陳 晨

（中國聯(lián)合網(wǎng)絡(luò)通信有限公司濟(jì)南軟件研究院，山東濟(jì)南 250000）

0 引言

隨著第五代移動(dòng)通信技術(shù)（5thGeneration，5G）的發(fā)展，對(duì)通信系統(tǒng)傳輸速率及傳輸可靠性的要求更高。香農(nóng)第二定理［1］證明，信息傳輸速率在小于信道容量的前提下，通過合理的信道編碼可以提高傳輸速率，實(shí)現(xiàn)更可靠的傳輸。極化碼就是第一個(gè)被嚴(yán)格證明可在二進(jìn)制離散無記憶信道（Binary-Discrete Memoryless Channel，B-DMC）下達(dá)到信道容量的編碼方法。

早期的信道編碼技術(shù)是把信息序列劃分成不同的組，每組中增加冗余比特表示信息比特之間的代數(shù)關(guān)系。1949 年，第一個(gè)實(shí)用的差錯(cuò)控制編碼方案是由漢明（Rich?ard Wesley Hamming）提出的漢明碼（Hamming Code）［2］。漢明碼一組包含4 個(gè)連續(xù)的信息比特，將組內(nèi)4 個(gè)比特之間的線性組合用3 個(gè)比特表示，并將計(jì)算結(jié)果放在4 個(gè)比特后面一同發(fā)送。漢明碼最多可糾正1 個(gè)比特的錯(cuò)誤或檢測(cè)出2 個(gè)比特的錯(cuò)誤。弗蘭克·格雷（Frank Gray）在1953 年提出了格雷碼（Gray Code）［3］。格雷碼是通過對(duì)每個(gè)碼字增加一位總的奇偶校驗(yàn)位進(jìn)行擴(kuò)展，連續(xù)的兩個(gè)數(shù)只有一個(gè)位元變化。由于這種特性，格雷碼目前常用于數(shù)字信號(hào)與模擬信號(hào)之間的轉(zhuǎn)換。1954 年，Reed［4］和Muller［5］提出通過分組保證最大碼字距離的RM 碼（Reed-Muller code）。BCH 碼是由Hocquenghem［6］和Bose 等［7］在20 世紀(jì)60 年代分別獨(dú)立發(fā)明的碼字，其具有的循環(huán)特性可糾正多個(gè)錯(cuò)誤符號(hào)。BCH 碼在衛(wèi)星通信和磁盤驅(qū)動(dòng)器等領(lǐng)域作出了重要貢獻(xiàn)。Reed 和Solomon［8］在1960 年發(fā)明RS 碼（Reed-Sol?omon code）。RS 碼是一種前向糾錯(cuò)的編碼方式，該碼字目前常應(yīng)用于商業(yè)的光碟領(lǐng)域。

隨著信道編碼技術(shù)的發(fā)展，概率編碼成為了研究熱點(diǎn)。概率編碼不是尋找較大的碼字距離，而是設(shè)計(jì)一種平均性能最優(yōu)且復(fù)雜度較低的碼字。1954 年，Elias［9-10］提出乘積碼，第二年又提出卷積碼（Convolutional code），通過依次連續(xù)地進(jìn)行編碼，編碼器的輸出與此刻以及之前的輸入都有相關(guān)性；1966 年，F(xiàn)orney［11］提出級(jí)聯(lián)碼，首先將簡單的短碼單獨(dú)進(jìn)行編碼作為內(nèi)碼，然后將內(nèi)碼串行級(jí)聯(lián)構(gòu)成長碼作為外碼，并對(duì)外碼繼續(xù)編碼。在級(jí)聯(lián)的思想下，1993年，法國教授Berrou 等［12］在日內(nèi)瓦舉行的國際通信大會(huì)（ICC）上提出一類稱為Turbo 碼的并行級(jí)聯(lián)碼，開啟了Tur?bo 碼研究的熱潮。Turbo 碼中的兩個(gè)編碼器分別進(jìn)行編碼，并將編碼結(jié)果通過偽隨機(jī)的交織方式并行級(jí)聯(lián)。譯碼時(shí)為了緩解門限效應(yīng)，兩個(gè)解碼器之間進(jìn)行迭代譯碼，譯碼過程與渦輪增壓的工作流程相似，所以被稱為Turbo 碼。Turbo 碼也被應(yīng)用于3G 和4G 蜂窩網(wǎng)絡(luò)。

