張新啟， 龔愛民， 徐興倩， 羅聰聰， 謝 非

（云南農(nóng)業(yè)大學(xué)水利學(xué)院，昆明 650201）

邊坡安全系數(shù)的計算是評價其穩(wěn)定性的基本依據(jù)，極限平衡分析方法仍是邊坡防治工程中獲取安全系數(shù)的主流方法. 其中，瑞典圓弧法具有簡單有效，易于編程的優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于滑面為圓弧形的土質(zhì)邊坡滑動面分析［1］. 采用該方法計算邊坡安全系數(shù)，最關(guān)鍵的問題是如何從大量可行的計算滑動面中展開精準(zhǔn)搜索，并最終確定可靠的邊坡臨界滑動面. 因此，邊坡臨界滑面搜索方法的優(yōu)化研究對于邊坡穩(wěn)定性分析及防治具有重要意義.

目前，主流數(shù)值計算軟件對圓弧滑面的搜索模塊均使用的區(qū)格法，如SLIDE、STABL、SLOPE/W（Geostudio）等. 該方法通過n×n點的正方形網(wǎng)格確定臨界滑面中心點的位置，計算不同區(qū)格點及其半徑增量，從而定位安全系數(shù)最小的圓弧面［2］. 區(qū)格法在邊坡圓弧滑動面搜索中應(yīng)用廣泛，求解嚴(yán)格，但該方法搜索范圍廣、計算量大、受區(qū)格劃分精度影響不能保證其得到的破壞面就是全局最小值［3］. 因此，搜索空間存在多個局部最小點是定位邊坡臨界滑面研究的難點問題.

針對此問題，許多學(xué)者借助優(yōu)化算法開展邊坡臨界滑面的定位研究. 國內(nèi)外最常用的方法有遺傳算法［4-5］、模擬退火算法［6-7］、蟻群算法［8-9］、粒子群算法［10］、魚群算法［11］等，以上方法均有其各自的優(yōu)勢，但同樣也存在些許不足. 例如：遺傳算法易于早熟陷入局部最優(yōu)解，對新空間的探索能力有限；模擬退火算法全局搜索性能受初始值設(shè)置影響較大，收斂速度慢；蟻群算法對原始信息素依賴大，容易出現(xiàn)停滯現(xiàn)象.Dan Simon2008 年首次提出生物地理學(xué)優(yōu)化算法（Biogeography-based optimization），是一種利用物種在不同區(qū)域內(nèi)的遷移與突變從而達到平衡的隨機優(yōu)化算法［12］，綜合了遺傳算法與粒子群算法的優(yōu)點，善于解決高維度非線性問題，但仍存在收斂速度不夠快，探索能力有限等局限性.

本文在傳統(tǒng)生物地理學(xué)算法的基礎(chǔ)上提出了一種改進的MBBO（Modified Biogeography-based optimization）算法. 以典型土坡為算例，將瑞典圓弧法中安全系數(shù)的計算表達式設(shè)定為目標(biāo)函數(shù)，通過在遷移過程中引入隨機拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，實現(xiàn)對邊坡臨界滑動面的優(yōu)化搜索. 該方法計算結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)生物地理學(xué)算法、區(qū)格搜索法、遺傳算法、粒子群算法相比，其收斂速度快、全局搜索性能更佳.

1 建立目標(biāo)函數(shù)

瑞典圓弧法作為早期的條分法，忽略了土條兩側(cè)的作用力，默認(rèn)破壞面為圓弧形，通過土條整體力矩平衡求解安全系數(shù)［13］. 在不考慮孔隙水壓力的情況下其計算公式為：式中，ci、φi為第i 塊土條的黏聚力與內(nèi)摩擦角，hi、αi為第i 塊土條的平均高度與底面水平傾角，γ 為土條重度，b 為土條寬度.

