閆 濤，章 宏，孫麗君

(1.煙臺職業(yè)學(xué)院 信息工程系，山東 煙臺 264670;2.江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 無錫 214122;3.煙臺職業(yè)學(xué)院 機(jī)械工程系，山東 煙臺 264670)

0 引 言

機(jī)床的整體精度取決于其伺服進(jìn)給系統(tǒng)的精度。目前，減少動(dòng)態(tài)進(jìn)給誤差的方案[1-3]主要有兩種：(1)通過具有模態(tài)阻尼的非線性自適應(yīng)控制器進(jìn)行反饋控制；(2)通過前饋控制來補(bǔ)償動(dòng)態(tài)誤差。

前饋控制方法不僅可以消除已知的伺服動(dòng)力學(xué)特性，而且可以消除非線性摩擦、俯仰誤差引起的負(fù)載等干擾。如果要補(bǔ)償?shù)膭?dòng)力學(xué)是采用因果、穩(wěn)定的模型進(jìn)行精確地表示，則前饋補(bǔ)償是安全有效的[4]。然而，實(shí)際上建模階段通常無法滿足上述要求，前饋補(bǔ)償器的增益是通過試錯(cuò)法手動(dòng)調(diào)節(jié)的[5-7]，導(dǎo)致耗費(fèi)大量的時(shí)間和人工成本。

近年來，研究人員開始嘗試使用參考軌跡生成來補(bǔ)償伺服滯后，以提高機(jī)器的加工性能。例如，Sencer等人[8]則使用數(shù)字軌跡預(yù)濾波器和外部軌跡命令輸入功能，來減少動(dòng)態(tài)進(jìn)給誤差；儲(chǔ)健等人[9]提出了一種適用于多軸微加工中心的軌跡生成及控制策略。但是，上述方法仍存在不少問題，例如跟蹤精度不夠理想、實(shí)施步驟較為復(fù)雜，或者對操作人員的專業(yè)知識要求較高等。

本文提出一種通過修正參考軌跡對動(dòng)態(tài)進(jìn)給誤差進(jìn)行預(yù)補(bǔ)償?shù)男路椒ǎ?1)通過固定結(jié)構(gòu)的數(shù)字預(yù)濾波器實(shí)現(xiàn)軌跡的預(yù)補(bǔ)償，并通過在環(huán)微調(diào)實(shí)現(xiàn)參數(shù)的自動(dòng)識別；(2)將機(jī)器特定軌跡預(yù)濾波器識別問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題，以實(shí)現(xiàn)快速、安全、可靠的自整定。

1 線性伺服動(dòng)力學(xué)的預(yù)補(bǔ)償

筆者所提出的軌跡修正策略的總體方案如圖1所示。

圖1 提出的軌跡修正策略

圖1中，參考軌跡xR由兩個(gè)預(yù)補(bǔ)償濾波器FN和FL修正。修改后的軌跡xM=xR+FN(xR)+FL(xR)隨后被發(fā)送到閉環(huán)伺服控制系統(tǒng)，以便最終的軸位置x完全跟隨命令xR；預(yù)補(bǔ)償濾波器FL(·)用于消除進(jìn)給中線性閉環(huán)動(dòng)力學(xué)引起的影響；而FN(·)則是在速度反轉(zhuǎn)過程中，通過偏移參考軌跡來消除非線性粘滑摩擦引起的誤差。

機(jī)床進(jìn)給大多由串級控制器或PID控制器控制，這些控制器需要經(jīng)過仔細(xì)調(diào)整，以避免激起結(jié)構(gòu)共振[10]。因此，典型的進(jìn)給跟蹤響應(yīng)主要由剛體結(jié)構(gòu)G(s)和反饋控制器C(s)的動(dòng)力學(xué)決定，在快速加減速過程中會(huì)產(chǎn)生較大的伺服誤差。

如采用預(yù)濾波FL(圖1)對原軌跡進(jìn)行修正，則其拉普拉斯域(s)的傳遞函數(shù)為:

(1)

式中：G(s)—?jiǎng)傮w結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)；C(s)—反饋控制器動(dòng)力學(xué)；KP，KD，KI—PID增益；m—未補(bǔ)償質(zhì)量；b—粘性摩擦力；GCL(s)—環(huán)伺服動(dòng)力學(xué)。

上述預(yù)過濾結(jié)構(gòu)滿足2個(gè)關(guān)鍵假設(shè)：(1)分子僅按未補(bǔ)償質(zhì)量(m)和粘性摩擦力(b)量放大原始加速度和速度曲線；(2)分母試圖補(bǔ)償反饋控制器。

從單個(gè)閉環(huán)跟蹤實(shí)驗(yàn)中自動(dòng)識別初始預(yù)濾波參數(shù)，機(jī)床執(zhí)行簡單的來回軌跡指令，并記錄產(chǎn)生的誤差eL。其誤差動(dòng)力學(xué)受以下因素控制：

(2)