1962 年，Gallager［13］提出低密度奇偶校驗(yàn)碼（Low Den?sity Parity Check Code，LDPC），因無法實(shí)現(xiàn)譯碼，1981 年Tanner［14］通過Tanner 圖更形象地解釋了LDPC 的譯碼步驟。1996 年，MacKay 等［15-16］實(shí)現(xiàn)了LDPC 的譯碼，同時(shí)延伸LDPC 的思想提出非正則的LDPC 碼，性能甚至超過Tur?bo，一度成為性能最佳的編碼方案。LDPC 碼具有譯碼復(fù)雜度低、碼率靈活、具備更低的錯(cuò)誤平層（Error Floor）等優(yōu)點(diǎn)，在較大容量的通信以及對(duì)誤碼率要求苛刻的環(huán)境中表現(xiàn)優(yōu)異。但LPDC 硬件資源消耗大，編碼復(fù)雜度高。

雖然Tanner 圖的發(fā)現(xiàn)可幫助編碼研究人員更形象地分析編碼過程，但是仍然沒有發(fā)現(xiàn)容量可達(dá)的編碼方案。土耳其Bilkent 大學(xué)教授Arikan［17-18］發(fā)現(xiàn)信道容量通過一系列信道變換會(huì)產(chǎn)生兩極分化的效果，并利用這一現(xiàn)象提出極化碼（Polar Codes）。極化碼可在碼字無限長的情況下，經(jīng)過B-DMC 信道進(jìn)行傳輸，其是信道容量可達(dá)的。極化碼一經(jīng)提出就受到全世界矚目，眾多學(xué)者不斷對(duì)極化碼進(jìn)行研究與改進(jìn)。如今極化碼的性能已與LDPC 碼和Tur?bo 碼相近，甚至更好。極化碼結(jié)構(gòu)簡單，具有編譯碼復(fù)雜度低、低延遲等特點(diǎn)，更符合未來5G 的要求。2016 年，美國當(dāng)?shù)貢r(shí)間11 月17 日，經(jīng)過中國華為等公司的努力，極化碼成為了5G 標(biāo)準(zhǔn)之一。

雖然極化碼結(jié)構(gòu)簡單、編譯碼復(fù)雜度低，但有限的碼長令極化碼的極化效果不夠顯著，若要使用這些信道進(jìn)行信息傳輸，譯碼性能會(huì)有所損失［19-20］。由于極化碼需要進(jìn)行信道極化操作，結(jié)構(gòu)比較固定，碼長不夠靈活，所以當(dāng)碼長與實(shí)際需求不匹配時(shí)，需要對(duì)極化碼進(jìn)行鑿孔操作。但當(dāng)母碼碼長較長，需要鑿孔的比特則有可能增多，從而增加編碼復(fù)雜度以及譯碼的性能損失。本文通過實(shí)現(xiàn)碼長更靈活的多維內(nèi)核極化碼，減少鑿孔比特個(gè)數(shù)，提出基于多維內(nèi)核極化碼的鑿孔算法，并建立多維內(nèi)核極化碼的鑿孔算法模型。該算法相比基于2 維內(nèi)核極化碼的鑿孔算法具有更好的性能，因此對(duì)于多維內(nèi)核極化碼的實(shí)際應(yīng)用具有重要意義。

1 基于2 維內(nèi)核與3 維內(nèi)核極化碼的鑿孔算法

文獻(xiàn)［21］提出一種使用2 維內(nèi)核與l維內(nèi)核混合構(gòu)造的可靈活實(shí)現(xiàn)碼長的極化碼。在信道極化過程中，不再固定使用兩個(gè)信道進(jìn)行信道合并操作，而是使用ns信道在相應(yīng)位置進(jìn)行信道合并與信道分割操作。信道極化過程中需要使用不同維度的內(nèi)核，每個(gè)ni都對(duì)應(yīng)一個(gè)ni×ni內(nèi)核矩陣Tni，則生成矩陣為GN?Tn1?…?Tns，此時(shí)N個(gè)碼字序列x可通過x=uGN獲得。當(dāng)Tni的順序不同，生成矩陣不同，極化碼的極化效果也不同。以2 維內(nèi)核和3 維內(nèi)核為例，將T3放在最靠近發(fā)送端的一端，構(gòu)造2 維內(nèi)核和3 維內(nèi)核混合的極化碼。以（6，3）極化碼為例，將信道極化過程分為兩階，并建立生成矩陣，如式（1）所示，對(duì)應(yīng)的編碼結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