為保證BBO算法的順利執(zhí)行，現(xiàn)以安全系數(shù)F為適應(yīng)度函數(shù)，基于圓心點（a，b）及半徑R 進行推導(dǎo). 如圖1 所示，假定以圓心O（a，b）與半徑R決定的圓弧與邊坡的左右交點分別為點A（xout，yout）、B（xin，yin），坡表函數(shù)為y=g( x )，將滑動土體分為n個條塊，沿X軸正方向?qū)γ總€土條的中點取值，其坐標(biāo)分別為Pi(xi,yi)，( i=1,2,…,n ). 則有：

基于幾何學(xué)導(dǎo)出切片底面水平傾角，如圖2 所示，可推導(dǎo)出第i 塊土條平均長度h 與底面傾角α：

圖1 瑞典圓弧法計算模型Fig.1 Swedish arc method calculation model

圖2 切片示意圖Fig.2 Section diagram

由此，建立了以圓心O坐標(biāo)與半徑R為自變量決定的目標(biāo)函數(shù)，尋優(yōu)函數(shù)可以表示為：

2 BBO算法原理

2.1 基本思路

BBO 算法起源于生物地理學(xué)，它通過模擬多物種在不同棲息地的分布、遷移、突變等規(guī)律求解尋優(yōu)問題，在多目標(biāo)規(guī)劃領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用［14］. 棲息地被認(rèn)為是獨立的區(qū)域，不同的棲息地?fù)碛胁煌倪m宜指數(shù)HSI（Habitat suitability index）. HSI較高的棲息地物種豐富度較高，隨著種群趨于飽和，其遷出率增高，遷入率減少，而HIS較低的棲息地與之相反，遷入率增高，遷出率減少. 當(dāng)棲息地遭遇災(zāi)害或瘟疫等突發(fā)事件時，HIS將隨之突變，打破動態(tài)平衡，為低HIS的棲息地添加了不可預(yù)見性，增大了搜索目標(biāo)解的幾率.

2.2 遷移和突變操作

物種的遷移有其具體的物理模型，最常的有線性模型、二次模型、余弦模型等. 以圖3 線性模型為例，當(dāng)某棲息地物種數(shù)目為0時遷入率最高，此刻λ=I，隨著遷入物種數(shù)目不斷增加，受陽光、水、食物等資源限制，遷入率不斷降低，遷出率不斷增高. 當(dāng)棲息地物種數(shù)目為S0時，恰好達到動態(tài)平衡，此時遷出率與遷入率相同. 而棲息地達到飽和狀態(tài)時，物種數(shù)量達到最大值Smax，此刻不再有物種遷入，遷出率μ=E.

突變操作基于生物地理學(xué)統(tǒng)計公式完成：

圖3 物種遷移模型Fig.3 Species migration model

式中：ms為棲息地發(fā)生突變的概率，mmax為最大突變率，用戶可自行設(shè)定. ps為棲息地容納s 種物種的概率，pmax代表容納最大種群的概率.

3 改進的BBO算法

3.1 基于隨機結(jié)構(gòu)遷移的MBBO算法

標(biāo)準(zhǔn)的BBO算法使用的是全局拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，在任意兩個棲息地之間均有可能發(fā)生遷移操作，如果種群中最優(yōu)棲息地陷入了局部最優(yōu)，其信息有較大概率不斷遷移給其他棲息地，從而導(dǎo)致算法整體陷入局部最優(yōu).

為解決這個問題，本文提出了改進的BBO算法，即MBBO算法. 將隨機拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)引入標(biāo)準(zhǔn)BBO算法，可以根據(jù)不同需要設(shè)置拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中鄰域的平均規(guī)模K（0

3.2 MBBO算法計算流程

1）問題參數(shù)設(shè)置：變量維度及上下界取值；

2）算法參數(shù)設(shè)置：棲息地數(shù)目n、種群最大容量Smax、最大遷入率I/E、最大變異率M；

3）評估給定棲息地的適宜指數(shù)HIS：計算該棲息地的種群數(shù)、遷出率與遷入率；

4）遷移操作：基于隨機拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)得到遷入率λ與遷出率μ，對適宜度向量SIV進行修正，重新計算適宜指數(shù)；

5）突變操作：基于突變率更新棲息地種群及適宜指數(shù)；

6）采用精英選擇策略，繼續(xù)迭代，直到達到最大迭代次數(shù)，如圖4所示.

