 的中心位置; h 為矩形像素尺寸(邊長(zhǎng))， 單位均為μm.由于散粒噪聲的存在，gij(x0，y0) 實(shí)際上為像素 ( i，j) 上的光電子數(shù)均值，而此光生電子數(shù)服從泊松分布[18].

以CCD 或CMOS 探測(cè)器為例， 根據(jù)其像素響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)模型[18]， 像素 ( i，j) 產(chǎn)生的光電子數(shù)有一部分來(lái)自于暗信號(hào)， 而暗電流噪聲主要由曝光時(shí)間內(nèi)電子的熱運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生， 也服從泊松分布， 假設(shè)此噪聲均值和方差為.故在像斑中心為 ( x0，y0) 的情況下， 像素 ( i，j) 產(chǎn)生光電子數(shù)為 sij的概率密度函數(shù)為

進(jìn)而使得探測(cè)器局部區(qū)域A 產(chǎn)生光電子數(shù)矩陣S 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

其中局部區(qū)域A 可以任意選取， 可以將像斑分布的所有像素全部囊括， 也可以根據(jù)具體強(qiáng)度分布選取特征最明顯的像斑局部.

CRLB 是數(shù)理統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)任何無(wú)偏估計(jì)方法都不能低于的方差[21-23].文獻(xiàn)[19]對(duì)高斯強(qiáng)度分布的CRLB 進(jìn)行了推導(dǎo)， 為進(jìn)行化簡(jiǎn)在過(guò)程中使用了兩個(gè)條件， 分別是

此處區(qū)域A 內(nèi)的像素產(chǎn)生的光電子數(shù)和為1， 是因?yàn)槲墨I(xiàn)中對(duì) gij(x0，y0) 進(jìn)行了歸一化操作.(4)式成立的條件是區(qū)域A 包含了像斑分布的全部像素.考慮到更一般的情況， 即像斑較大或較復(fù)雜時(shí)， 只用特征明顯和信噪比高的區(qū)域可能會(huì)獲得更高的精度.因此本文在(4)式不成立的條件下， 推導(dǎo)任意強(qiáng)度分布的精度極限.

根據(jù)CRLB 的計(jì)算過(guò)程[19]

其中， Qx和 Qy代表(3)式的對(duì)數(shù)對(duì) x0和 y0的偏導(dǎo).分別計(jì)算和 QxQy的數(shù)學(xué)期望

由于

且 sij與 smn，mn/=ij相互獨(dú)立， 因此(7)式的第二項(xiàng)數(shù)學(xué)期望為0， 對(duì)第一項(xiàng)的數(shù)學(xué)期望進(jìn)行計(jì)算， 化簡(jiǎn)得

在估計(jì)像斑中心橫坐標(biāo) x0時(shí)的CRLB 為

將(9)—(11)式代入(12)式即可得到最終結(jié)果.縱坐標(biāo) y0的CRLB 同理， 只需將(12)式的 x 和 y 下標(biāo)調(diào)換順序.如(1)式所示， gij(x0，y0) 可由任意光強(qiáng)分布函數(shù)積分獲得，可通過(guò)查探測(cè)器參數(shù)或由光子轉(zhuǎn)移法計(jì)算得到[18，24].另外， 由于CRLB 反映的是方差的下界， 在本文中取根號(hào)值， 即標(biāo)準(zhǔn)差下界， 并稱(chēng)其為無(wú)偏估計(jì)方法的精度極限.

2.2 艾里斑模型

光學(xué)成像系統(tǒng)的光瞳多呈圓形， 正入射時(shí)， 圓孔的夫瑯禾費(fèi)衍射斑為艾里斑， 其強(qiáng)度分布公式為

式中

其中， θ 為衍射角， D 為光瞳直徑， λ 為波長(zhǎng); I0為中心強(qiáng)度; J1(t) 為一階貝塞爾函數(shù).假設(shè)在像平面上點(diǎn) ( x，y) 距離像斑中心 ( x0，y0) 為 r ， r 可近似為

其中 f 為光學(xué)系統(tǒng)焦距， 則

這里， F 為鏡頭F 數(shù)， 即焦距與光瞳直徑之比.將(16)式代入(13)式中， 即可得到像面上的光強(qiáng)分布函數(shù)

將(17)式代入(1)式， 即可得到 gij(x0，y0) ， 進(jìn)而根據(jù)(12)式， 可計(jì)算不同參數(shù)與精度極限之間的關(guān)系.圖1 給出了艾里斑的光強(qiáng)分布函數(shù)和像素灰度響應(yīng)的示例， 兩個(gè)灰度響應(yīng)的差異是因?yàn)橄癜咧行穆湓诹讼袼貎?nèi)的不同位置.