相比Arikan 提出的極化碼，在接收端x與y是通過反序重排進(jìn)行映射以節(jié)省硬件資源，而多維內(nèi)核極化碼是通過經(jīng)典排序算法得到信道輸入端與輸出端的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其排序算法是從接收端開始，將每次的排序結(jié)果用矩陣Pi表示，則最終排序結(jié)果為P1。由原始極化碼可知，最終排序結(jié)果是通過每個(gè)RNi進(jìn)行排序得到的，其中，接收端對(duì)應(yīng)發(fā)送端的序列則是所有RNi的逆操作。在多維內(nèi)核中，接收端序列是所有Pi結(jié)果的逆操作，即P1=(P2…Ps)-1。每一階的Pi(i＞1) 可通過Pi=(Qi|Qi+Ni+1|…|Qi+(N/Ni+1-1)Ni+1)得到，最后一階的排序結(jié)果Ps=Qs。其中，Qi計(jì)算公式如下：

Fig.1 Encoding structure of multi-kernel polar code for G6= T2?T3圖1 G6= T2?T3的多維內(nèi)核極化碼編碼結(jié)構(gòu)

以N=6 的極化碼為例，若要獲得接收端與發(fā)送端的對(duì)應(yīng)位置，先計(jì)算P2，具體公式如下：

使用不同的3 維內(nèi)核進(jìn)行信道極化，編碼結(jié)構(gòu)也不同，本文后續(xù)的T3表示方法均使用式（4）。

2 算法設(shè)計(jì)

在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)確定極化碼的K個(gè)信息比特時(shí)，如何調(diào)整編碼速率以滿足物理信道的信道容量是一個(gè)重要問題。雖然可通過使用多維內(nèi)核以低復(fù)雜度實(shí)現(xiàn)更靈活的極化碼碼長，但對(duì)于極化碼而言，編碼時(shí)信道極化每一階的結(jié)構(gòu)固定，僅通過多維內(nèi)核的調(diào)整無法實(shí)現(xiàn)任意碼長。鑿孔算法可實(shí)現(xiàn)極化碼的任意碼長，并解決了碼率適配等問題。

2.1 構(gòu)造方法

極化碼通過N個(gè)獨(dú)立的信道經(jīng)過信道合并操作引入相關(guān)性，并使用其中的M個(gè)信道進(jìn)行傳輸。不傳輸信息的信道是一個(gè)容量為零的虛擬信道，故鑿孔比特的個(gè)數(shù)m=N-M。

設(shè)信道接收錯(cuò)誤的概率為p，通過T3所處的階進(jìn)行編碼，每個(gè)子信道傳輸錯(cuò)誤的概率分別為1-(1-p)3、1-(1-p) -(1-p)2+(1-p)3和1-2(1-p)+(1-p)2。在BEC 信道下，p=Z(W),I(W)=1-Z(W)，經(jīng)過信道極化后，信道容量計(jì)算公式如下：

通過公式計(jì)算，若T3內(nèi)核與T2內(nèi)核傳輸鑿孔比特，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)谝粋€(gè)信道或全部信道都進(jìn)行傳輸時(shí)，才能滿足信道容量守恒和鑿孔信道收發(fā)兩端信道容量同時(shí)為0 的要求。

在噪聲方差為δ2的AWGN 信道下，假設(shè)發(fā)送全零序列，則對(duì)數(shù)似然比為：

假設(shè)llr值的概率密度函數(shù)為，通過分析llr值計(jì)算公式，得到使用T3的高斯近似遞歸公式如下：

則SC 譯碼的誤幀率（BLER）上界如下：

在2dB 的情況下，在T3內(nèi)核中傳輸一位鑿孔比特，通過計(jì)算得到各子信道的錯(cuò)誤概率如表1 所示。當(dāng)傳輸一個(gè)鑿孔比特時(shí)，鑿掉T3中的第一個(gè)信道可獲得最小的錯(cuò)誤概率。

Table 1 The error probability of subchannels for T3after puncturing one bit表1 T3內(nèi)核鑿掉一個(gè)比特后各子信道錯(cuò)誤概率

當(dāng)使用T3內(nèi)核編碼進(jìn)行信道極化后，根據(jù)經(jīng)典排序算法，將每個(gè)3 維內(nèi)核中的第一個(gè)信道連續(xù)地排序到前Nv3，在此集合中選擇信道傳輸鑿孔比特，則可保證收發(fā)端傳輸鑿孔信道的對(duì)應(yīng)關(guān)系。此時(shí)發(fā)送端的鑿孔方案可描述為：若使用2 維內(nèi)核和3 維內(nèi)核極化碼執(zhí)行鑿孔算法，依次使用T3內(nèi)核中的第一個(gè)信道傳輸鑿孔比特。