4 算例分析

圖4 求解流程圖Fig.4 Solution flow chart

4.1 均質(zhì)土坡模型

引用某個坡比為1∶2的典型均質(zhì)土坡為例［15］，該算例的幾何模型如圖5所示，其力學(xué)基本參數(shù)為：黏聚力c為9.8 kPa，內(nèi)摩擦角φ 為10°，容重γ 為17.64 kN/m3，不考慮孔隙水壓力影響.

對土坡利用傳統(tǒng)的區(qū)格法進行分析，采用RocScience Slide軟件計算搜索滑弧面. 搜索域由程序給定的正方形組成，網(wǎng)格點數(shù)設(shè)置為21×21共441個，計算得到的最小安全系數(shù)為1.247，搜索得到的土坡臨界滑動面如圖6所示.

4.2 MBBO算法搜索臨界滑動面對比分析

對遺傳算法（GA）、粒子群算法（PSO）、生物地理學(xué)算法（BBO）、改進的生物地理學(xué)算法（MBBO）的搜索性能進行分析比較，在經(jīng)過連續(xù)多次迭代后分別得到各自的收斂值. 尋優(yōu)曲線如圖7所示. 最小安全系數(shù)見表1.

圖5 均質(zhì)土坡模型Fig.5 Homogeneous soil slope model

表1 不同算法求解結(jié)果對比Tab.1 The results of different algorithms

圖6 區(qū)格法邊坡臨界滑面搜索Fig.6 Grid search critical surface

從圖7 可以看出，遺傳算法與BBO 算法求解的最小安全系數(shù)十分相近，求解精度略高于區(qū)格法，但兩者的收斂速度較慢，相比之下，粒子群算法表現(xiàn)出較好的尋優(yōu)能力與收斂速度. 改進后的BBO算法在20代左右達到收斂，迭代求解得到的安全系數(shù)全局最小，表現(xiàn)出最好的尋優(yōu)能力，同時收斂速度相比標(biāo)準(zhǔn)BBO 算法顯著提高. 各算法迭代過程中用于推導(dǎo)最小安全系數(shù)的參數(shù)列于表2、3、4、5.

各算法求解得到的圓弧面位置及其圓心點與半徑如圖8 所示. 從圖8 中可以看出，不同算法求解得到的滑面位置均較為接近，側(cè)面反映出圓心搜索域中確實存在有多個局部最小點，而改進的生物地理學(xué)算法表現(xiàn)出了最好的優(yōu)化性能，求解得到的安全系數(shù)最小，其相應(yīng)的臨界滑面也最接近于全局最優(yōu)值.

圖7 迭代求解示意圖Fig.7 Schematic diagram of optimal curve

表2 MBBO算法在不同迭代次數(shù)時求解參數(shù)Tab.2 Results for minimum Fos achieved by MBBO over different iterations

表3 BBO算法在不同迭代次數(shù)時求解參數(shù)Tab.3 Results for minimum Fos achieved by BBO over different iterations

表4 GA算法在不同迭代次數(shù)時求解參數(shù)Tab.4 Results for minimum Fos achieved by GA over different iterations

表5 PSO算法在不同迭代次數(shù)時求解參數(shù)Tab.5 Results for minimum Fos achieved by PSO over different iterations

圖8 不同方法求得臨界滑面示意圖Fig.8 Schematic diagram of critical sliding surface is obtained by different methods

5 結(jié)論

1）通過對生物地理學(xué)算法的遷移過程引入隨機拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)從而提出了一種改進的生物地理學(xué)算法，不僅提高了原始BBO算法的全局搜索性能，其迭代時長也有了明顯下降.

2）通過對某個典型土坡的安全系數(shù)進行求解，與傳統(tǒng)的區(qū)格法及遺傳算法和粒子群算法相比，改進的生物地理學(xué)算法尋優(yōu)能力最好，求解得到的安全系數(shù)最低.

3）文中僅對滑面為圓弧形的均質(zhì)土坡進行了搜索求解. 對于非均質(zhì)邊坡、非圓弧滑面，該算法的求解能力仍需進一步探討.