萬莊姝，譚碧瑩，段雅倩，閔鋼，舒忠,

（1.荊楚理工學(xué)院，荊門448001；2.荊門日報(bào)社荊門新聞網(wǎng)，荊門448000）

0 引言

當(dāng)今，針對圖像處理的應(yīng)用已涉及眾多領(lǐng)域，特別是圖像識別和人工智能等方面，圖像處理都是重要的組成環(huán)節(jié)和重要基礎(chǔ)。圖像中的噪聲嚴(yán)重影響到了圖像識別或人工智能等技術(shù)應(yīng)用，在這些技術(shù)應(yīng)用中，圖像邊緣檢測是最重要的處理過程之一，是圖像增強(qiáng)[1-2]、圖像分割[3-4]等處和圖像特征分類[5-6]、圖像特征提取[7]等處理的關(guān)鍵，噪聲所造成的影響都具有較強(qiáng)的破壞性，因此，圖像去噪具有較高的研究和實(shí)用價(jià)值。

在圖像去噪處理中，需要考慮的主要因素是在去除噪聲的同時(shí)，必須確保圖像自己具有特征的完整性，這些特征主要包括：圖像邊緣輪廓信息、圖像紋理信息和圖像色彩等。因此，在圖像去噪處理方法的應(yīng)用也特別重要。針對不同的噪聲種類[8-9]，在已有的圖像去噪方法中，一些濾波算法可以有效地去除噪聲，但對圖像的邊緣信息和紋理信息都會產(chǎn)生不同程度的破壞；一些濾波算法則雖然可以有效保護(hù)圖像的正常信息，但去噪效果不理想，很難將圖像中的高頻信息全部準(zhǔn)確分離出來；一些算法對某一種噪聲去除效果良好，但其他噪聲則無能為力；還有一些得法運(yùn)算效率不高，等等。

小波圖像去噪方法的提出，其主要依據(jù)是圖像經(jīng)過小波變換后，可以通過小波系數(shù)對圖像進(jìn)行稀疏性描述，將圖像的組成信息進(jìn)行分割，將屬于噪聲的信息分離出來。其中，屬于噪聲的信息其小波系數(shù)通常都偏小，通過設(shè)置系數(shù)閾值，獲取圖像中的噪聲信息就不是難事。采用小波閾值法去除圖像噪聲，關(guān)鍵的兩步是：首先構(gòu)建小波閾值函數(shù)，然后通過閾值函數(shù)計(jì)算出閾值。目前，主要小波閾值去噪方法中，常用的是軟閾值去噪函數(shù)[10]和硬閾值去噪函數(shù)[11]兩類。小波閾值去噪，首先需要對圖像進(jìn)行小波變換，并對變換后的小波系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，依據(jù)小波系數(shù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，以閾值函數(shù)計(jì)算的閾值的衡量標(biāo)準(zhǔn)，對直接進(jìn)行小波變換后的小波系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整的主要原則是盡量多地將小波系數(shù)置為零，并用于圖像去噪處理，調(diào)整后的小波系數(shù)集合，決定了圖像的去噪效果。軟閾值圖像去噪方法是將多數(shù)的小波系數(shù)進(jìn)行置零處理，應(yīng)用于圖像去噪處理中，是否置零依據(jù)閾值大小決定。硬閾值去噪方法則是通過與閾值進(jìn)行比較，對高于閾值的小波系數(shù)不作任何處理，而小于閾值的小波系數(shù)全部置為零，再將調(diào)整后的小波系數(shù)應(yīng)用于圖像去噪處理中?；谝陨闲〔ㄩ撝等ピ氩呗裕芯咳藛T對此也進(jìn)行了一系列的研究與實(shí)驗(yàn)。

