范海龍 陳明文

(北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院， 北京 100083)

1 引 言

在合金的凝固過程中由于成分過冷(constitutional supercooling)的存在， 界面會出現(xiàn)不穩(wěn)定性[1，2].這種不穩(wěn)定性的進(jìn)一步演化導(dǎo)致在固相和液相之間出現(xiàn)一種新的形態(tài)， 即糊狀區(qū)[3].糊狀區(qū)可以理解為是由樹枝狀晶體、柱狀晶體和液體組成的一種反應(yīng)多孔區(qū)域(reactive porous regions)[4].研究糊狀層的穩(wěn)定性對于凝固問題有著重要的意義.在重力場中由于不同成分之間密度差的存在導(dǎo)致流動的產(chǎn)生， 這使得糊狀區(qū)同時(shí)受到溫度場、濃度場以及流動的耦合作用.已有一些研究者研究了這些耦合作用下糊狀區(qū)的穩(wěn)定性問題.例如Anderson 和Worster[5]分析了二元合金凝固過程中糊狀層的穩(wěn)定性， 給出了識別振蕩對流不穩(wěn)定性的方法.Guba 和Anderson[6]分析了三元合金定向凝固過程中糊狀層的穩(wěn)定性.該模型包括熱輸運(yùn)、溶質(zhì)擴(kuò)散和對流輸運(yùn)， 并確定了新的對流不穩(wěn)定性， 包括直接模式和振蕩模式.

磁場作為一種非接觸式控制工具為提高產(chǎn)品的質(zhì)量提供了一種便捷且可行的途徑.例如在金屬加工過程中經(jīng)常應(yīng)用電磁場來提高鋼坯的質(zhì)量[7-10]、改善鑄件的凝固組織[11，12]、減少產(chǎn)品的表面缺陷[13]等.磁場的存在改變了熱輸運(yùn)和溶質(zhì)輸運(yùn)， 對凝固過程有著重要的影響.因此研究磁場作用下糊狀區(qū)的動力學(xué)行為就顯得至關(guān)重要.例如，Riahi[14]研究了垂直磁場對糊狀層中對流的影響.發(fā)現(xiàn)外加磁場可以減弱煙囪(chimney)中的流動，從而減少產(chǎn)品的雀斑缺陷.Muddamallappa 等[15]利用數(shù)值方法研究了二元合金在磁場中的凝固問題.結(jié)果表明Chandrasekhar 數(shù)的增大對凝固有穩(wěn)定作用， 且臨界瑞利數(shù)隨著Chandrasekhar 數(shù)的增大而增大.Kao 等[16]通過數(shù)值方法模擬了橫向磁場對樹枝狀晶體尺寸和間距的影響.研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)由于洛倫茲力使得枝晶間的區(qū)域產(chǎn)生了流動， 從而改變了溶質(zhì)的輸運(yùn)過程并影響了枝晶的生長.Sarkar 等[17]研究了二元合金凝固過程中糊狀層的磁流體動力學(xué)， 結(jié)果表明外加磁場增強(qiáng)了糊狀層的穩(wěn)定性， 但在其模型中沒有考慮溶質(zhì)輸運(yùn).值得指出的是當(dāng)在相變過程中同時(shí)考慮熱擴(kuò)散、溶質(zhì)輸運(yùn)和浮力對流時(shí)， 問題將變得更加復(fù)雜和有趣[18-20].

本文利用線性穩(wěn)定方法研究了磁場對凝固過程中糊狀層穩(wěn)定性的影響， 且模型包含了溫度場、濃度場以及流動的耦合作用.通過本文的研究結(jié)果可以深入地理解外加磁場對糊狀層穩(wěn)定效應(yīng)的影響， 為冶金工業(yè)中如何精確的應(yīng)用磁場減少產(chǎn)品的缺陷提供了重要的理論參考.