2.2 信息位選擇

極化碼作為一種線性分組碼，碼的最小距離對(duì)譯碼性能有著重要影響。在執(zhí)行鑿孔算法后，由于m 個(gè)信道傳輸鑿孔比特，此時(shí)將虛擬信道在生成矩陣中對(duì)應(yīng)的行和列全部置為0，重新計(jì)算距離譜，從中選出K 個(gè)最大的最小距離對(duì)應(yīng)序號(hào)，并使用相應(yīng)位置的信道傳輸信息。當(dāng)鑿孔比特m∈[1/4 ?N,1/2 ?N]時(shí)，在發(fā)送端將T3中的第一個(gè)信道用來傳輸鑿孔比特，此時(shí)執(zhí)行鑿孔后的最小距離譜如下：

在T3內(nèi)核中選擇u1傳輸一位信息比特，選擇u1和u2傳輸兩位信息比特。重新構(gòu)造生成矩陣時(shí)，未經(jīng)過排序的最小距離譜為=(2,1)?(n-2)?。若在接收端執(zhí)行鑿孔算法，利用前m個(gè)信道傳輸鑿孔比特，得到接收序列=(p1,…,pm,…,pN)，通過排序算法得到發(fā)送端執(zhí)行鑿孔算法的發(fā)送序列?=?P1。從距離譜中選取K個(gè)最大的最小距離對(duì)應(yīng)序號(hào)放入集合I，集合I就是鑿孔后的信息集合，具體算法如下：

2.3 性能分析

本文建立2 維內(nèi)核與3 維內(nèi)核模型，在AWGN 信道下進(jìn)行仿真，采用BPSK 進(jìn)行調(diào)制，發(fā)送10 萬幀測(cè)試數(shù)據(jù)，構(gòu)造了（72，36）極化碼和（192，96）極化碼，生成矩陣分別為。

對(duì)于（72，36）極化碼，在2dB 下分別通過高斯近似和距離譜選取信息集合A的性能曲線對(duì)比如圖2 所示。圖中分別給出在SCL8 譯碼器下BER 與BLER 的性能，由性能曲線可知，通過距離譜選取的信息集合極化碼BLER 性能優(yōu)于高斯近似選取的信息集合，但BER 的性能沒有得到提升。當(dāng)BLER=10-3時(shí)，會(huì)有0.8dB 左右的增益。

圖3 為（191，96）極化碼的性能曲線，其中（191，96）極化碼是基于（192，96）多維內(nèi)核極化碼通過執(zhí)行本文提出的鑿孔算法得出的。由性能曲線可知，當(dāng)BLER=10-4時(shí)，基于多維極化碼的鑿孔算法有0.55dB 左右的增益。

Fig.2 Performance curve of selection information set A GA and distance spectrum圖2 高斯近似與距離譜選取信息集合A 性能曲線

Fig.3 The performance curve of（191，96）polar code圖3（191，96）極化碼性能曲線

3 總結(jié)與展望

本文對(duì)2 維內(nèi)核與3 維內(nèi)核極化碼進(jìn)行了深入研究，通過發(fā)送端和接收端傳輸鑿孔比特信道的對(duì)應(yīng)關(guān)系獲得鑿孔模式，從而實(shí)現(xiàn)任意碼長的極化碼。在執(zhí)行鑿孔后的生成矩陣中重新計(jì)算距離譜，重新選擇最大的最小距離信道作為信息集合A。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于多維極化碼的鑿孔算法與基于原始極化碼的鑿孔算法具有相似的性能，甚至超過了基于原始極化碼的鑿孔算法性能。

隨著數(shù)字時(shí)代的發(fā)展，人們對(duì)移動(dòng)通信的要求越來越高。極化碼是近年來信道編碼領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。本文在實(shí)現(xiàn)更靈活的碼長和碼率方面進(jìn)行了一定改進(jìn)，但多維極化碼的編譯碼仍有改進(jìn)的空間。在構(gòu)造多維內(nèi)核極化碼時(shí)，高維內(nèi)核處于不同的階，對(duì)極化碼的性能有著很大影響。為獲得更好的譯碼性能，需要對(duì)高維內(nèi)核編碼時(shí)處在什么位置等問題作進(jìn)一步研究。