在小波圖像去噪中，閾值的選取起到了決定性的作用，閾值的大小控制至關(guān)重要。閾值大了，則小波系數(shù)大部分會被置零，圖像中有效的信息就會作為噪聲被處理掉；閾值小了，則小波系數(shù)少部分會被置零，圖像中的噪聲信息不可能全部被選出來。在已有的閾值計(jì)算方法中，有固定一個(gè)閾值和多閾值兩種方法，在多閾值選取方法中，又分為頻率分割閾值確定與空間分割閾值確定。頻率分割閾值是直接在圖像小波頻率域?qū)D像小波系數(shù)的組成集合進(jìn)行分類，分類結(jié)果有幾組，則閾值就有幾個(gè)；空間分割閾值是對小波頻率域?qū)?yīng)的圖像空間，進(jìn)行小波系數(shù)的組成集合分類，同樣是分類結(jié)果有幾組，則閾值就有幾個(gè)。兩種多閾值方法，都具有一定的自適應(yīng)圖像去噪閾值控制功能。

圖像的去噪過程，是一個(gè)對最理想圖像的預(yù)估為基礎(chǔ)的處理過程，在理論上，要想得到完整無缺的效果是根本不可能的，這是圖像去噪的主要難點(diǎn)所在。同時(shí)，圖像去噪處理還涉及到一個(gè)圖像噪聲判定問題。去噪方法有選擇，還需要考慮到噪聲類型和噪聲信息在圖像中的分布問題，特別找出噪聲信息在圖像中的分布特征尤為重要。因此，噪聲模型的建構(gòu)也是圖像的去噪重要環(huán)節(jié)，圖像去噪處理主要是依托相應(yīng)的噪聲模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，獲取一些有效的去噪處理方法。當(dāng)前，噪聲模型的定義，主要針對一些細(xì)微因素進(jìn)行構(gòu)建，重點(diǎn)是對噪聲的分布進(jìn)行描述，較為典型的噪聲模型有：高斯分布模型、高斯與分辨率混合分布模型、高斯與拉普拉斯混合分布模型等[12-14]。依據(jù)這些噪聲模型，在進(jìn)行圖像去噪處理中，也面臨著諸如：閾值函數(shù)和閾值的最佳選擇、多種混合噪聲的去除、需要進(jìn)行噪聲模型構(gòu)建與驗(yàn)證等難題。

由于小波變換所構(gòu)建的閾值函數(shù)在閾值處是連續(xù)的，可以防止圖像處理中出現(xiàn)新的噪聲，并以線性公式構(gòu)建閾值函數(shù)，可以有效防止閾值偏差。本文以加性高斯和乘性斑點(diǎn)兩種典型圖像噪聲為研究目標(biāo)，通過對頻域圖像去噪算法的原理進(jìn)行分析，以小波變換為基礎(chǔ)平臺，通過構(gòu)建小波閾值函數(shù)，獲取精確閾值，最終實(shí)現(xiàn)圖像去噪算法的設(shè)計(jì)。

1 小波頻域去噪原理

在小波變換中，小波的主要參量是時(shí)間變化量和頻率變化量，時(shí)間變化量是指截獲圖像中第一個(gè)時(shí)間段內(nèi)或第二個(gè)時(shí)間段內(nèi)的變化量；頻率變化量是指截獲圖像在第一個(gè)時(shí)間段內(nèi)中變化比較慢的信息，也就是圖像中的低頻率信息，或者是截獲圖像在第一個(gè)時(shí)間段內(nèi)中變化比較快的信息，也就是圖像中的高頻率信息。

圖像小波變換的基本原理是以時(shí)間變化參量和頻率變化參量為主體，構(gòu)建一個(gè)族函數(shù)，應(yīng)用這個(gè)族函數(shù)去表示（或最大程度接近）圖像信息集合，并對獲取的圖像信息集合進(jìn)行頻率分類（低頻率或高頻率）和分析。小波變換可以表示隨著時(shí)間變化而具備的圖像頻率特性，可以進(jìn)一步準(zhǔn)確描述圖像的邊緣信息，這在傅里葉變換中是不能或難于實(shí)現(xiàn)的。

設(shè)f(t)∈L2(R)，ψ(t)為基本小波函數(shù)，其連續(xù)小波變換公式為[15]：

圖像通過離散小波變換后，具備可分解性可以充分應(yīng)用于本文提出的小波閾值函數(shù)去噪算法中。

2 本文小波閾值函數(shù)去噪算法實(shí)現(xiàn)

