□ 肖 揚(yáng) □ 陳董燕 □ 侯圣宇

1.西南石油大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院 成都 6105002.中國航發(fā)航空科技股份有限公司 成都 610503

1 分析背景

螺旋錐齒輪是實(shí)現(xiàn)相交軸傳遞運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力的一種基本部件,在機(jī)器中得到大量應(yīng)用。螺旋錐齒輪的質(zhì)量和精度對(duì)機(jī)器工作的質(zhì)量、精度會(huì)產(chǎn)生非常大的影響。對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪由于齒廓形成時(shí)的幾何特性,可以使嚙合時(shí)的輪齒重疊因數(shù)增大。對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪比一般錐齒輪傳動(dòng)比大,能夠得到嚙合較好的齒輪副,承載能力更強(qiáng),運(yùn)轉(zhuǎn)更加平穩(wěn),齒輪壽命也是一般錐齒輪的4～10倍,高速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)的振動(dòng)及噪聲顯著減小,目前已廣泛應(yīng)用于航天、航空、汽車等各種精密、高速、重載傳動(dòng)領(lǐng)域。對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪的工作情況、制造精度、質(zhì)量直接影響機(jī)器的質(zhì)量、效率、噪聲、運(yùn)動(dòng)精度、壽命等,因此,對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪精確模型嚙合時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況、工作情況、接觸斑點(diǎn)、傳動(dòng)誤差,以及負(fù)載時(shí)齒面上彎曲應(yīng)力和接觸應(yīng)力分布等問題,一直引起各國學(xué)者的研究和關(guān)注,成為齒輪設(shè)計(jì)生產(chǎn)中非常重要的技術(shù)問題。對(duì)以上問題進(jìn)行分析和解決,可以大幅提高螺旋錐齒輪的設(shè)計(jì)和制造水平,滿足科技發(fā)展中對(duì)高質(zhì)量機(jī)器的需求。

對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪的輪齒由左右兩個(gè)齒廓曲面,錐頂、錐底兩個(gè)圓錐面,以及前錐、背錐面圍成。左右兩個(gè)齒廓曲面以空間球面漸開線為齒廓曲線,以圓錐對(duì)數(shù)螺旋線為發(fā)生線運(yùn)動(dòng)而形成。建立對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪三維模型時(shí),通過點(diǎn)云逆向近似,或者基于簡化的對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪有限元模型,分析模型與實(shí)際對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪的形狀有偏差,分析結(jié)果不可避免地會(huì)產(chǎn)生不準(zhǔn)確。筆者在對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪精確三維模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行仿真分析[3],應(yīng)用ANSYS Workbench 軟件對(duì)齒輪嚙合分別進(jìn)行靜態(tài)和動(dòng)態(tài)接觸分析,獲得較為準(zhǔn)確的接觸工作情況變化規(guī)律。對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪精確三維模型如圖1所示。

▲圖1 對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪精確三維模型

2 靜態(tài)接觸分析

2.1 參數(shù)

在齒輪工作過程中,只會(huì)有很少幾對(duì)輪齒進(jìn)行嚙合,沒有嚙合的輪齒不存在接觸應(yīng)力。因此,在靜態(tài)接觸分析時(shí),忽略大齒輪的非嚙合輪齒對(duì)綜合剛度矩陣的影響,將嚙合模型簡化為六齒模型來進(jìn)行嚙合分析。對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪參數(shù)見表1。

表1 對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪參數(shù)

2.2 有限元建模

根據(jù)表1,兩個(gè)嚙合的對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪的材料為20CrMnTi,密度為7.85×103kg/m3,彈性模量為206 GPa,泊松比為0.3。

ANSYS Mesh軟件擁有幾種不同的網(wǎng)格劃分方法,網(wǎng)格的疏密程度會(huì)直接影響求解結(jié)果的精確性,且過密的網(wǎng)格會(huì)使計(jì)算成本增加。為了獲得更精確的計(jì)算結(jié)果,同時(shí)考慮對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪的復(fù)雜結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及邊界條件與載荷,采用混合四面體和六面體網(wǎng)格劃分,并且對(duì)參與嚙合的對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪接觸齒面進(jìn)行局部細(xì)化。為減小計(jì)算量,只取從動(dòng)齒輪的六齒模型進(jìn)行求解,并且保證計(jì)算的精度。對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪嚙合接觸部位網(wǎng)格細(xì)化如圖2所示。