圖1 艾里斑的光強(qiáng)分布函數(shù)及相應(yīng)的像素灰度響應(yīng)示例Fig.1.Intensity function of an Airy spot and its corresponding pixel response.

3 艾里斑光學(xué)測(cè)量精度極限分析

3.1 能量與噪聲

像斑的能量、散粒噪聲、探測(cè)器暗電流噪聲是影響圖像信噪比的參數(shù).由(12)式， 這些噪聲和能量耦合在一起， 無(wú)法通過(guò)單個(gè)或多個(gè)像素的信噪比直接對(duì)精度極限進(jìn)行評(píng)估.因此通過(guò)仿真的方式，對(duì)表征像斑能量和散粒噪聲的 I0， 表征暗電流噪聲的進(jìn)行分析.

仿真條件為F 數(shù)取4， 像素尺寸為2 μm， 波長(zhǎng)為500 nm， 中心強(qiáng)度為400 光子數(shù)/μm2， 暗電流噪聲分別設(shè)置為0 和25 (如果探測(cè)器光電子轉(zhuǎn)灰度的增益為0.2， 則=25 對(duì)應(yīng)的灰度值標(biāo)準(zhǔn)差為1).由(12)式， 精度極限與像斑中心的位置有關(guān).將像斑中心分別均勻落在一個(gè)像素的不同位置內(nèi)， 計(jì)算對(duì)像斑橫坐標(biāo) x0估計(jì)的精度極限.其中像斑中心相對(duì)于像素邊緣的位置， 稱(chēng)為像素相位.仿真結(jié)果如圖2 所示， 精度極限和像素相位的關(guān)系為一個(gè)復(fù)雜的曲面， 無(wú)暗電流噪聲時(shí)， 在此仿真條件下， 定位精度極限約為0.013 像素， 暗電流噪聲的出現(xiàn)使得精度極限變差.

圖2 精度極限-像素相位曲面 (a) 中心強(qiáng)度為400， 暗電流噪聲為0; (b) 中心強(qiáng)度為400， 暗電流噪聲為25Fig.2.Relationship of the precision limit to the x and y pixel phase: (a) The central intensity is 400， the dark current noise is 0; (b) the central intensity is 400， the dark current noise is 25.

進(jìn)一步地， 取y 像素相位為0.5 的截面， 分別在 I0=400 ，=0， 25， 100， 400 和I0=400， 800，1600， 3200 ，=400 的條件下計(jì)算x 方向精度極限與x 方向像素相位的曲線并進(jìn)行對(duì)比， 結(jié)果如圖3 所示.固然像斑能量越高， 暗電流噪聲越小，精度極限越好.值得注意的是， 當(dāng)暗電流噪聲不可忽略而像斑能量又不夠高時(shí)， 精度極限曲線的波動(dòng)幅度變大， 這意味著像斑中心位于像素中心和位于像素邊緣時(shí)定位精度有較大的差異， 在像素邊緣處能夠?qū)崿F(xiàn)更高的定位精度.

圖3 y 像素相位為0.5 時(shí)的精度極限-x 像素相位曲線(a) 中心強(qiáng)度為400， 暗電流噪聲分別取0， 25， 100， 400; (b) 暗電流噪聲為400， 中心強(qiáng)度分別取400， 800， 1600， 3200Fig.3.Relationship of the precision limit and the x pixel phase when the y pixel phase is 0.5: (a) The central intensity is 400， the dark current noise is 0， 25， 100， 400， respectively; (b) the dark current noise is 400， the central intensity is 400， 800， 1600， 3200， respectively.

表1 不同能量和噪聲條件下σall 和Δstd 結(jié)果(保留小數(shù)點(diǎn)后四位)Table 1.Results of σall and Δstd under different levels of spot energy and noise.