2.1 小波閾值的預(yù)估

依據(jù)以上對小波去噪原理的分析，小波圖像去噪的關(guān)鍵是對閾值的預(yù)估。閾值預(yù)估必須遵循一定的規(guī)則，在最基本的閾值選取規(guī)則中，Sqtwolog 通用閾值、BayesShrink 貝葉斯閾值和最大最小值Miniman 閾值三種選取規(guī)則是進(jìn)行小波去噪閾值構(gòu)建的研究與應(yīng)用基礎(chǔ)。

Sqtwolog 通用閾值的定義是：

其中，M×N為圖像的維度，σ為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差。該閾值的預(yù)估條件為噪聲的小波系數(shù)呈現(xiàn)高斯正態(tài)分布。

BayesShrink 貝葉斯閾值的定義是TB=σ2σg，其中，σ2為噪聲方差，σg為噪聲高斯標(biāo)準(zhǔn)差。該閾值的預(yù)估條件為噪聲的小波系數(shù)呈現(xiàn)高斯分布。

最大最小值Miniman 閾值的定義是：

其中，σ為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，k為小波系數(shù)的個(gè)數(shù)。該閾值是對Sqtwolog 通用閾值的改進(jìn)。

2.2 小波閾值函數(shù)的構(gòu)建

小波閾值函數(shù)的作用是對小波系數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，硬閾值函數(shù)、軟閾值函數(shù)和半軟半硬閾值函數(shù)是最基本的小波閾值函數(shù)[15]。

硬閾值圖像去噪是對小波系數(shù)進(jìn)行處理的規(guī)則是：對小波系數(shù)值偏小的系數(shù)全部設(shè)置為零，小波系數(shù)值偏大的系數(shù)值則保持不變。依據(jù)離散小波變換和小波分解變換原理，硬閾值函數(shù)可以定義為：

其中，j為圖像頻率變化范圍取值，k為小波系數(shù)的個(gè)數(shù)，T(j,k)為理想閾值，T為預(yù)估閾值。

硬閾值圖像去噪不會破壞圖像的邊緣信息，但硬閾值函數(shù)不具有連續(xù)性，在處理過程中會產(chǎn)生新的圖像噪聲。

軟閾值圖像去噪是對小波系數(shù)進(jìn)行處理的規(guī)則是：對小波系數(shù)值偏小的系數(shù)全部設(shè)置為零，小波系數(shù)值偏大的系數(shù)值則依據(jù)連續(xù)性平緩地接近于零，也就是偏大的系數(shù)值在原有值的基礎(chǔ)上會依次逐漸進(jìn)行減小處理。同樣依據(jù)前文介紹的離散小波變換和小波分解變換原理，軟閾值函數(shù)可以定義為：

（sign 表示不可求導(dǎo)函數(shù)）。軟閾值圖像去噪所構(gòu)建的閾值函數(shù)具有平滑的連續(xù)性，但強(qiáng)制性對原有小波變換的較大的系數(shù)值進(jìn)行了減小，必須會造成小波變換后圖像中的部分高頻信息被忽略，引起的結(jié)果是對圖像的邊緣信息進(jìn)行了破壞。

由于硬閾值圖像去噪和軟閾值圖像去噪都具有一定的缺陷，因此，出現(xiàn)了半軟半硬閾值去噪方法。半軟半硬閾值去噪方法的關(guān)鍵是在軟閾值函數(shù)的基礎(chǔ)上，對預(yù)估閾值T進(jìn)行了門限控制，其門限控制參數(shù)為λ，半軟半硬閾值函數(shù)可以定義為：

在公式（7）中，當(dāng)λ=0 時(shí)，T?(j,k)則為硬閾值函數(shù)；當(dāng)λ=0 時(shí)，T?(j,k)則為軟閾值函數(shù)。引入該策略的主要目的是確保圖像在處理過程中邊緣信息不會被作為噪聲被剔除，又不會在處理過程中產(chǎn)生新的噪聲。但是，針對不同的圖像在經(jīng)過小波變換后，受到圖像信息本身存在的不定因素，加之半軟半硬閾值在接受了一些優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，并不能完全摒棄硬閾值和軟閾值處理中的缺陷，影響圖像在人眼中的視覺感受是必然存在的。

