王 曄，胡 聰，趙建平，徐 娟

（曲阜師范大學，山東 曲阜 273165）

0 引言

天線是通信系統(tǒng)中不可缺少的組成部分。隨著5G通信技術的快速發(fā)展，對于跨頻段組網(wǎng)提出了更高的要求，多頻段的天線高效優(yōu)化成為研究重點。然而利用傳統(tǒng)的空間映射方法[1]對天線進行優(yōu)化時，找到能夠與其相對應的等效電路模型是非常困難的。因此，找到一種簡單快速的方法來構建可靠的空間映射所需的粗模型顯得十分重要。

鑒于此，本文提出采用響應面近似算法來構造粗模型，使用包含細模型與粗模型信息的替代模型的流形空間映射方法，在解決了傳統(tǒng)優(yōu)化方法建立等效電路的困難的同時，省去了參數(shù)提取的過程，進而大大提髙了算法的優(yōu)化效率。

1 結合響應面近似法的流形映射

1.1 流形映射

空間映射方法是由John W.Bander等人在1994年第一次提出的[2]，它是一種將電磁場與電路計算相結合的電磁優(yōu)化算法，兼具了場計算的準確性和路計算的快速性。

一個微波器件的結構在空間映射算法中同時被用作兩種模型表示。一種是粗模型，其仿真速度快，但結果并不精確；另一種是細模型，其仿真精度高，但是十分耗時[3]。其核心思想是[4]：假設粗細模型之間存在著一定的對應關系，通過這種關系把對復雜并且耗時的細模型的直接優(yōu)化轉化為對簡單快速的粗模型的優(yōu)化和更新，而細模型僅僅是用來作為驗證優(yōu)化結果是否滿足要求的。因此，對于復雜的、耗時的細模型而言，可以將其轉化為對粗模型的優(yōu)化和更新，從而達到高效優(yōu)化設計的目的。

空間映射方法的優(yōu)化問題定義為[5]：

式中，Rf∈Rm×1是細模型的m個響應矢量，m代表頻率點；U是選取的目標函數(shù)；是細模型參數(shù)的待定優(yōu)化向量，且取值是唯一的；xf=Rn×1代表由n個參數(shù)組成的參數(shù)向量。

流形空間映射（Manifold Mapping）方法[6]在包括粗模型和細模型的同時，構造了一個可供選擇的替換模型。該模型作為整個過程的優(yōu)化對象，同時包含了粗模型和細模型的信息。在解決了傳統(tǒng)空間映射算法中不收斂的問題的同時，因為沒有了參數(shù)提取過程，進而能夠大大提高優(yōu)化效率。

精度高的細模型仿真耗時長，要求配置很高的CPU等硬件資源。因此，直接優(yōu)化目標函數(shù)對于內存等資源的消耗是很難容忍的。為了達到提高優(yōu)化設計效率的目的，并不直接對式（1）進行處理，而是找到對應的替代模型[7]：

1.2 基于響應面近似的粗模型

響應面法（Response Surface Methodology，RSM）是一種將數(shù)學與統(tǒng)計方法結合的優(yōu)化算法，它是由Box和Wilson于20世紀50年代提出來的[8]。如果響應y是關于多個設計變量（xi）的函數(shù)，在已有觀察數(shù)據(jù)的基礎上，響應曲面y可近似表示為y=f(x)的函數(shù)。其中f為設計目標的近似函數(shù)，代表響應面，建立了設計參量與目標響應之間的映射關系，不需要對模型進行新的仿真。通過借助給定的設計參量來預測響應值。為了克服粗模型離散性的不足，使用Kriging插值法構建粗模型，提高了算法的效率。

1.3 結合響應面近似法的流形映射優(yōu)化流程

（1）優(yōu)化粗離散模型Rcd，找到流形映射算法的初始點x(0)。

（2）以x(0)為中心在一定范圍內隨機采樣N個基礎設計點，形成集合XB={x1,x2,…,xN}。

（3）對集合XB中的每一個設計值進行粗離散模型仿真。

（4）利用{xj,Rcd(j)}j=1,2,…,N，通過kriging插值方法構建粗糙模型Rc。

（5）設置i=1，并令

（8）判斷是否滿足條件，如果不滿足重復步驟6。

（9）滿足終止條件，算法結束。

2 跨頻段雙頻天線優(yōu)化實例

天線優(yōu)化性能指標：

本文所要優(yōu)化的跨頻段雙頻天線結構俯視圖和側視圖如圖 1所示[9]。雙頻天線貼片由一個小的圓形貼片和一個帶有扇形槽的雙環(huán)帶狀貼片組成。其枝節(jié)是由4個H型微帶連接構成。該貼片印刷在介電常數(shù)為εr=4.5，損耗正切角tanδ=0.001的矩形TP-2介質基板上。其厚度為h=1.5mm，基板長為L=19mm。借助外側雙環(huán)帶狀貼片實現(xiàn)低頻輻射，高頻部分則是采用半徑為r1的圓形貼片實現(xiàn)。饋電點與圓形貼片圓心之間的距離為c，探針穿過基板直接對小微帶分支進行饋電。此雙頻天線采用單端口饋電，當饋源頻率與低頻圓片的諧振頻率相同時，激發(fā)低頻輻射；當饋源頻率與外側雙環(huán)帶狀貼片頻率相同時，激發(fā)高頻輻射，從而實現(xiàn)單端口饋源的雙頻輻射。下層矩形基板材料為FR4，基板長為L1=21mm，厚度為h1=2.5mm。在下層基板的兩面印有銅層作為天線的接地。

該天線的性能主要與內環(huán)帶r3、r2，H型寬度s與中心點間距d，饋點與中心點間距c有關。因此，選取細模型的設計參數(shù)為內環(huán)帶r3、r2，H型寬度s與中心點間距d，饋點與中心點間距c，即xf=[cd r2r3s]（單位：mm）。

圖1 跨頻段雙頻天線結構

利用HFSS軟件仿真，粗模型網(wǎng)格數(shù)目為5 292，仿真時間為32 s；細模型網(wǎng)格數(shù)目為38 972，仿真時間為7 min。

使用流形空間映射算法，經(jīng)過了3次優(yōu)化迭代過程。算法第j次迭代所產(chǎn)生的細模型預測參量的細模型空間映射為，j=1、2、3如圖2所示。

經(jīng)過三次迭代后，細模型仿真結果優(yōu)于設計性能，中心頻率為5.34 GHz和26.9 GHz，工作頻段為5.28～5.4 GHz和26.26～27.52 GHz，細模型未來在5G通信跨頻段組網(wǎng)中具有重要的現(xiàn)實意義。

圖2 3次迭代天線細模型的響應結果

表1給出了細模型的設計參量的迭代數(shù)據(jù)。

表1 設計參量的迭代數(shù)據(jù)

3 結語

本文提出了一種基于響應面近似的流形映射優(yōu)化方法，通過構造響應面解決粗模型等效電路難以尋找的問題；采用流形映射代替?zhèn)鹘y(tǒng)空間映射的方法，沒有了參數(shù)提取的過程，大大節(jié)省了此過程所需要的時間。進一步通過對跨頻段雙頻天線的優(yōu)化，說明了該方法的可行性。