在伺服環(huán)路周期Ts處，筆者對式(2)進(jìn)行采樣，并且利用最小二乘(least square,LS)[11]擬合識別質(zhì)量歸一化(m)的預(yù)濾波器參數(shù)，即：

(3)

式中：ei，eii，eiii—誤差在0,…,M采樣點(diǎn)的數(shù)字積分。

在實(shí)際應(yīng)用中，上述傳遞函數(shù)擬合方法可能無法提供最合適的補(bǔ)償器參數(shù)。如果進(jìn)給驅(qū)動(dòng)受到強(qiáng)烈的非線性導(dǎo)軌摩擦，識別出的剛體參數(shù)可能會(huì)有偏差[12]，甚至預(yù)過濾軌跡可能會(huì)激發(fā)共振[13]。為了解決這些實(shí)際問題，筆者提出了一種在環(huán)微調(diào)方法，并對前置濾波器的分子進(jìn)行了更新。

在環(huán)微調(diào)原理如圖2所示。

圖2 在環(huán)微調(diào)原理

機(jī)床由圖2(a)所示的數(shù)控加工NC代碼控制(不停車)。對預(yù)濾波參數(shù)進(jìn)行更新，使加速度瞬變附近的跟蹤誤差最小，消除了非線性摩擦偏差，同時(shí)抑制了高階誤差動(dòng)態(tài)的激勵(lì)。這可以通過以下優(yōu)化問題來假設(shè)：

(4)

式中：eL—跟蹤誤差向量。

通過求解式(4)實(shí)現(xiàn)參數(shù)自動(dòng)更新。這是一個(gè)凸優(yōu)化問題，所以利用其成本函數(shù)的梯度(雅可比矩陣)和正定Hessian矩陣，能夠快速、安全地搜索到全局最小值。

(5)

此處通過簡單地利用牛頓的二階迭代方案來更新濾波器參數(shù):

(6)

式中：α—學(xué)習(xí)增益；k—迭代次數(shù)。

2 非線性預(yù)濾波器的補(bǔ)償

在速度反轉(zhuǎn)時(shí)，由摩擦引起的誤差最為明顯[14]，并且可以從閉環(huán)動(dòng)力學(xué)中預(yù)測為：

(7)

式中：α—由FN(·)生成的預(yù)補(bǔ)償命令；fF—非線性摩擦擾動(dòng)。

下面描述如何從閉環(huán)實(shí)驗(yàn)中自動(dòng)(自適應(yīng)地)識別非線性粘/滑摩擦，并通過軌跡預(yù)濾波器FN(·)產(chǎn)生的預(yù)補(bǔ)償信號來消除非線性粘/滑摩擦。

廣義麥克斯韋滑移(generalized Maxwell slip，GMS)模型[15]可以較好地分析粘滑(stick-slip)運(yùn)動(dòng)。但是，其必須手動(dòng)調(diào)整或使用非線性優(yōu)化來補(bǔ)償或消除摩擦干擾。為了便于自動(dòng)調(diào)整，筆者提出了一種改進(jìn)的GMS模型其模型函數(shù)的計(jì)算方式：

(8)

式中：K—麥克斯韋滑移塊的數(shù)量(見圖3)；ki—第i塊在粘合時(shí)的彈簧系數(shù)；zi—局部微平移；Pi—分離(粘滯)距離。

改進(jìn)的GMS模型如圖3所示。

圖3 改進(jìn)的GMS模型

當(dāng)塊體經(jīng)歷局部微平移時(shí)，它們只有在超過其分離(粘滯)距離Pi時(shí)才會(huì)滑動(dòng)。上述改進(jìn)的GMS模型與傳統(tǒng)模型的根本區(qū)別在于，本文的粘滑條件是由分離距離而不是分離作用力決定的；驅(qū)動(dòng)器的粘滯距離范圍為10 μm ～100 μm，可以從簡單的跟蹤實(shí)驗(yàn)中觀察到。

因此，式(8)可以用簡單的線性矩陣-向量形式來表示：

(9)

式中：k—彈簧常數(shù)矩陣，k=[k1,…,kK]T；A—彈簧激活矩陣。

彈簧激活矩陣A包含每個(gè)單獨(dú)塊的粘滑速度vR。

彈簧激活矩陣A的示意圖如圖4所示。

圖4 彈簧激活矩陣(A)示意圖

A的每一列表示單個(gè)滑移塊在速度反轉(zhuǎn)期間的粘滑運(yùn)動(dòng)學(xué)，A矩陣由參考軌跡生成，且與速度反向有關(guān)；結(jié)合彈簧常數(shù)后，可以捕獲由摩擦引起的遲滯行為。

確定GMS彈簧常數(shù)以補(bǔ)償(最小化)摩擦誤差，由以下優(yōu)化問題假設(shè)，即：

(10)

式中：ev—速度反轉(zhuǎn)前后記錄的跟蹤誤差向量。

與上一節(jié)類似，式(10)描述了JN的優(yōu)化問題，并且可以利用其梯度和Hessian矩陣來求解。通過將式(9)導(dǎo)入式(7)，可過濾測量的跟蹤誤差數(shù)據(jù)，即:

(11)

為了安全地訓(xùn)練摩擦預(yù)補(bǔ)償器參數(shù)FN，筆者使用在環(huán)微調(diào)進(jìn)行牛頓迭代，即：

(12)

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)配置

筆者在科爾直線電機(jī)驅(qū)動(dòng)數(shù)控機(jī)床SML193上對所提出的方案進(jìn)行了測試。

實(shí)驗(yàn)環(huán)境如圖5所示。

圖5 實(shí)驗(yàn)環(huán)境

圖5中，電機(jī)連續(xù)推力為535 N，最大推力為1 000 N；使用美國DeltaTau公司的系統(tǒng)，其中，X軸和Y軸由串級控制器(帶手動(dòng)調(diào)節(jié)前饋補(bǔ)償器)控制，兩個(gè)軸分別以50 mm·s-1和100 mm·s-1的速度來回移動(dòng)；運(yùn)動(dòng)控制器α設(shè)置為0.75，參考軌跡和誤差曲線以1 kHz記錄；試驗(yàn)刀具為硬質(zhì)合金銑刀，刀具直徑為500 μm，銑刀螺旋角為30°；試驗(yàn)工件材料為304不銹鋼。

3.2 伺服動(dòng)力學(xué)的補(bǔ)償結(jié)果

伺服動(dòng)力學(xué)的補(bǔ)償結(jié)果如圖6所示。

圖6 伺服動(dòng)力學(xué)的補(bǔ)償結(jié)果

圖6中，跟蹤誤差的峰值出現(xiàn)在參考軌跡的加速段附近；所提出的軌跡預(yù)濾波是通過使用式(3)和式(6)，在同一軌跡上調(diào)整(訓(xùn)練)預(yù)濾波器FL來實(shí)現(xiàn)的。

對象函數(shù)JL的迭代過程如圖7所示。

圖7 對象函數(shù)JL的迭代過程

從圖7可以看出：在5次～6次迭代時(shí)，就可以確定最佳濾波器參數(shù)，并且跟蹤誤差減小到小于±3 μm。

剩余的跟蹤誤差是由非線性摩擦干擾引起的，筆者將在后續(xù)實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行消除。

3.3 預(yù)濾波器的補(bǔ)償結(jié)果

在同一臺數(shù)控機(jī)床上，筆者對所提出軌跡預(yù)濾波方案的摩擦補(bǔ)償效果進(jìn)行了測試。

移動(dòng)速度為50 mm·s-1時(shí)，螺旋曲線刀具軌跡如圖8所示。

圖8 螺旋刀具路徑

在主軸轉(zhuǎn)速為6 000 r·min-1，每齒進(jìn)給量為0.1 mm·z-1時(shí)，輪廓誤差隨對銑削速度變化的結(jié)果如表1所示。

表1 銑削速度對輪廓誤差的影響

在主軸轉(zhuǎn)速為6 000 r·min-1，銑削速度為90 m·min-1時(shí)，輪廓誤差隨對每齒進(jìn)給量變化的結(jié)果如表2所示。

表2 每齒進(jìn)給量對輪廓誤差的影響

從表1和表2可以看出：使用參考軌跡修正后的輪廓誤差得到了明顯降低。

每齒進(jìn)給量為0.1 mm·z-1且銑削速度為90 m·min-1時(shí)，輪廓誤差曲線如圖9所示。

圖9 輪廓誤差曲線

從圖9看出：在第16次迭代后，將自動(dòng)識別粘滑滯后曲線，并修正參考軌跡以完全消除象限毛刺，最終將輪廓誤差從10 μm下降至1 μm。

一旦訓(xùn)練完畢，軌跡補(bǔ)償濾波器就可以在任何軌跡上使用，以增強(qiáng)輪廓的加工性能。

4 結(jié)束語

本文提出了一種新的誤差預(yù)補(bǔ)償方案，通過修正參考軌跡來補(bǔ)償閉環(huán)伺服和粘滑摩擦引起的誤差。

首先對參考軌跡的速度和加速度曲線進(jìn)行了調(diào)制；然后對參考位置曲線進(jìn)行了修正；得到了最優(yōu)誤差補(bǔ)償，并對其參數(shù)進(jìn)行了自動(dòng)調(diào)整；最終在多軸進(jìn)給系統(tǒng)中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：該方案大大提高了機(jī)床的動(dòng)態(tài)精度，將輪廓誤差從10 μm下降至1 μm；此外，該方案可以在機(jī)器沿已知刀具軌跡運(yùn)行時(shí)動(dòng)態(tài)調(diào)整，無需復(fù)雜的專業(yè)知識，并通過基于迭代學(xué)習(xí)和凸優(yōu)化的整定問題，實(shí)現(xiàn)了安全可靠的自動(dòng)整定。

在下一階段，筆者將嘗試在不同種類機(jī)床上進(jìn)行加工精度測試，以便對所提出的方法進(jìn)行進(jìn)一步的驗(yàn)證。