應(yīng)用ANSYS Workbench軟件對(duì)對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪進(jìn)行嚙合接觸分析時(shí),需要定義齒輪的接觸區(qū)域。因?qū)?shù)螺旋錐齒輪嚙合齒面的復(fù)雜性,筆者采取面面接觸中的自動(dòng)接觸方式來定義接觸對(duì),并對(duì)有定義接觸關(guān)系的接觸面進(jìn)行判斷和求解,將主動(dòng)齒輪定義為接觸面,將從動(dòng)齒輪定義為目標(biāo)面,所定義的接觸對(duì)如圖3所示。在ANSYS Workbench軟件中采用罰函數(shù)來對(duì)非線性接觸進(jìn)行計(jì)算。

▲圖2 對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪嚙合接觸部位網(wǎng)格細(xì)化

▲圖3 對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪接觸對(duì)定義

所有接觸問題都必須定義接觸剛度,包括法向剛度和切向剛度。法向剛度是最大穿透容差和影響病態(tài)條件的關(guān)鍵因子,考慮到計(jì)算收斂等問題,取法向剛度因子為1。

穿透超過最大穿透容差,需要進(jìn)行新的迭代計(jì)算。穿透容差取決于接觸剛度,值太小則會(huì)使計(jì)算收斂困難。選取最大穿透容差為0.1。

考慮摩擦力因素的影響,在罰函數(shù)常溫下選取對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪接觸面間的摩擦因數(shù)為0.06。

2.3 邊界條件與載荷

對(duì)大對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪內(nèi)圈表面所有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行全約束,對(duì)小對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪內(nèi)圈控制節(jié)點(diǎn)的徑向和軸向自由度進(jìn)行固定,使繞軸旋轉(zhuǎn)的周向自由度處于自由狀態(tài)。對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪由功率為500 kW的電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng),對(duì)于高速傳動(dòng)對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪,小齒輪主軸轉(zhuǎn)速為10 000 r/min,計(jì)算得到驅(qū)動(dòng)扭矩為300 N·m。求解中大變形開關(guān)開啟,防止計(jì)算收斂困難。

2.4 求解

為了得到對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪在嚙合過程中齒面接觸應(yīng)力的分布情況,對(duì)靜態(tài)狀態(tài)下對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪不同轉(zhuǎn)角的嚙合模型分別進(jìn)行分析。在對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪嚙合過程中,轉(zhuǎn)角范圍為0°～2.16°,每0.72°取一個(gè)對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪的嚙合模型。通過分析,對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪嚙合模型在轉(zhuǎn)角為0°、0.72°、1.44°、2.16°時(shí)的齒面接觸應(yīng)力云圖如圖4所示。

▲圖4 對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪齒面接觸應(yīng)力云圖

取若干位置分別進(jìn)行有限元接觸分析計(jì)算的方法體現(xiàn)出兩個(gè)特點(diǎn)。

第一,每個(gè)嚙合位置的分析模型均可由主動(dòng)齒輪的節(jié)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)約束實(shí)現(xiàn),所以這一方法能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪嚙合周期內(nèi)任一瞬時(shí)位置處的接觸分析。

第二,不需要事先預(yù)設(shè)接觸載荷的分布狀況,因?yàn)樵趪Ш辖佑|狀態(tài)下,ANSYS Workbench軟件能夠自動(dòng)捕捉及計(jì)算接觸區(qū)域與接觸載荷分布情況。

從圖4中可以看出,對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪開始逐漸進(jìn)入嚙合,接觸區(qū)域逐漸增大,齒面上的接觸應(yīng)力也逐漸增大。輪齒在嚙合狀態(tài)下,接觸應(yīng)力區(qū)域逐漸增大,接觸應(yīng)力也逐漸增大。觀察接觸斑點(diǎn)區(qū)域能夠發(fā)現(xiàn),各接觸斑點(diǎn)區(qū)域在分布上呈現(xiàn)出直線型。在對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪嚙合的各個(gè)階段,齒頂附近出現(xiàn)邊緣接觸現(xiàn)象,這會(huì)給高速重載工況下的對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪傳動(dòng)帶來不利影響。