由此可以看出， 研究精度極限不僅需要關(guān)注整體的精度情況， 還要研究精度極限隨像素相位的波動(dòng)程度.為方便分析， 對(duì)于如圖2 所示的精度極限曲面， 定義兩個(gè)指標(biāo)σall和Δstd， 其中σall為精度極限曲面所有值的均方根(root mean square， RMS)，反映像斑中心均勻分布在各個(gè)像素相位的情況下對(duì)精度極限的整體期望， Δstd為精度極限曲面所有值的標(biāo)準(zhǔn)差， 反映其隨像素相位的波動(dòng)程度.對(duì)不同像斑能量和暗電流噪聲計(jì)算這兩個(gè)指標(biāo)， 結(jié)果如表1 所列.可以看出， 當(dāng)暗電流噪聲為0 時(shí)， 能量每增大 n 倍， 精度會(huì)提高倍; 當(dāng)暗電流噪聲變大時(shí)， 總體精度極限σall變差， 精度極限隨像素相位波動(dòng)Δstd也會(huì)變大.由(9)式可知， 暗電流噪聲的作用相當(dāng)于均勻抬高了灰度分布函數(shù) gij(x0，y0).

總結(jié)來(lái)說(shuō)， 探測(cè)器暗電流噪聲很小時(shí)， 像斑能量增大 n 倍， 精度極限提高倍.隨著暗電流噪聲變大， 總體精度極限變差， 精度極限隨像素相位的波動(dòng)也顯現(xiàn)出來(lái)并逐漸變大.為盡量減少暗電流噪聲的影響， 應(yīng)使像斑中心位于像素邊緣.當(dāng)F 數(shù)為4， 像素尺寸為2 μm， 波長(zhǎng)為500 nm， 中心強(qiáng)度為400 光子數(shù)/μm2， 暗電流噪聲方差為25 (探測(cè)器增益為0.2 時(shí)其對(duì)應(yīng)的灰度值標(biāo)準(zhǔn)差為1)， x0定位的總體精度極限為0.014 像素(28 nm)， 像素中心位置有最差精度0.014 像素(28 nm)， 像素邊緣位置有最優(yōu)精度0.013 像素(26 nm).當(dāng)暗電流噪聲方差變?yōu)?00 (對(duì)應(yīng)灰度值標(biāo)準(zhǔn)差為2)時(shí)， 總體精度極限變?yōu)?.016 像素(32 nm)， 最差精度變?yōu)?.017 像素(34 nm)， 最優(yōu)精度變?yōu)?.014 像素(28 nm).

3.2 F 數(shù)、波長(zhǎng)和像素尺寸

光學(xué)系統(tǒng)F 數(shù)、光的波長(zhǎng)、探測(cè)器像素尺寸是影響像斑能量集中程度的參數(shù).為研究像斑集中程度對(duì)定位精度極限的影響， 需控制到達(dá)探測(cè)器上的艾里斑能量總值不變， 而不是中心強(qiáng)度不變.即在變化F 數(shù)和波長(zhǎng)的條件下， 保持光強(qiáng)分布函數(shù)在探測(cè)器上的積分為常數(shù)， 即

采用圖2(b)中的仿真條件， 保持艾里斑能量總值不變， 將F 數(shù)由4 分別變?yōu)? 和8， 結(jié)果如圖4所示.對(duì)比圖2(b)可知， F 數(shù)較小時(shí)， 即像斑能量集中時(shí)， 精度極限曲面波動(dòng)很大， 在像素邊緣處取得最優(yōu)定位精度， 但在像素中心位置定位精度很差.而F 數(shù)較大時(shí)， 精度極限曲面波動(dòng)較小， 指標(biāo)相對(duì)于前者來(lái)說(shuō)比較折中.另外， 在估計(jì) x0時(shí)y 方向位置影響較小.

圖4 精度極限-像素相位曲面 (a) F 數(shù)為2; (b) F 數(shù)為8Fig.4.Relationship of the precision limit to the x and y pixel phase: (a) The F of the optical system is 2; (b) the F of the optical system is 8.

進(jìn)一步地， 由(1)式和(17)式可知， 對(duì)于此艾里斑模型， 光學(xué)系統(tǒng)F 數(shù)與波長(zhǎng) λ 對(duì)像斑能量集中度有同樣的影響規(guī)律， 如果能量集中度指像面上像斑的大小(以像素為單位)， 則像素尺寸越大， 能量集中度越高.因此定義F 數(shù)和 λ 乘積與像素尺寸h的比值為參數(shù)RF

RF反映了像斑的能量集中度情況， RF越小， 像斑能量集中度越高， 在像面上覆蓋的像素?cái)?shù)越少.即使F 數(shù)、 λ 、 h 發(fā)生改變， 只要RF不變， 則像斑集中程度不變， 精度極限(以像素為單位)不變.在艾里斑能量總值不變的條件下， 改變RF， y 像素相位為0.5 時(shí)， x 方向精度曲線和x 像素相位的關(guān)系如圖5 所示.可以看出， RF越小， 在像素邊緣位置定位精度越高， 但犧牲了像素中心位置的精度.而如果追求較好的總體精度指標(biāo)σall， 應(yīng)該將RF調(diào)到一個(gè)適當(dāng)小的數(shù)值， 在此例中RF為1 左右，σall較好.

