張旸

(新疆醫(yī)科大學(xué)醫(yī)學(xué)工程技術(shù)學(xué)院 新疆 烏魯木齊 830000 )

在系統(tǒng)的量子力學(xué)建立之前，玻爾通過(guò)新的假設(shè)并借助經(jīng)典物理學(xué)的結(jié)論得出了氫原子能級(jí)的精確公式[1].其中，對(duì)應(yīng)原理發(fā)揮了很重要的作用，它的基本內(nèi)容是：在大量子數(shù)極限下，量子體系的行為將漸進(jìn)地趨于經(jīng)典力學(xué)體系[2].

現(xiàn)在我們已經(jīng)知道，量子力學(xué)和經(jīng)典力學(xué)分別統(tǒng)治著微觀世界和宏觀世界，二者的理論形式有巨大差別，微觀與宏觀兩個(gè)世界似乎被割裂了.但世界只有一個(gè)，必須有一個(gè)橋梁將二者連起來(lái).對(duì)應(yīng)原理就是這樣一個(gè)橋梁.而且，如果把它的含義拓展開(kāi)，就產(chǎn)生了理論形態(tài)可隨物理?xiàng)l件的變化而變化的重要思想.下面舉幾例進(jìn)行說(shuō)明.

1 單體的量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的過(guò)渡

1.1 經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)的分界

宏觀與微觀是相對(duì)的概念，因此很難直接通過(guò)尺度確定量子效應(yīng)是否顯著.普朗克將今天我們所說(shuō)的普朗克常數(shù)稱為作用量子，其實(shí)就給出了一個(gè)判據(jù).玻爾在一部文集的緒論中也說(shuō)道：“這些理想化在把我們的普通感官印象條理化時(shí)的適用性，依賴于實(shí)際上可以認(rèn)為是無(wú)限的光速，并依賴于作用量子的微小性”[3].經(jīng)典力學(xué)中哪個(gè)量對(duì)應(yīng)于作用量子(普朗克常數(shù))呢？可以想到同名的作用量

(1)

它是動(dòng)量點(diǎn)乘位移的一個(gè)路徑積分.量綱恰好與普朗克常數(shù)一致.若力學(xué)體系作用量遠(yuǎn)大于普朗克常數(shù)，則適用于經(jīng)典力學(xué)；若作用量與普朗克常數(shù)接近或小于它，則成為量子體系.

對(duì)示波器中運(yùn)動(dòng)的電子與原子中的電子的作用量做一比較.

1.1.1 示波器中的電子

按加速電壓為千伏數(shù)量級(jí)，根據(jù)電子的質(zhì)量(me=9.1×10-31kg)和電荷量(e=1.6×10-19C)，可求出動(dòng)量.而運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度量級(jí)為L(zhǎng)～1 m.再按公式S～p·L可得作用量的數(shù)量級(jí)為10-23J·s≈1011?.此時(shí)可忽略量子效應(yīng).實(shí)際上示波器中電子的運(yùn)動(dòng)就是按照經(jīng)典力學(xué)進(jìn)行計(jì)算的.

1.1.2 原子中的電子

以氫原子為例，由于角動(dòng)量滿足

mvr=pr=n?

(2)

所以當(dāng)n不大時(shí)，作用量顯然與普朗克常數(shù)量級(jí)一致.此時(shí)，量子效應(yīng)不可忽略.

同樣是電子，由于作用量的數(shù)量級(jí)不同，支配其運(yùn)動(dòng)規(guī)律的物理理論迥然不同.可見(jiàn)作用量判據(jù)的重要性.

1.2 不確定關(guān)系(測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系)

海森堡不確定關(guān)系(測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系)直觀地給出了經(jīng)典力學(xué)的限度，又是用普朗克常數(shù)表示的，即

(3)

那么當(dāng)體系作用量遠(yuǎn)大于普朗克常數(shù)，則可以認(rèn)為?→0，這時(shí)不確定關(guān)系消失，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量和坐標(biāo)可以同時(shí)確定.量子效應(yīng)消失，成為經(jīng)典體系.

2 多體系統(tǒng)的量子力學(xué)到經(jīng)典力學(xué)的過(guò)渡

多體系統(tǒng)的量子效應(yīng)除了其內(nèi)部每個(gè)粒子運(yùn)動(dòng)的量子特征之外，還有一個(gè)令人驚異的特征：全同粒子的不可分辨性.使得經(jīng)典體系適用于玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)，而量子體系適用于玻色統(tǒng)計(jì)或費(fèi)米統(tǒng)計(jì).那么量子體系在什么情形下過(guò)渡為經(jīng)典體系呢？這里又有對(duì)應(yīng)原理思想的體現(xiàn).

設(shè)能量εl包含的粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)數(shù)為ωl(簡(jiǎn)并度)，粒子數(shù)為al.則3種分布分別為[4]

(4)

其中α和β與系統(tǒng)的化學(xué)勢(shì)及溫度有關(guān).由上式可以看出，當(dāng)eα?1時(shí)，玻色分布與費(fèi)米分布都過(guò)渡為玻爾茲曼分布，也就是量子體系過(guò)渡為經(jīng)典體系，稱為經(jīng)典極限條件.進(jìn)一步，可將它的具體物理要求表示出來(lái).考慮理想氣體，經(jīng)典極限條件化為[4]

(5)

變形，可得

(6)

(7)

不等式左邊依然是體系內(nèi)單個(gè)分子熱運(yùn)動(dòng)的作用量，右邊是普朗克作用量子.可見(jiàn)，多體系統(tǒng)的量子力學(xué)規(guī)律向經(jīng)典力學(xué)規(guī)律過(guò)渡的關(guān)鍵依然是普朗克常數(shù).只是，這時(shí)影響作用量的是溫度和粒子的平均間距.

3 總結(jié)

由上文的分析可以看到，量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)并不是毫不相干的兩個(gè)理論體系，在一定條件下可以發(fā)生過(guò)渡.玻爾對(duì)應(yīng)原理的核心內(nèi)容正是相信這樣一種過(guò)渡是對(duì)量子力學(xué)理論的正當(dāng)要求.就是說(shuō)，經(jīng)典力學(xué)可以看做量子力學(xué)理論在體系作用量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于普朗克常數(shù)時(shí)的極限情形.對(duì)應(yīng)原理的思想還可進(jìn)一步推廣，相對(duì)論到經(jīng)典力學(xué)的過(guò)渡、波動(dòng)光學(xué)到幾何光學(xué)的過(guò)渡……一般地，任何更深刻的物理理論都應(yīng)當(dāng)在一定條件下過(guò)渡為較為淺近然而在一定范圍內(nèi)高度精確的舊理論.這種思想在探尋新理論的過(guò)程中可以提供重要的理論指導(dǎo).