齒輪嚙合傳動(dòng)周期內(nèi)的靜力學(xué)接觸分析結(jié)果說明,對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪在接觸斑點(diǎn)區(qū)域的軌跡在方向上大致呈直線型。在對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪嚙合過程中,從點(diǎn)接觸擴(kuò)展到面域接觸,并且是從小端到大端同時(shí)向齒頂方向呈傾斜直線分布。

在嚙合過程中,對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪幾乎始終有三對(duì)輪齒處于接觸狀態(tài),因此對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪承載能力強(qiáng),傳動(dòng)平穩(wěn),傳動(dòng)效率高。在嚙入過程中,接觸斑點(diǎn)區(qū)域逐漸增大,最大接觸應(yīng)力也隨之增大。對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪齒面會(huì)發(fā)生邊緣接觸,對(duì)齒輪傳動(dòng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。在對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪嚙出過程中,接觸斑點(diǎn)區(qū)域逐漸減小,最大接觸應(yīng)力也逐漸減小。綜合而言,對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪在一個(gè)嚙合周期過程中,輪齒齒面上的接觸應(yīng)力先增大后減小。

通過處理器求解,可以直觀觀察到裝配體的應(yīng)力、應(yīng)變、位移,以及接觸狀態(tài)、接觸應(yīng)力等。初始位置處對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪等效接觸應(yīng)力云圖如圖5所示,可以看出,最大等效接觸應(yīng)力為871.1 MPa。

▲圖5 初始位置對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪接觸應(yīng)力云圖

從動(dòng)齒輪、主動(dòng)齒輪的等效應(yīng)力云圖分別如圖6、圖7所示。從圖6和圖7中可以看出從動(dòng)齒輪、主動(dòng)齒輪最大等效應(yīng)力的位置。從動(dòng)齒輪、主動(dòng)齒輪的最大等效應(yīng)力分別為274.7 MPa、366.3 MPa,最大等效應(yīng)力位于接觸線邊緣靠近齒根處,輪齒邊緣處有應(yīng)力集中現(xiàn)象。相互嚙合傳動(dòng)的主動(dòng)齒輪等效應(yīng)力比從動(dòng)齒輪大,這是由于靜態(tài)接觸分析中,從動(dòng)齒輪為全約束,力矩加載在主動(dòng)齒輪上,在接觸初始狀態(tài)瞬間,主動(dòng)齒輪接觸沖擊大于從動(dòng)齒輪。

▲圖6 從動(dòng)齒輪等效應(yīng)力云圖

▲圖7 主動(dòng)齒輪等效應(yīng)力云圖

3 動(dòng)態(tài)接觸分析

在對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪傳動(dòng)過程中,負(fù)載是逐齒傳遞的。在傳遞過程中,總會(huì)出現(xiàn)單齒、雙齒交替嚙合,引起齒輪嚙合力振動(dòng)與沖擊,以及載荷與轉(zhuǎn)速的波動(dòng),導(dǎo)致嚙合剛度周期性變化。與此同時(shí),存在嚙合齒面間摩擦力等非線性因素,在不同嚙合位置處經(jīng)過多次靜態(tài)接觸來計(jì)算接觸應(yīng)力,也只考慮嚙合過程中某一瞬態(tài)的情況,不能準(zhǔn)確全面反映對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪在傳動(dòng)過程中的力學(xué)特性。由于對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪的工作環(huán)境往往為高速重載場合,為了真實(shí)模擬對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪連續(xù)傳動(dòng)過程中整個(gè)周期的接觸應(yīng)力、應(yīng)變等隨時(shí)間的變化趨勢(shì),有必要對(duì)對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪進(jìn)行動(dòng)態(tài)接觸分析。

考慮轉(zhuǎn)速等影響因素,筆者在ANSYS Workbench軟件中建立對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪接觸分析有限元模型,對(duì)其進(jìn)行瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析,得到傳動(dòng)過程中動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力實(shí)時(shí)變化規(guī)律,同時(shí)分析高、中、低三種不同狀態(tài)下動(dòng)態(tài)嚙合接觸的應(yīng)力變化規(guī)律,為對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪的設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。