根據(jù)以上對三種基本的小波閾值函數(shù)去噪處理原理進(jìn)行分析，總結(jié)了各自存在的問題。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合以上三種方法的優(yōu)點(diǎn)，本文將進(jìn)一步對基本的小波閾值函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)展開研究。

本文構(gòu)建小波閾值函數(shù)的主要思想是：構(gòu)建的閾值函數(shù)要在其閾值處具有連續(xù)，目的是防止圖像出現(xiàn)新的噪聲。以最基本的、結(jié)構(gòu)最簡單的線性方程f(x)=x為基礎(chǔ)，建立閾值函數(shù)的線性變化標(biāo)準(zhǔn)，使小波系數(shù)平緩地接近零值，防止去噪閾值出現(xiàn)有等級區(qū)分的偏差，并努力控制閾值偏差出現(xiàn)累加性。在噪聲與有效的圖像信息之間進(jìn)行有效的平滑處理，實(shí)現(xiàn)兩者之間的自然融合，這也是因?yàn)槿魏我环N噪聲在預(yù)估去噪策略下，在理論上根本無法實(shí)現(xiàn)對噪聲進(jìn)行根除；同時(shí)，無論對圖像進(jìn)行何種處理，在處理完成后，產(chǎn)生新的噪聲是不可避免的。為了對圖像中的噪聲進(jìn)行更為細(xì)致的分離，同時(shí)確保在計(jì)算閾值的過程中能夠?qū)崿F(xiàn)自主調(diào)整，所構(gòu)建的閾值函數(shù)必然能夠進(jìn)行微分運(yùn)算。為了確保以上思想能夠?qū)崿F(xiàn)，結(jié)合離散小波變換和小波分解變換的應(yīng)用，本文設(shè)計(jì)的小波閾值函數(shù)可以定義為：

在公式（8）中，j為圖像頻率變化范圍取值，k為小波系數(shù)的個(gè)數(shù)，a和b分別為理想閾值T(j,k)與預(yù)估閾值T或-T大小比較的系數(shù)，系數(shù)a表示大于預(yù)估閾值，系數(shù)b表示小于預(yù)估閾值，0.5×λ為小波平緩系數(shù)，sgn 表示可求導(dǎo)函數(shù)。從公式中可以看出，當(dāng)λ=0時(shí)，可表示為軟閾值函數(shù)，當(dāng)λ的取值逐漸接近0 時(shí)，閾值函數(shù)也更接近于軟閾值函數(shù)；當(dāng)λ=1 時(shí)，系數(shù)0.5則還能起到平滑過度的作用，當(dāng)然，在λ≠0 的一定取值范圍內(nèi)，同樣可以起到平滑作用，且有助于求導(dǎo)計(jì)算。

本文設(shè)計(jì)的閾值函數(shù)，在理想閾值T(j,k)和預(yù)估閾值±T相等處都具有連續(xù)性。在|T(j,k)| 的值增加時(shí)（也就是小波系數(shù)大于預(yù)估閾值T時(shí)），函數(shù)f(T(j,k))的值也越接近理想閾值T(j,k)，其所具有的線性特征，確保了閾值變化中不會出現(xiàn)偏差現(xiàn)象。由于構(gòu)建的閾值函數(shù)參量有所增加，而函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)微分計(jì)算就可以簡化因參量過多造成的計(jì)算復(fù)雜度，在預(yù)估閾值T處進(jìn)行微分計(jì)算的前提有兩個(gè)：一是理想閾值T(j,k)和預(yù)估閾值±T相等處連續(xù)（該條件已獲得）；二是函數(shù)可以進(jìn)行求導(dǎo)計(jì)算。通過計(jì)算，當(dāng)b=(0.5×λ)-a時(shí)，構(gòu)建的閾值函數(shù)就可以進(jìn)行微分計(jì)算。因此，通過控制公式中的參量λ和a，就可以得到最佳的圖像去噪閾值函數(shù)。