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 控制方程

考慮二元合金在磁場中的凝固問題， 認(rèn)定糊狀層的上下邊界是等溫的、不變形的和不滲透的.這使得糊狀層與系統(tǒng)的其他部分動態(tài)隔離， 具體描述見圖1.假定系統(tǒng)以恒定速率 V*向上凝固， 在0 ＜z*＜H*的區(qū)域內(nèi)存在一個(gè)厚度為 H*的糊狀層.糊狀層頂部和底部的溫度及濃度分別為同時(shí)假設(shè)它們?yōu)槌?shù).為了便于分析， 假設(shè)固相和液相的比熱和熱導(dǎo)率相同.

圖1 以恒定速度 V * 凝固的糊狀層示意圖Fig.1.Schematic representation of mushy layer system，which advancing upwards with a constant solidification speed V *.

假定糊狀層受到強(qiáng)度為B 的外部磁場的作用，其中施加的磁場B 沿 z*軸垂直向上.此外， 認(rèn)定在糊狀層具有恒定的導(dǎo)電率 σe， 且黏性耗散和焦(耳)熱效應(yīng)對傳熱的影響可以忽略不計(jì).認(rèn)定糊狀層受到磁場誘導(dǎo)洛倫茲力的影響[21]， 洛倫茲力表達(dá)式如下:

式中， J 表示局部離子電流密度， 其可以用歐姆定律 寫 為 J =ρeu*+σe(E+u*×B)[21]， 其 中 u*表示流體速度， E 表示電場， ρe表示電荷密度.類似于文獻(xiàn)[17]中的討論， 本文忽略電場E 和流動對電荷的影響 ρeu*≈0.因此， 洛倫茲力方程可以重寫為 F =σe(u*×B)×B.

系統(tǒng)糊狀層的控制方程滿足熱平衡方程、溶質(zhì)平衡方程、二元相圖約束、達(dá)西方程和質(zhì)量平衡方程:

式中， T*表示液相溫度; C*表示液相濃度; φ 為糊狀區(qū)固體體積分?jǐn)?shù); p*表示降低的壓力(即動態(tài)壓力和靜水部分的和，u*為達(dá)西 速 度; c*是 比 熱; k*是 熱 導(dǎo) 率;是 潛 熱; D*表示溶質(zhì)擴(kuò)散系數(shù); k1表示偏析系數(shù); m*是液相線斜率; Π*(φ) 表示糊狀層的滲透率; μ*是流體的動態(tài)黏度; g 是重力加速度;表示向上的單位矢量;其 物理含義是糊狀層中的對流運(yùn)動是由密度差驅(qū)動的，同時(shí)假定密度與溫度、濃度呈線性關(guān)系[6]， 其中表示糊狀層頂部的密度， α*和為常數(shù).

系統(tǒng)滿足如下的邊界條件:

當(dāng)z*=H*時(shí)，

當(dāng)z*=0 時(shí)，

2.2 無量綱化

采用類似于文獻(xiàn)[6]的無量綱化方案， 選擇凝固速率 V*作為速度尺度， 長度尺度為 κ*/V*， 時(shí)間 尺 度 為， 壓 力 尺 度 為密 度 尺度為溫度和濃度為這 里 κ*=k*/c*表 示 熱 擴(kuò) 散 系 數(shù)， Π*(φ0) 為滲透率尺度.

無量綱后的控制方程為

其中

邊界條件如下:

當(dāng) z =δ 時(shí)，

當(dāng) z=0 時(shí)，

其中

2.3 重標(biāo)度

通過限制糊狀層的厚度是薄的 δ ?1 ， 使得模型是漸近減小的.其物理含義是糊狀層的厚度遠(yuǎn)小于熱擴(kuò)散長度， 或者等效地認(rèn)為凝固速率遠(yuǎn)小于熱傳導(dǎo)穿過糊狀層的傳熱速率.下面重新標(biāo)度系統(tǒng)，令則系統(tǒng)的控制方程變?yōu)?/p>

