馬啟成

（海軍工程大學(xué)，湖北 武漢 430032）

0 引言

近年來，由于雷達(dá)和通信在硬件和軟件上的相似性，其減少了許多電磁干擾問題，雷達(dá)與通信的一體化得到了越來越多的關(guān)注。但為了提高集成性能，有必要研究集成信號。然而，由于資源有限，它面臨著一些挑戰(zhàn)，包括波形、帶寬、收發(fā)器等。許多研究者研究了這些資源的設(shè)計(jì)和適當(dāng)分配。

參考文獻(xiàn)[6]利用加權(quán)脈沖序列，將Oppermann序列元素作為復(fù)值權(quán)值，推導(dǎo)了具有Oppermann 序列的加權(quán)脈沖序列的模糊函數(shù)的解析表達(dá)式。給出了一組Oppermann 序列，證明了相關(guān)的模糊度函數(shù)只依賴于一個序列參數(shù)。參考文獻(xiàn)[7]提出了一種用MSK 調(diào)制LFM 信號產(chǎn)生的兼容波形，主要探討了其模糊函數(shù)(Ambiguity Function，AF)以及波形參數(shù)對AF 的影響。通過增加比特?cái)?shù)可以獲得較接近圖釘形狀的雷達(dá)波形。參考文獻(xiàn)[8]提出了一種基于聯(lián)合FRFT-ML 的2FSK-LFM 復(fù)合信號估計(jì)新方法。推導(dǎo)了復(fù)合信號在傅立葉變換域的表示，估計(jì)了復(fù)合信號的線性調(diào)頻斜率和碼長。結(jié)合ML 方法，提出了一種高精度的局部搜索方法，并對復(fù)合信號的載波頻率進(jìn)行了估計(jì)。結(jié)合ML 方法，提出了一種高精度的局部搜索方法，并對復(fù)合信號的載波頻率進(jìn)行了估計(jì)。參考文獻(xiàn)[10-11]詳細(xì)介紹了MFSK調(diào)制解調(diào)的具體原理和誤碼率分析。

本文提出了一種結(jié)合雷達(dá)步進(jìn)頻率信號和通信MFSK 調(diào)制的信號模型。先分別分析了MFSK 調(diào)制的通信性能和步進(jìn)頻雷達(dá)的模糊函數(shù)性能，然后將步進(jìn)頻信號與MFSK 通信調(diào)制相結(jié)合生成MFSK-步進(jìn)頻雷達(dá)通信一體化波形。本文以M=2 為例，分別從雷達(dá)模糊函數(shù)、模糊度函數(shù)、時(shí)域和頻域步進(jìn)脈沖序列的主峰4 個角度，分析了2FSK-步進(jìn)頻雷達(dá)通信一體化波形的雷達(dá)模糊函數(shù)性能。

1 MFSK-步進(jìn)頻雷達(dá)通信一體化波形設(shè)計(jì)原理

1.1 2FSK 信號基本原理

二進(jìn)制頻移鍵控信號符號的“1”和“0”分別以兩個不同頻率的正弦波形發(fā)送。因?yàn)樗姆群统跏枷辔槐３植蛔儯酝ㄐ判盘柕膫鬏敳粫艿较辔浑S機(jī)抖動和幅度中隨機(jī)抖動的干擾[8]。其表達(dá)式如式（1）所示[9]。

在式（1）中，假定符號的初始相位分別為φ1和φ0。ω1=2πf1和ω0=2πf0是具有不同頻率的兩個符號的角頻率。A是常數(shù)，表示符號的包絡(luò)是矩形脈沖。使用頻率調(diào)制來生成2FSK 信號的方法如圖1 所示。它使用二進(jìn)制基帶矩形脈沖信號調(diào)制頻率調(diào)制器，然后輸出兩個不同頻率的符號。頻率調(diào)制器生成的2FSK 信號的相位在相鄰符號之間是連續(xù)的。使用切換開關(guān)來生成2FSK 信號的方法如圖2 所示。其原理是使用由基帶脈沖控制的開關(guān)電路來選擇兩個獨(dú)立頻率源的振蕩作為輸出，因此相鄰符號的相位不一定是連續(xù)的。