3 實(shí)驗(yàn)及分析

3.1 閾值處平滑性驗(yàn)證

在進(jìn)行圖像去噪效果驗(yàn)證前，首先以線性方程f(x)=x為分析比較基礎(chǔ)，對軟閾值函數(shù)、硬閾值函數(shù)和本文設(shè)計(jì)的小波閾值函數(shù)在閾值處所具有的連續(xù)性進(jìn)行比較，將其設(shè)置為實(shí)驗(yàn)1。實(shí)驗(yàn)1 的方法是：將預(yù)估閾值和計(jì)算閾值設(shè)定為[-20,+20]之間，將預(yù)估閾值定義為x，將計(jì)算閾值定義為f(x)，分別應(yīng)用軟閾值函數(shù)、硬閾值函數(shù)和本文設(shè)計(jì)的小波閾值函數(shù)對f(x)進(jìn)行計(jì)算，在計(jì)算結(jié)果所形成的直線、折線或曲線中，首先比較f(x)與x所對應(yīng)的值是否接近，然后比較在f(x)與x所對應(yīng)的值有較大誤差時(shí)，其對應(yīng)值的差距有多大。比較結(jié)果的評判方法是f(x)與x所對應(yīng)的值越接近，其處理效果所具有的平滑過度特征非常直接；在f(x)與x所對應(yīng)的值存在差距時(shí)，其差距值越小，可以表明其處理效果所具有向平滑過度特征方向控制的意識。另外，三種方法輸出的線性結(jié)果圖示中，在f(x)與x所對應(yīng)的值存在差距的區(qū)域中，如果輸出結(jié)果是由直線和折線組成的線段，可以表明其處理結(jié)果平滑過度特征不明顯（或者說是根本不具備平滑過度特征）；如果輸出結(jié)果是由曲線組成的，則可以表明其處理結(jié)果具有平滑過度特征。實(shí)驗(yàn)1 所輸出的比較結(jié)果如圖1 所示。

圖1

圖1 為使用硬閾值函數(shù)、軟閾值函數(shù)和本文設(shè)計(jì)的小波閾值函數(shù)經(jīng)過線性處理后的輸出結(jié)果比較圖。

在圖1 中，本文設(shè)計(jì)的小波閾值函數(shù)進(jìn)行線性處理后的輸出為曲線，可以充分地表示在閾值處具有平滑過度特征；硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)經(jīng)過線性處理后的輸出均為折線閾值處的處理明顯具有生硬性。

3.2 去噪效果驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)選取三幅圖像（均為灰度圖像）進(jìn)行MATLAB仿真實(shí)驗(yàn)，首先通過前文介紹的圖像復(fù)原原理，構(gòu)建一個(gè)加性高斯噪聲和乘性斑點(diǎn)噪聲混合的退化模型；然后依據(jù)前文論述的硬閾值圖像去噪算法、半軟半硬閾值去噪圖像算法和本文提出的圖像去噪算法原理，分別提取三幅出圖像中的低、高頻信息，最后以峰值信噪比（PSNR）為評價(jià)參數(shù)，對三種圖像去噪方法進(jìn)行比較分析，驗(yàn)證本文提出的圖像去噪方向的優(yōu)勢所在。實(shí)驗(yàn)2 通過MATLAB 仿真效果如圖2 所示。

圖2 對三幅圖像采用三種去噪方法的效果比較

在圖2 中，加性高斯噪聲和乘性斑點(diǎn)噪聲對三幅原稿圖像的影響都非常明顯，對于去噪效果的比較，本文提出的去噪算法效果最好，硬閾值去噪效果最差。實(shí)驗(yàn)中還使用PSNR 作為圖像去噪效果的客觀評價(jià)參數(shù)[29]，其MATLAB 仿真實(shí)驗(yàn)獲取參量見表1 所示。

表1 三種去噪算法的PSNR 參數(shù)比較表

以上實(shí)驗(yàn)從主觀和客觀兩個(gè)方面進(jìn)行比較都表明：在本文提出的算法具有良好的圖像去噪效果。其中，測試圖像本文算法處理結(jié)果與對應(yīng)原稿基本相似，半軟半硬閾值去噪算法也與對應(yīng)原稿基本相似，但硬閾值去噪算法明顯與原稿存在差別，去噪效果不徹底。通過使用峰值信噪比進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，本文算法處理結(jié)果獲取的參數(shù)值更接近理想值（30.00-32.00），同樣，半軟半硬閾值去噪算法也優(yōu)于硬閾值去噪算法。