在對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪動(dòng)態(tài)嚙合過程中,電動(dòng)機(jī)通過聯(lián)軸器為主動(dòng)齒輪施加一個(gè)繞軸旋轉(zhuǎn)的角速度,同時(shí)通過主動(dòng)齒輪、從動(dòng)齒輪的接觸驅(qū)動(dòng)使從動(dòng)齒輪繞中心軸旋轉(zhuǎn),從動(dòng)齒輪在輸入轉(zhuǎn)矩與負(fù)載阻力矩的作用下達(dá)到受力平衡。對(duì)主動(dòng)齒輪施加繞中心軸旋轉(zhuǎn)的角速度為1 000 rad/s,從動(dòng)齒輪的阻力矩為120 N·m。

在瞬態(tài)分析設(shè)置中,打開大變形開關(guān),載荷步結(jié)束時(shí)間設(shè)置為0.001 3 s,關(guān)閉自動(dòng)時(shí)間步長開關(guān),設(shè)置載荷步子步為30,采用稀疏矩陣求解器對(duì)非線性接觸進(jìn)行瞬態(tài)求解。計(jì)算求解過程中力收斂曲線如圖8所示。計(jì)算殘差值小于收斂容差值,表示收斂。計(jì)算收斂后,將出現(xiàn)虛線間斷線,反之則出現(xiàn)點(diǎn)劃線間斷線。從曲線繞定值周期性振蕩可以看出,非線性接觸分析求解是收斂的。為了分析在嚙合過程中不同時(shí)刻的接觸情況,選取高速狀態(tài)下0.000 213 s、0.000 214 s、0.000 581 s、0.000 625 s、0.000 801 s、0.000 90 s六個(gè)時(shí)刻的對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪裝配體接觸狀態(tài),其等效應(yīng)力云圖如圖9所示。

選取圖9不同時(shí)刻各位置處的最大接觸應(yīng)力,得到不同嚙合位置最大接觸應(yīng)力,見表2。

分析圖9及表2可知,當(dāng)對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪處于高速狀態(tài)下,齒輪嚙入及嚙出的最大接觸應(yīng)力大于單齒嚙合時(shí)的最大接觸應(yīng)力,這是由于嚙入及嚙出點(diǎn)偏離理論嚙入、嚙出位置點(diǎn),造成嚙入、嚙出沖擊。雙齒嚙合最大接觸應(yīng)力明顯遠(yuǎn)小于單齒嚙合最大接觸應(yīng)力,這是由于載荷由多個(gè)輪齒分擔(dān),并且接觸區(qū)域面積增大,綜合嚙合剛度變大,嚙合接觸彈性變形減小,使接觸應(yīng)力減小。

為了分析不同工況、不同轉(zhuǎn)速對(duì)對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力的影響,選取高、中、低三個(gè)有代表性的轉(zhuǎn)速,在ANSYS Workbench軟件中對(duì)嚙合齒輪進(jìn)行瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析求解,載荷邊界條件見表3。

▲圖8 力收斂曲線

▲圖9 高速狀態(tài)下不同時(shí)刻等效應(yīng)力云圖

表2 高速狀態(tài)下不同嚙合位置最大接觸應(yīng)力

表3 載荷邊界條件

在中速狀態(tài)下,依據(jù)與轉(zhuǎn)速相對(duì)應(yīng)的嚙合周期,設(shè)定載荷步結(jié)束時(shí)間為0.01 s,關(guān)閉自動(dòng)時(shí)間步長開關(guān),設(shè)置載荷步子步為40,提取0.004 52 s、0.005 77 s、0.005 82 s、0.006 77 s、0.008 25 s、0.009 6 s六個(gè)時(shí)刻對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪各嚙合位置的等效應(yīng)力云圖,如圖10所示。

選取圖10不同時(shí)刻各嚙合位置處的最大接觸應(yīng)力,得到不同嚙合位置最大接觸應(yīng)力,見表4。

分析圖10及表4可知,對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪嚙入及嚙出的最大接觸應(yīng)力稍大于雙齒嚙合時(shí)的最大接觸應(yīng)力,且與單齒嚙合時(shí)接近,說明隨著轉(zhuǎn)速的降低,對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪緩慢進(jìn)入傳動(dòng)平穩(wěn)期,受載變形也變化不大,齒輪受嚙合沖擊的影響減小。