圖5 y 像素相位為0.5 時(shí)的精度極限-x 像素相位曲線Fig.5.Relationship of the precision limit and the x pixel phase when the y pixel phase is 0.5.

對(duì)不同RF條件下的精度極限曲面的σall和Δstd及像斑中心位于不同像素相位的最優(yōu)精度和最劣精度進(jìn)行進(jìn)一步研究.同時(shí)RF與衍射極限Δh (單位: 像素)有關(guān)，

將對(duì)像斑中心的定位精度與衍射極限進(jìn)行比較， 結(jié)果如表2 所列.可以看出， RF越小， 雖然總體精度指標(biāo)較差， 但當(dāng)像斑中心位于像素邊緣， 可以取到更高定位精度， 在此例信噪比的情況下， 最高定位精度可以達(dá)到衍射極限的約100 倍.因此若追求最高定位精度， 在像素尺寸固定的情況下， 盡量減小F 數(shù)和波長(zhǎng)的乘積， 并使像斑中心位于像素邊緣.另外， 表2 的結(jié)果單位都為像素， 若保持F 數(shù)和波長(zhǎng)的乘積不變， 僅增大像素尺寸， 雖然RF變小， 但在像面上以微米為單位的定位精度并不會(huì)變好.可以通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)， 僅增大像素尺寸， 在像素邊緣處的定位精度(單位: μm)保持同等水平， 其他位置的定位精度(單位: μm)一般會(huì)變差.

總結(jié)來(lái)說(shuō)， 衍射極限雖然不直接影響定位精度極限， 但以限制能量集中度的形式， 制約著像斑中心定位的精度極限.適當(dāng)?shù)哪芰考卸?本例中RF為1 左右)會(huì)使得定位總體精度極限最高， 繼續(xù)提高能量集中度會(huì)犧牲全量程的總體精度， 而在像素邊緣處獲得更高的局部精度極限.如當(dāng)F 數(shù)為2， 像素尺寸為2 μm， 波長(zhǎng)為500 nm， 中心強(qiáng)度為400 光子數(shù)/μm2， 暗電流噪聲方差為25， 估計(jì) x0的總體精度極限為0.019 像素(38 nm)， 像素中心取得最差精度0.057 像素(114 nm)， 像素邊緣有最優(yōu)精度0.007 像素(14 nm).將F 數(shù)變?yōu)?， 則總體精度極限變?yōu)?.034 像素(68 nm)， 最差精度變?yōu)?.080 像素(160 nm)， 最優(yōu)精度變?yōu)?.003 像素(6 nm).

3.3 計(jì)算窗口和計(jì)算方式

由(3)式， 局部區(qū)域 A 的選擇也會(huì)對(duì)定位精度造成影響.取RF= 2， 此時(shí)中央亮斑半徑為2.44像素， 其他仿真條件與3.2 節(jié)中相同， 分析不同大小的計(jì)算窗口對(duì)精度極限的影響.在3.1 和3.2 節(jié)中計(jì)算窗口均能包含中央亮斑全部能量， 如圖4(b)窗口設(shè)為11 × 11 像素， 此時(shí)分別設(shè)置窗口大小為3 × 3 和5 × 5， 結(jié)果如圖6 所示.當(dāng)窗口太小涵蓋不到中央亮斑的全部能量時(shí)， 精度極限較差.而窗口為5 × 5 和圖4(b)中11 × 11 精度結(jié)果差別不大.

表2 不同能量集中度條件下精度極限結(jié)果Table 2.Results of the precision limit under different levels of spot energy concentration.

圖6 精度極限-像素相位曲面 (a) 計(jì)算窗口為3 × 3;(b) 計(jì)算窗口為5 × 5Fig.6.Relationship of the precision limit to the x and y pixel phase: (a) The size of the window used for localization is 3 × 3; (b) the size of the window is 5 × 5.

