王 浩，白國振，劉世交

（上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093）

0 引言

無刷直流電機(jī)是現(xiàn)代控制理論和現(xiàn)代電子技術(shù)融合的產(chǎn)物。作為由半導(dǎo)體技術(shù)衍生而出的機(jī)電一體化產(chǎn)品，無刷直流電機(jī)具有調(diào)速性能好、功率密度高、可靠性好且易于控制等優(yōu)點(diǎn)［1-2］，因此在家用電器、汽車等諸多行業(yè)有廣泛的應(yīng)用。在多數(shù)應(yīng)用場合中，傳統(tǒng)控制方法能夠滿足系統(tǒng)性能要求，但是考慮到BLDCM 具有時變、多變量耦合等復(fù)雜特性，當(dāng)系統(tǒng)受到外部干擾或系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時，傳統(tǒng)控制方法難以對BLDCM 實(shí)現(xiàn)精確控制、滿足高性能要求。

滑?？刂疲⊿liding model control，SMC）對系統(tǒng)參數(shù)變化及外部干擾具有良好的魯棒性和完全的自適應(yīng)性，因此針對無刷直流電機(jī)的滑?？刂撇呗匝芯枯^為豐富［3-7］。但是在實(shí)際應(yīng)用中，由于控制作用來回切換、系統(tǒng)慣性和延遲及測量誤差等影響因素，使結(jié)構(gòu)控制在滑動模態(tài)下出現(xiàn)高頻抖振，嚴(yán)重影響系統(tǒng)控制性能［8］。為了削弱系統(tǒng)抖振，研究者們提出滑?？刂扑惴?，如準(zhǔn)滑動模態(tài)法［9］、干擾觀測器法、濾波法、高階滑?？刂品椒ㄅc分?jǐn)?shù)階滑?？刂品椒ǖ龋?0］。上述控制方法在改善系統(tǒng)品質(zhì)的同時依舊存在不足，如準(zhǔn)滑動模態(tài)和干擾觀測器使系統(tǒng)存在靜態(tài)誤差，高階滑模控制算法實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜。

RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種先進(jìn)的智能控制算法，具有較強(qiáng)的自學(xué)習(xí)、自適應(yīng)、自組織功能，在處理控制系統(tǒng)非線性、不確定問題上有很好的應(yīng)用前景［11-12］。RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有良好的逼近能力、簡單的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和較快的學(xué)習(xí)能力［13-14］。文獻(xiàn)［15］將RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于無刷直流電機(jī)無位置傳感器控制；文獻(xiàn)［16］構(gòu)造了一個RBF 網(wǎng)絡(luò)對無刷直流電機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行在線參數(shù)辨識、建立在線參考模型，由單神經(jīng)元控制器完成控制器參數(shù)的自學(xué)習(xí)。

因此，本文將RBF 網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)算法與滑模變結(jié)構(gòu)結(jié)合，設(shè)計RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)滑模位置控制算法，并優(yōu)化控制系統(tǒng)中的趨近律和學(xué)習(xí)率，利用李雅普諾夫理論分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，最后通過系統(tǒng)仿真驗(yàn)證該算法對內(nèi)外擾動均具有較強(qiáng)的抗干擾能力，且響應(yīng)速度、位置精度和系統(tǒng)穩(wěn)定性均有明顯提升。

1 無刷直流電機(jī)數(shù)學(xué)模型構(gòu)建

BLCDM 作為非線性機(jī)電元件，對其內(nèi)部參數(shù)建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型難度較大。在建立數(shù)學(xué)模型前，需對電機(jī)模型作理想假設(shè)：BLDCM 為理想型，電機(jī)氣隙磁感應(yīng)強(qiáng)度呈方波分布，且忽略電機(jī)磁滯和渦流損耗、定子齒槽影響，以及電樞反應(yīng)造成氣隙磁場的影響，BLDCM 數(shù)學(xué)模型［17］構(gòu)建包括：

（1）電壓方程。其三相繞組電壓平衡方程如式（1）所示。

其中，P為微分算子，即；Ua、Ub、Uc分別為三相定子電壓；Ra、Rb、Rc分別為三相電機(jī)繞組電阻；ia、ib、ic分別為三相電機(jī)定子繞組電流；La、Lb、Lc分別為三相電機(jī)繞組自感；Lab、Lac、Lba、Lbc、Lca、Lcb分別為電機(jī)兩相繞組間互感；ea、eb、ec分別為三相電機(jī)反電動勢。

