陳鴻翔

(湖州市菱湖中學 浙江 湖州 313018)

1 問題呈現(xiàn)與命題分析

第35屆全國中學生物理復賽理論題第2題呈現(xiàn)如下.

【原題】如圖1所示，勁度系數(shù)為κ的輕彈簧左端固定，右端連一質量為m的小球；彈簧水平，它處于自然狀態(tài)時，小球位于坐標原點O；小球可在水平地面上滑動，它與地面之間的動摩擦因數(shù)為μ.小球初始速度為零，將此時小球相對于原長的伸長量記為-A0(A0>0,但A0并不是已知量).重力加速度大小為g，假設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力.

(1)如果小球至多只能向右運動，求小球最終靜止的位置和此種情形下A0應滿足的條件；

(2)如果小球完成第一次向右運動至原點右邊后，至多只能向左運動，求小球最終靜止的位置和此種情形下A0應滿足的條件；

(3)如果小球只能完成n次往返運動(向右經過原點，然后向左經過原點，算1次往返)，求小球最終靜止的位置和此種情形下A0應滿足的條件；

(4)如果小球只能完成n次往返運動，求小球從開始運動直至最終靜止的過程中運動的總路程.

圖1 原題題圖

因此，要系統(tǒng)地解決該問題，必須要從振動的動力學本質出發(fā)，以運動和相互作用的物理觀念為指導，運用矢量分析法，結合數(shù)學工具——振動的微分方程得出小球沿水平面做機械振動的運動學關系式，進而通過類比歸納的方式解決小球最終靜止位置x與彈簧初始形變量A0的關系.故可構建解決問題的核心素養(yǎng)導向與要求的脈絡圖如圖2所示.

圖2 問題解決的核心素養(yǎng)脈絡圖

2 基于問題物理本質下的解法探討與呈現(xiàn)

2.1 對小球靜止位置x與A0所滿足條件的求解

根據(jù)運動與相互作用觀念指導下的解析要求，需對小球向右與向左運動過程進行受力分析與運動分析，其受力分析如圖3所示.

(a)小球向右運動

(b)小球向左運動

根據(jù)受力分析與運動分析，取向右為小球運動的正方向，并結合牛頓第二定律可得小球向右運動時的動力學微分方程為

整理以后有

其中

因此可得小球運動學方程為

(1)

列出小球向左運動時的動力學微分方程

同理可得小球向左運動時的運動學方程為

(2)

對式(1)和式(2)關于時間t求導可得小球運動速度v隨時間變化的關系式分別為

v=ωAcos (ωt+φ)v=ωBcos (ωt+φ)

(3)

可得

v=ωAcos (2nπ+φ)=ωAcosφ=0

由于小球仍能向右運動，故κAn>μmg,因此系數(shù)A<0,故cosφ=0，sinφ=1，因此小球開始第n+1次往返并向右運動時運動學方程滿足

(4)

因此可得到小球此時向左返回時的運動學方程為

(5)

因此,通過類比歸納得出小球經n次往返運動到最左端時相對于O點的位移大小為

(6)

其中A0為小球運動初始時刻相對于O點的位移大小，即彈簧初始時刻的形變量大小，因此An也可理解為彈簧經小球n次往返后的形變量大小.

因此,小球開始第n+1次往返至右端的最大位移Bn的大小滿足

(7)

根據(jù)以上分析可得到小球做機械振動的位移-時間圖像如圖4所示.

圖4 小球做機械振動的位移-時間圖像

根據(jù)圖4并結合式(6)和式(7)可得到小球經n次往返運動后所靜止的位置x及A0所滿足的條件為

(1)若小球第n次往返中向左通過O點并不再向右返回，則

-An<0κAn≤μmg

故有

此時小球靜止于

(2)若小球開始第n+1次往返并向右運動但未通過O點，則κAn>μmg，Bn≤0，故有

(3)若小球開始第n+1次往返向右通過O點，但不再向左運動，則Bn>0，κBn≤μmg，故有

此時小球靜止于

(4)若小球在第n+1次往返中向左運動但未通過O點，則-An+1≥0，κBn>μmg，故有

此時小球靜止于

點評：解決動力學問題，最能突出問題物理本質的求解方法是給出物體運動的動力學方程與運動學方程，并結合物體隨時間變化的運動圖像，從而能夠在任意時刻描述物體的受力情況與運動情況.盡管在高中階段的機械振動問題中引入運動的微分方程要求較高，但對于中學物理競賽而言，適當?shù)臄?shù)學方法的應用與拓展有助于加深學生對物理模型建構與定量解析的認識，并加強學生的科學思維.

2.2 運用數(shù)列求和計算小球運動全過程的路程

從深化學生物理觀念與深度培養(yǎng)學生科學思維的角度來說，最好的方法就是拓展問題已有的解法，從而在豐富問題本身物理涵義的基礎上對答題的思路與角度加以延伸，使學生在觀念上予以認同，思維上獲得感知.

由于小球在運動過程中所受的摩擦阻力大小恒定不變且已知，因此,在求解路程的常規(guī)方法上選擇能量守恒定律，即彈簧彈性勢能的減少量等于小球克服摩擦力阻力的功，即

但由于小球往返運動中相對于O點向左與向右的位移滿足隨往返次數(shù)n呈現(xiàn)等差數(shù)列的變化規(guī)律，不妨利用等差數(shù)列求和公式來計算小球運動過程中的總路程s.

已知小球第n次運動到最右端時與O點的距離為

第n次返回最左端時與O點的距離為

根據(jù)上文中圖4所示，并結合小球機械振動的往復性特點可知運動過程的總路程s滿足

s=A0+(A1+…+An-1)×2+An+

(B0+B1+…+Bn-1)×2=

s=A0+(A1+…+An-1+An)×2+

(B0+B1+…+Bn-1)×2+Bn=

s=A0+(A1+…+An-1+An)×2+

An+1+(B0+B1+…+Bn-1+Bn)×2=

點評：對于有阻力作用下的機械振動其振幅逐漸減小，求解小球運動的總路程不僅需要考慮等差數(shù)列求和公式的應用，同時還需要考慮振動往復性與運動反向前后行進路程大小的對稱性，故不能簡單地對數(shù)列{An}與{Bn}求和.因此,該方法對機械振動的運動本質探討更深入，雖然在模型的構建上與解析上有更高的要求，但對于學生思維與推理能力的鍛煉能起到更好的作用與效果.