王朝祥 宋婕

(北京市第八十中學(xué) 北京 100102)

滾輪線，是輪子滾出來的曲線，是數(shù)學(xué)里眾多擺線中的一種.半徑為R的輪子在水平面上沿一直線純滾動(dòng)，輪子邊緣上任一點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡便是一條滾輪線[1].

1 滾輪線的數(shù)學(xué)特征

建立坐標(biāo)軸如圖1所示，t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)P在坐標(biāo)原點(diǎn)，以輪子的轉(zhuǎn)角θ為參數(shù)，擺線方程為

不難發(fā)現(xiàn)，滾輪線的跨度為2πR，質(zhì)點(diǎn)P的最大高度為2R.

圖1 勻速純滾動(dòng)

ρ=4R

2 復(fù)合場(chǎng)中的滾輪線

在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一質(zhì)量為m,帶正電q的小球在O點(diǎn)由靜止釋放，小球在重力和洛倫茲力作用下運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)也是一條滾輪線(下滾輪線)，如圖2所示.

圖2 復(fù)合場(chǎng)中的滾輪線

為了解釋滾輪線的成因，我們做如下分析：

帶電小球因重力而下落，有了速度便會(huì)受洛倫茲力作用，形成曲線運(yùn)動(dòng).如圖3所示，將小球在運(yùn)動(dòng)過程中任意時(shí)刻的速度v進(jìn)行分解.

圖3 復(fù)合場(chǎng)中帶電小球速度分析

綜上可見，帶電小球的運(yùn)動(dòng)可以分解為水平向右的勻速直線運(yùn)動(dòng)和半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡為滾輪線也就不難理解.

若以一恒力F(勻強(qiáng)電場(chǎng)中的電場(chǎng)力Eq，或者電場(chǎng)力Eq與重力mg的合力)代替重力場(chǎng)，帶電小球的軌跡也是滾輪線[2].

下面通過兩個(gè)典型問題體驗(yàn)一下與滾輪線相關(guān)的定量運(yùn)算.

【例1】水平放置的兩個(gè)平行金屬板MN和PQ間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)(場(chǎng)強(qiáng)大小為E)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)(磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里.質(zhì)量為m,電荷量為q的帶電微粒(重力可忽略)只在電場(chǎng)力和洛倫茲力作用下，從I點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4所示.已知微粒到達(dá)K點(diǎn)時(shí)速度為零，J是曲線上離MN板最遠(yuǎn)的點(diǎn)之一，曲線在J點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到I點(diǎn)豎直方向距離的2倍.以I點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，求：

圖4 例1題圖

(1)微粒運(yùn)動(dòng)到任意位置S(x，y) 處的速率v；

(2)J點(diǎn)的縱坐標(biāo)ym.

分析與解答:

(1)微粒從I點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到S點(diǎn)，洛倫茲力不做功，根據(jù)動(dòng)能定理

(2)微粒運(yùn)動(dòng)到J點(diǎn)，洛倫茲力與電場(chǎng)力的合力提供向心力，即

點(diǎn)撥與發(fā)散:

本題難度是高考難度的問題，題目涉及滾輪線，但未明示滾輪線的叫法，也給出了“曲線在J點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到I點(diǎn)豎直方向距離的2倍”這一重要關(guān)系，避免增加題目難度.

根據(jù)前文所述，本題中帶電微粒在電場(chǎng)力和洛倫茲力作用下運(yùn)動(dòng)，軌跡為滾輪線.

圖5 例2題圖

分析與解答:

質(zhì)點(diǎn)沿y軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的初速度

帶電質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)分解為水平向右的勻速直線運(yùn)動(dòng)(速度大小為v1)和一個(gè)逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)(速度大小為v2).

研究圓心水平向右的速度v1

如圖6所示，將v0看作v1與v2的合速度，則

圖6 速度v0分解

勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期

角速度

如圖7所示，以勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立勻速向右運(yùn)動(dòng)(速度大小為v1)的直角坐標(biāo)系x′Cy′.

結(jié)合圖6和圖7可知，在xOy系中任意時(shí)刻t圓心C的坐標(biāo)為

xC=Rsinθ+v1tyC=Rcosθ

圖7 以C為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系

在x′Cy′系中研究帶電質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng).t=0時(shí)帶電質(zhì)點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，所在半徑與y′軸負(fù)方向的夾角為θ.t時(shí)刻帶電質(zhì)點(diǎn)所在半徑與y′軸負(fù)方向的夾角為ωt+θ，坐標(biāo)為

x′=-Rsin (ωt+θ)y′=-Rcos (ωt+θ)

在xOy坐標(biāo)系中，帶電質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)

x=xC+x′y=yC+y′

代入數(shù)據(jù),整理得

點(diǎn)撥與發(fā)散:

本題節(jié)選自第17屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽題第五題，帶電質(zhì)點(diǎn)在重力場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，軌跡為滾輪線.要求學(xué)生能將質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分解為圓心C的勻速直線運(yùn)動(dòng)和繞C點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，然后結(jié)合輔助圓進(jìn)一步定量運(yùn)算.滾輪線問題在近些年的自主招生(強(qiáng)基計(jì)劃)測(cè)試中出現(xiàn)頻率較高.

3 結(jié)束語

處理滾輪線問題的關(guān)鍵是構(gòu)造勻速直線運(yùn)動(dòng)以平衡電場(chǎng)力(重力)，從而將帶電質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分解為勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)化了問題的處理過程.這種處理問題的方法可以稱為配速法，滲透了補(bǔ)償思想和化歸思想，教師可以引導(dǎo)學(xué)有余力的學(xué)生仔細(xì)體會(huì).