式（1）中，由于電機(jī)轉(zhuǎn)子為永磁體，磁場強(qiáng)度恒定，且三相繞組相互對稱，則認(rèn)為電機(jī)兩相繞組間互感為定常，BLDCM 三相繞組之間采用Y 型連接，根據(jù)基爾霍夫電流定律可知：

由式（1）、式（2）可得電壓平衡方程為：

式（3）中L為定子繞組自感，M為定子繞組間互感。

（2）轉(zhuǎn)矩方程。忽略電機(jī)功率損耗，所有電能均轉(zhuǎn)化為動能，則電機(jī)電磁功率可表示為：

其中，Pe表示為電磁功率。

若忽略電機(jī)機(jī)械損耗以及電磁損耗，電機(jī)電磁功率可完全轉(zhuǎn)化為電機(jī)轉(zhuǎn)子動能［18］，則功率可表示為：

其中，ω表示轉(zhuǎn)子角速度，Te表示為電機(jī)轉(zhuǎn)矩。

根據(jù)式（4）、式（5）可推導(dǎo)出BLDCM 定子繞組的電磁轉(zhuǎn)矩方程為：

BLDCM 通過Y 型連接，在任意時刻僅有兩相導(dǎo)通，另一相閉合，導(dǎo)通兩相繞組的電流與反電動勢幅值相同，方向相反。式（6）可改寫為：

其中，KT為轉(zhuǎn)矩系數(shù)，i為電機(jī)繞組電流幅值。

BLDCM 反電動勢幅值與電機(jī)轉(zhuǎn)子角速度成正比例關(guān)系，電機(jī)繞組動態(tài)方程可表示為：

BLDCM 運(yùn)動方程可表示為：

其中，TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩，J為電機(jī)轉(zhuǎn)動慣量，B為粘滯阻尼系數(shù)。

（3）傳遞函數(shù)。根據(jù)上述BLDCM 數(shù)學(xué)模型公式，可推導(dǎo)出傳遞函數(shù)方程。具體方程如式（10）所示。

其中，Kw為系統(tǒng)增益，Ud為兩相間平均電壓，其中Kw、T1、T2可表示為：

2 控制器原理與設(shè)計

2.1 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

徑向基函數(shù)（Radical Basis Function，RBF）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種具有單層神經(jīng)元結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，由Moody&Darken 提出，使用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)處理較隱性的規(guī)律時效率較高［19］。其結(jié)構(gòu)可分為3 部分：①輸入層，用于感知輸入信號單元、實(shí)現(xiàn)輸入信號到隱含層節(jié)點(diǎn)非線性映射；②隱含層，用于處理輸入層信號；③輸出層，用于處理隱含層信號，實(shí)現(xiàn)信號線性映射。其結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

Fig.1 RBF network structure圖1 RBF 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

2.2 RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)算法

其中，Xi為RBF 網(wǎng)絡(luò)輸入，σi表示為隱含層神經(jīng)元寬度，輸出層與隱含層之間為線性關(guān)系，通過加權(quán)參數(shù)調(diào)整，具體關(guān)系可表示為：

為了檢測RBF 網(wǎng)絡(luò)性能優(yōu)劣，設(shè)目標(biāo)函數(shù)為：

通過梯度尋優(yōu)算法調(diào)節(jié)參數(shù)，式（13）和式（15）中節(jié)點(diǎn)基寬參數(shù)調(diào)整量Δδj和節(jié)點(diǎn)中心調(diào)整量Δcj的迭代算法如式（16）所示。

其中，η對應(yīng)學(xué)習(xí)速率，α對應(yīng)動量因子，二者取值范圍為（0，1）。

2.3 RBF 網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)滑?？刂破髟O(shè)計

滑模控制抖振是困擾學(xué)者已久的難題，造成抖振的主要因素之一是滑模控制器中控制策略的選擇問題，在滑模控制策略的趨近律選擇中，所用符號函數(shù)（sign）在趨向滑模面的過程中，使符號函數(shù)值在1 和-1 之間切換，控制器在趨近滑模附近出現(xiàn)抖振。

RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)滑?？刂剖菍⑸窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)和滑模控制相結(jié)合、優(yōu)勢互補(bǔ)的方法。本文將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)替換滑模控制切換控制部分，由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有自適應(yīng)學(xué)習(xí)的能力，能夠?qū)ω?fù)載和外界干擾進(jìn)行自動補(bǔ)償，所以RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)滑?？刂颇軌蜴i定外界變化而自動調(diào)整，減小滑?？刂浦械亩墩?。

為提高無刷直流電機(jī)位置控制精度，考慮內(nèi)部參數(shù)變化和外部負(fù)載變化情況，轉(zhuǎn)矩平衡方程可表示為：

其中a=B/J，b=KT/J，c=TL/J，Δa、Δb和Δz為系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)擾動與外部負(fù)載擾動造成的干擾變化量。

為使位置控制器相應(yīng)角度θ較快跟蹤設(shè)定角度θd，控制器位置跟蹤誤差可表示為e(t)=x1=θd-θ，根據(jù)式（17）可知：

根據(jù)式（18）可知，當(dāng)e→0 時，可得→0，因此位置控制器滿足設(shè)計要求。設(shè)滑模面切換函數(shù)為：

RBF 網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)滑?？刂破飨到y(tǒng)結(jié)構(gòu)可分為3 部分：滑模變結(jié)構(gòu)控制器、RBF 網(wǎng)絡(luò)和自適應(yīng)律，控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，如圖2 所示。

Fig.2 The structure of control system圖2 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

RBF 網(wǎng)絡(luò)輸入為x=[x1,x2]T，通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)之后，不斷改變權(quán)值大小，使輸出函數(shù)逼近理想情況下的非線性函數(shù)f(x)。RBF 網(wǎng)絡(luò)輸出(x)分別為：

hf(x)為RBF 網(wǎng)絡(luò)高斯函數(shù)，為加權(quán)向量。

為了進(jìn)一步改善RBF 網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)滑模的抖振問題，對趨近律進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后趨近律為：

式（22）中趨近律可以分為冪次部分和指數(shù)部分，控制系統(tǒng)運(yùn)動點(diǎn)與滑模面之間的距離較大時，s 值較大，此時指數(shù)部分和冪次部分同時起作用，因此趨近速度較快；當(dāng)運(yùn)動點(diǎn)靠近滑模面s→0 時，冪次部分趨近于零，僅指數(shù)部分起作用，此時符號函數(shù)sgns造成抖動的影響也隨著冪次部分減小而消減。因此本文設(shè)計趨近律在保證收斂速度的同時，也使控制系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)更加平穩(wěn)。

根據(jù)式（18）、（21）和（22）可得控制律為：

2.4 自適應(yīng)學(xué)習(xí)速率

RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在學(xué)習(xí)的過程中，采用梯度下降法，在權(quán)值w的更新過程中，學(xué)習(xí)速率η設(shè)定為固定值，會造成學(xué)習(xí)效率低和收斂速度慢等問題。為了提高學(xué)習(xí)效率和收斂速度，采用自適應(yīng)學(xué)習(xí)速率在線調(diào)整學(xué)習(xí)速率，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定和學(xué)習(xí)過程穩(wěn)定的條件下，以盡可能高的學(xué)習(xí)速率進(jìn)行學(xué)習(xí)。本文根據(jù)遞推誤差(k-1)2的大小調(diào)整學(xué)習(xí)速率，具體調(diào)整規(guī)則為：

其中γ1,γ2,γ3為比例常量。

2.5 穩(wěn)定性分析

設(shè)計Lyapunov 函數(shù)為：

εf為RBF 逼近誤差。

將式（23）控制律代入到切換面導(dǎo)數(shù)可得：

將式（27）帶入式（25）可得：

設(shè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)律為：

將式（29）帶入式（28）中可得：

根據(jù)式（30）可知，由于εf是一個非常小的實(shí)數(shù)，因此對于任意范圍的s，均有≤0，滿足了Lyapunov 穩(wěn)定條件，因此控制系統(tǒng)是穩(wěn)定且收斂的。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計