3.3 邊緣提取效果驗(yàn)證

本文為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文圖像去噪算法的效果。實(shí)驗(yàn)方法是：選取與實(shí)驗(yàn)2 一致的三幅原稿圖像進(jìn)行MATLAB 仿真實(shí)驗(yàn)，圖像邊緣提取采用二維Otsu 算法[30]，以處理效率的檢測結(jié)果作為為評價(jià)依據(jù)，對硬閾值圖像去噪、半軟半硬閾值圖像去噪和本文圖像去噪方法進(jìn)行去噪后，使用二維Otsu 算法進(jìn)行邊緣特征提取，評價(jià)實(shí)驗(yàn)2 中三種圖像去噪方法的高效性和優(yōu)良性。三種圖像邊緣特征提取方法的測試結(jié)果如圖3 所示，表2 為使用三種圖像去噪算法后進(jìn)行邊緣特征提取的運(yùn)算時(shí)間對比表。

圖3 使用三種圖像去噪處理后對圖像邊緣特征進(jìn)行提取的測試結(jié)果

表2 使用三種圖像去噪算法后進(jìn)行邊緣特征提取的運(yùn)算時(shí)間對比表

以上實(shí)驗(yàn)比較結(jié)果表明：使用本文算法進(jìn)行圖像去噪后，其邊緣特征提取的效果優(yōu)于另外兩種，其運(yùn)行效率結(jié)果相近。其中，使用本文算法進(jìn)行圖像去噪后，其邊緣特征提取所保留的圖像邊緣細(xì)節(jié)最為豐富；使用半軟半硬閾值去噪后，邊緣特征提取所保留的圖像邊緣細(xì)節(jié)，要優(yōu)于硬閾值圖像去噪后的邊緣特征提取效果。三種方法進(jìn)行的圖像邊緣特征提取處理時(shí)間相近，主要原因是所采用的邊緣特征提取方法完全相同，也說明了無論采用什么方法進(jìn)行圖像去噪處理，后續(xù)的圖像特征提取在處理效率方面沒有明顯的區(qū)別，表2 統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)意義并不大。

4 結(jié)語

本文通過對小波圖像去噪算法進(jìn)行分析，以噪聲模型構(gòu)建為基礎(chǔ)，根據(jù)小波閾值函數(shù)的運(yùn)算原理，提出了基于硬閾值、軟閾值和半軟半硬閾值結(jié)合的圖像去噪算法，構(gòu)建的小波閾值函數(shù)具有四個(gè)特點(diǎn)，通過三個(gè)角度進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，結(jié)果表明本文算法具有一定的優(yōu)勢。本文研究的主要工作包括：

（1）構(gòu)建小波閾值去噪是依據(jù)預(yù)估的閾值進(jìn)行運(yùn)算的，其處理過程想達(dá)到完全去除圖像中的噪聲很難實(shí)現(xiàn)。

（2）小波閾值圖像去噪的流程為：帶噪聲的圖像進(jìn)行小波正變換→完成小波頻率分解→構(gòu)建小波閾值函數(shù)→使用閾值函數(shù)對小波系數(shù)進(jìn)行處理→對處理后的圖像進(jìn)行小波逆變換→重構(gòu)建變換后的圖像，得到去噪后的圖像。

（3）小波閾值函數(shù)的構(gòu)建，在閾值處具有連續(xù)性的條件，是防止圖像出現(xiàn)新噪聲的有效方法。

（4）以線性方程為基礎(chǔ)，建立閾值函數(shù)的線性變化標(biāo)準(zhǔn)，可以防止去噪閾值出現(xiàn)有等級區(qū)分的偏差。

（5）在噪聲與圖像信息之間進(jìn)行有效的平滑處理，可以將一些無法去除的噪聲無影響（或小影響）地融入圖像中。

（6）在小波域?qū)崿F(xiàn)圖像去噪處理，確保小波閾值函數(shù)可以進(jìn)行微分運(yùn)算，是簡化運(yùn)算量和確保閾值自主調(diào)整的重要前提。