另外， 在對(duì)像斑進(jìn)行成像或定位過(guò)程中， 有時(shí)會(huì)用到相鄰像素合并(binning)的圖像讀出模式和多次測(cè)量定位的平均濾波方法.對(duì)于binning 模式，相當(dāng)于在F 數(shù)和波長(zhǎng)固定的情況下， 增大像素尺寸， 對(duì)精度的影響關(guān)系可見(jiàn)3.2 節(jié).對(duì)于 n 次測(cè)量定位的平均濾波方法， 由于其能將隨機(jī)噪聲降低到原來(lái)的故能將定位精度提高倍.對(duì)于3.2 節(jié)結(jié)論中的F 數(shù)為1 的示例， 若采取100 次重復(fù)測(cè)量濾波， 在像素邊緣處可獲得0.0003 像素(0.6 nm)的精度極限.

4 實(shí)驗(yàn)像斑的精度極限

在實(shí)驗(yàn)室中進(jìn)行了點(diǎn)目標(biāo)成像實(shí)驗(yàn).點(diǎn)目標(biāo)光源發(fā)出的光經(jīng)過(guò)平行光管進(jìn)入光學(xué)系統(tǒng)， 在探測(cè)器上成像.光學(xué)系統(tǒng)被固定在轉(zhuǎn)臺(tái)上， 通過(guò)轉(zhuǎn)臺(tái)小角度轉(zhuǎn)動(dòng)， 采集像斑在不同像素相位的灰度值， 以獲得 gij(x0，y0) ， 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖7 所示.其中光學(xué)敏感器為清華大學(xué)皮型星敏感器， 焦距為25 mm， F 數(shù)為2， 主要敏感波長(zhǎng)為400—800 nm， 探測(cè)器尺寸為5.3 μm.利用2.1 節(jié)中的任意強(qiáng)度分布像斑精度極限估計(jì)方法， 在y 像素相位固定的情況下， 對(duì)定位精度極限和x 像素相位的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算， 如圖8(a)所示， 右上角為采樣得到的灰度響應(yīng)， 此時(shí)能量較為集中， 故在像素邊緣有較好的精度極限.調(diào)節(jié)平型光管端光源的距離， 減少像斑能量集中度， 如圖8(b)所示， 可從右上角的灰度響應(yīng)看出像斑的能量變得發(fā)散了， 此時(shí)精度極限曲線變得平緩， 相對(duì)于圖8(a)有折中的表現(xiàn).經(jīng)過(guò)分析其能量分布不是標(biāo)準(zhǔn)的艾里斑， 但其精度表現(xiàn)仍符合前文對(duì)艾里斑分析的定性結(jié)論.即為得到最優(yōu)定位精度極限， 應(yīng)該盡可能提高能量集中度， 并將像斑位于像素邊緣， 或者在測(cè)量中更相信邊緣的測(cè)量結(jié)果.

圖7 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.7.Experiment platform.

圖8 實(shí)驗(yàn)室像斑的精度極限-x 像素相位曲線 (a) 能量較集中強(qiáng)度分布; (b) 能量較發(fā)散強(qiáng)度分布Fig.8.Relationship of the precision limit and the x pixel phase for laboratory obtained image spots: (a) The precision limit for a energy concentrated spot; (b) the precision limit for a spot with lower energy concentration.

5 結(jié) 論

本文基于CRLB 理論發(fā)展了針對(duì)任意強(qiáng)度分布像斑的光學(xué)測(cè)量精度極限計(jì)算方法， 并以典型光斑模型艾里斑為例， 分析了成像過(guò)程中反映信噪比、能量集中度、計(jì)算方式的參數(shù)對(duì)定位精度的影響規(guī)律， 并得出結(jié)論: 當(dāng)暗電流噪聲相對(duì)較大， 或者像斑能量較集中時(shí)， 可使像斑中心移動(dòng)到像素邊緣進(jìn)行測(cè)量(或更相信像素邊緣處的測(cè)量結(jié)果)， 以獲得更好的精度極限; 衍射極限以限制能量集中度的形式制約著像斑中心定位的精度極限， 適當(dāng)?shù)哪芰考卸葧?huì)使得總體定位精度極限最高， 繼續(xù)提高能量集中度則會(huì)犧牲全量程的總體精度， 提升像素邊緣處的測(cè)量精度， 其可以遠(yuǎn)超衍射極限; 可使用多次測(cè)量的方式減少隨機(jī)誤差， 使精度極限達(dá)到納米級(jí)甚至更高精度.通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所得結(jié)論對(duì)類(lèi)似艾里斑的像斑同樣有效.對(duì)于成像強(qiáng)度分布與艾里斑有較大差異的， 依然可使用本文所述方法進(jìn)行精度極限分析， 來(lái)為原子及近原子尺度制造中光學(xué)測(cè)量的應(yīng)用和優(yōu)化提供理論指導(dǎo).