為驗(yàn)證RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制器RBF 位置控制算法有效性和優(yōu)越性，在MATLA/SIMULINK 實(shí)驗(yàn)平臺中搭建BLDCM 仿真模型，并與傳統(tǒng)PID 控制和SMC 控制進(jìn)行對比分析。BLDCM 主要參數(shù)如表1 所示。

Table 1 Parameters of brushless DC motor表1 無刷直流電機(jī)參數(shù)

在MATLAB/Simulink 平臺中，搭建基于RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的BLDCM 模型，電流環(huán)為內(nèi)環(huán)，采用PI 控制，外環(huán)為位置環(huán)，RBF 網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)滑模位置控制器如圖3 所示。

3.2 仿真結(jié)果與分析

為驗(yàn)證本文控制算法優(yōu)越性，將RBF 網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)滑模位置控制算法與分?jǐn)?shù)階滑模控制（FOSMC）、傳統(tǒng)滑模控制（SMC）以及傳統(tǒng)PID 控制進(jìn)行仿真對比。為保證對比仿真有效性，將這4 種控制方法運(yùn)用于雙閉環(huán)控制系統(tǒng)速度環(huán)，且電流環(huán)均使用PI 控制器，電機(jī)參數(shù)相同保持不變。

對于連續(xù)變化的位置指令跟隨性，設(shè)定位置正弦曲線周期為1.6s，幅值為10°，仿真時長為5s。分別對比PID 控制、滑?？刂坪透倪M(jìn)的RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制算法，仿真結(jié)果如圖4 所示。

從圖4（a）、（b）兩種控制的跟隨曲線分析中，SMC 控制算法在外干擾的影響下，最大誤差為0.020 1°，穩(wěn)定誤差區(qū)間為-0.006 7°～0.006 6°，RBF 網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)滑模位置控制算法依然可以很好地跟隨設(shè)定的正弦曲線，跟隨性較好。

對于一個階躍的控制信號，設(shè)定位置指令于0.1s 處，幅值從0°變化至10°，仿真時長取0.5s。分別再用PID 控制、SMC 控制、FOSMC 控制及RBF 網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)滑?？刂七M(jìn)行仿真，仿真對比分析如圖5（彩圖掃OSID 碼可見）所示。

Fig.3 Simulation structure of BLDCM system圖3 BLDCM 系統(tǒng)仿真結(jié)構(gòu)

Fig.4 Comparison of position following圖4 位置跟隨對比

從圖4 仿真對比分析可知，PID 控制算法控制效果較差，PID 控制于0.24s 處進(jìn)入0.26s 的振蕩期，振蕩幅度由1.245%衰減到0，而超調(diào)量為13.2%。SMC 控制器在外干擾的作用下，也產(chǎn)生衰減振蕩，于0.18s 進(jìn)入0.27s 的振蕩期，振蕩幅值由0.9%衰減至0，超調(diào)量為6.2%。FOSMC 控制于0.15s 進(jìn)入0.18s 的振蕩期，振蕩幅值從1%衰減至0，超調(diào)量為0。RBF 網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)滑模位置控制算法0.155s 處開始收斂，然后進(jìn)入0.085s 的振蕩期，最后進(jìn)入穩(wěn)定收斂階段，在收斂過程中無超調(diào)量。相比于PID 控制、SMC 控制和FOSMC 控制算法，RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)滑模位置控制算法魯棒性高，收斂速度也較快（見圖5）。

Fig.5 Simulation comparison of control algorithms圖5 控制算法仿真對比

4 結(jié)語

本文在分析神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和滑?？刂扑惴▋?yōu)缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上，提出了一種無刷直流電機(jī)的RBF 網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)滑?？刂撇呗裕瑢BF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)引入到直流電機(jī)控制系統(tǒng)中，能夠提高系統(tǒng)穩(wěn)定性與抗干擾性，同時還具有非線性能力和自學(xué)習(xí)能力；與滑模控制算法相結(jié)合，削弱了滑?？刂扑惴ù嬖诙墩竦娜秉c(diǎn)，使系統(tǒng)具有良好的魯棒性和自適應(yīng)性。通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)滑?？刂菩阅芨?，其響應(yīng)速度、位置精度和系統(tǒng)穩(wěn)定性均得到相應(yīng)提升。但在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)設(shè)計中，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)計和學(xué)習(xí)方法的選擇還有待于進(jìn)一步研究。