邊界條件為

3 穩(wěn)定性分析

為了研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性， 可做如下分解:

3.1 穩(wěn)態(tài)解

類似于文獻(xiàn)[6]容易求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為

其中

3.2 線性擾動方程

為便于分析， 對(19)式應(yīng)用兩次旋度可以消去壓力p 且化簡為

擾動系統(tǒng)的控制方程為

邊界條件為

下面求擾動系統(tǒng)(25)—(28)具有如下形式的漸近解:

O(δ0)階的控制方程為

邊界條件為

類似于文獻(xiàn)[6]可解的

其 中， J =n2π2+k2.需 要 指 出 的 是 σ1出 現(xiàn) 在(39)式 φ0的解中， 而 σ1卻是未知的.這就需要通過下面 O (δ1) 階 的可解性條件來確定.O (δ1) 階的控制方程為

其中

通過(41)式和(42)式的可解性條件得

其中

色散方程(43)表征了糊狀層凝固系統(tǒng)中的各種物理效應(yīng)， 將在第4 節(jié)進(jìn)行討論.

4 討 論

在穩(wěn)定性分析中， 為了清楚地分析驅(qū)動不穩(wěn)定性的物理機(jī)制， 將結(jié)果簡化為下面的兩種情況:和本 文 重 點(diǎn)討論的情況， 即認(rèn)為系統(tǒng)只有溶質(zhì)C 對浮力有貢獻(xiàn).對于(即浮力是由溫度T 驅(qū)動的情況)， 可以利用同樣的方法進(jìn)行討論.

在只有溶質(zhì)C 對浮力有貢獻(xiàn)情況下， 下面主要給出中性穩(wěn)定性的結(jié)果.

4.1 直接模式(direct modes)

由(45)式和(46)式可看出， 可將直接模式的中性穩(wěn)定性曲線分為下面4 種情況:

4.2 振蕩模式(oscillatory modes)

圖2 直接模式的中性穩(wěn)定性曲線和不穩(wěn)定區(qū)域(陰影部分)示意圖 (a)情況1; (b)情況2; (c)情況3; (d)情況4Fig.2.Schematic representation of the neutral-stability curves and the regions of instability (shaded) for direct modes: (a) Situation 1; (b) situation 2; (c) situation 3; (d) situation 4.

圖3 振蕩模式的中性穩(wěn)定性曲線示意圖(振蕩模式的不穩(wěn)定性區(qū)域?yàn)閳D中實(shí)線(黑色)和點(diǎn)劃線(紅色)之間的部分) (a)情況1;(b)情況2; (c)情況3; (d)情況4Fig.3.Schematic representation of the neutral-stability curves for the oscillatory modes: (a) Situation 1; (b) situation 2; (c) situation 3; (d) situation 4.The instability region of oscillation mode is the part between solid line (black) and dashed line (red).

5 結(jié) 論

本文將Guba 和Anderson[6]給出的糊狀層凝固模型推廣到了包含外加磁場作用的情況.分析了磁場對糊狀層穩(wěn)定性的影響， 其中包括直接模式和振蕩模式.通過分析振蕩模式下的中性穩(wěn)定性發(fā)現(xiàn)磁洛倫茲力總是起穩(wěn)定作用， 這一發(fā)現(xiàn)與文獻(xiàn)[17]的結(jié)論是一致的.但在對直接模式下中性穩(wěn)定性的分析中發(fā)現(xiàn)外加磁場并非總是起穩(wěn)定作用.實(shí)際上我們可以理解為糊狀層的穩(wěn)定性是熱擴(kuò)散、溶質(zhì)擴(kuò)散、流動和洛倫茲力耦合作用的結(jié)果.總之， 本文的結(jié)論為冶金工業(yè)中利用磁場來提高產(chǎn)品的質(zhì)量提供了重要的理論參考.