在低速狀態(tài)下,設(shè)定載荷步結(jié)束時(shí)間為0.08 s,關(guān)閉自動(dòng)時(shí)間步長開關(guān),設(shè)置載荷步子步為40,提取0.038 s、0.045 s、0.052 s、0.06 s、0.072 s、0.08 s六個(gè)時(shí)刻對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪各嚙合位置的等效應(yīng)力云圖,如圖11所示。

選取圖11不同時(shí)刻各嚙合位置處的最大接觸應(yīng)力,得到不同嚙合位置最大接觸應(yīng)力,見表5。

分析圖11及表5可知,在低速狀態(tài)下,對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪嚙入及嚙出的最大接觸應(yīng)力與雙齒嚙合時(shí)的最大接觸應(yīng)力相差不大,且單齒嚙合時(shí)最大接觸應(yīng)力相差越來越小,說明齒輪嚙合在低轉(zhuǎn)速情況下運(yùn)動(dòng)平穩(wěn),傳動(dòng)性能好。

▲圖10 中速狀態(tài)下不同時(shí)刻等效應(yīng)力云圖

表4 中速狀態(tài)下不同嚙合位置最大接觸應(yīng)力

上述三種轉(zhuǎn)速狀態(tài)下的對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪嚙合接觸分析可知,在低速狀態(tài)下,齒輪受載變形及沖擊均較小,隨著轉(zhuǎn)速的提高,受載變形及沖擊均增大。在恒定轉(zhuǎn)矩下,轉(zhuǎn)速是接觸力幅值變化的主要因素之一。

4 結(jié)束語

在恒定轉(zhuǎn)矩下,從對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪靜態(tài)與動(dòng)態(tài)接觸的等效應(yīng)力云圖可以觀察到,靜態(tài)與動(dòng)態(tài)接觸的接觸線均是沿對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪小端到大端并向齒頂方向傾斜的一條直線,且最大等效應(yīng)力均處在接觸線邊緣靠近輪齒齒根處。在相同轉(zhuǎn)矩情況下,動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力比靜態(tài)接觸應(yīng)力大,這是由于在嚙合過程中齒輪受載變形,以及在內(nèi)部激勵(lì)作用下產(chǎn)生較大的嚙合沖擊,嚙入、嚙出點(diǎn)偏離理論位置點(diǎn),使嚙合齒輪產(chǎn)生線外嚙合,從而引起周期性振動(dòng)與沖擊。相比靜態(tài)接觸分析,動(dòng)態(tài)接觸分析可以在一次算法中求解出嚙合全過程所有時(shí)刻的嚙合位置處接觸應(yīng)力變化規(guī)律,并且更接近實(shí)際工況。

筆者以對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪的精確三維模型為基礎(chǔ),應(yīng)用ANSYS Workbench軟件對(duì)對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪嚙合傳動(dòng)過程中的工作情況進(jìn)行靜態(tài)、動(dòng)態(tài)分析。

通過不同位置處的非線性靜態(tài)接觸分析,得到接觸區(qū)域應(yīng)力變化規(guī)律,并且在ANSYS Workbench軟件中求解得到最大接觸應(yīng)力,結(jié)果與理論計(jì)算值比較,驗(yàn)證了有限元模型法計(jì)算接觸問題的準(zhǔn)確性。

另一方面,分析了不同轉(zhuǎn)速狀態(tài)下齒輪在不同嚙合時(shí)刻的動(dòng)態(tài)接觸情況,比較轉(zhuǎn)速對(duì)接觸特性的影響規(guī)律。通過分析得到了對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪工作時(shí)靜態(tài)、動(dòng)態(tài)性能的變化規(guī)律,為進(jìn)一步研究、設(shè)計(jì)、制造對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪打下了基礎(chǔ)。

▲圖11 低速狀態(tài)下不同時(shí)刻等效應(yīng)力云圖

表5 低速狀態(tài)下不同嚙合位置最大接觸應(yīng)力