圖1 2FSK 信號的產(chǎn)生方法——調(diào)頻法

圖2 2FSK 信號的產(chǎn)生方法-開關(guān)法

1.2 2FSK 功率譜密度——開關(guān)法

可以將通過切換方法生成的2FSK 信號的符號序列視為兩個不同頻率的2ASK 信號的疊加。因此，可以簡單地從2ASK 信號的功率譜密度中得出功率譜密度[14]。

觀察式（3），發(fā)現(xiàn)2FSK 信號的功率譜密度包含兩個部分：連續(xù)譜和離散譜。前四項(xiàng)是連續(xù)頻譜部分，后四項(xiàng)是離散頻譜部分。2FSK 信號的功率譜密度曲線如圖3 所示。觀察圖3，發(fā)現(xiàn)當(dāng)2FSK信號的兩個頻率間隔比較小時(shí)，曲線只有一個峰值。較大時(shí)會出現(xiàn)雙峰。當(dāng)它大于2fc時(shí)，其雙峰被完全隔離。2FSK 信號的帶寬大約為Δf=|f1-f0|+2fc，這是在頻譜的第一個零點(diǎn)內(nèi)傳輸功率所需的帶寬。fc是2FSK 信號頻譜的中心頻率，稱為2FSK 信號的載波頻率。

圖3 FSK 信號的功率譜密度曲線（正頻率部分）

1.3 2FSK 調(diào)制的最小頻率間隔

如果f0和f1之間的間隔為2fc=2/T，顯然它們可以被過濾器完全分開（實(shí)際上，濾波器的過濾效果很難實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格的矩形窗口）。現(xiàn)在討論最小允許頻率間隔。原則上，如果兩個信號彼此正交，則可以將它們完全分離。為了滿足正交性條件，要求：

假設(shè)ω1+ω0=1。左端第1 項(xiàng)和第3 項(xiàng)近似等于0，因此其簡化：

在滿足條件的情況下，可得式（10）。當(dāng)m=1時(shí)，可得最小頻率間隔為1/T。

1.4 包絡(luò)檢波下2FSK 信號的誤碼率

2FSK 信號的接收分為兩種：相干接收和非相干接收。在無線電信道中，由于諸如噪聲之類的干擾，接收信號的相位不斷地隨機(jī)變化，這在實(shí)際中很難實(shí)現(xiàn)相干接收；相干解調(diào)方法需要生成具有相同頻率和方向的局部載波，因此比包絡(luò)檢測要復(fù)雜得多?？傊?FSK 信號的接收大多采用包絡(luò)檢測方法[10]，其檢測原理如圖4 所示。

由于n(t)是窄帶高斯過程，因此n(t)的表達(dá)式為[11]：

接收2FSK 信號的包絡(luò)檢測方法如圖4 所示。包絡(luò)線檢測方法中，整流器的輸出是經(jīng)過低通濾波后的輸入電壓的包絡(luò)線。發(fā)送符號“1”時(shí)，采樣判決器的兩個輸入電壓分別表示為：

式中，V1(t)是對應(yīng)頻率為f1的碼元通路的信號包絡(luò)；V0(t)是對應(yīng)頻率為f0的碼元通路的信號包絡(luò)。

圖4 2FSK 信號的包絡(luò)檢波原理圖

V1(t)服從廣義瑞利分布，V0(t)服從瑞利分布[12]。在抽樣時(shí)刻，若V1(t)的抽樣值V1小于V0(t)的抽樣值V0，則判決器將發(fā)生錯誤判決。誤碼率為：

根據(jù)Q函數(shù)的性質(zhì)，改寫式（15）為：

式中，r=z2=A2/2σn2為信噪比。

當(dāng)發(fā)送符號“0”時(shí)，錯誤發(fā)生的情況完全相同，因此2FSK 包絡(luò)檢測期間的總誤碼率如式（18）所示。包絡(luò)檢波下2ASK 的誤碼率為[13]。比較2FSK和2ASK 的誤碼率，發(fā)現(xiàn)為了獲得相同的誤碼率，2ASK 信號所需的功率比2FSK 信號的功率大3 dB。

1.5 多進(jìn)制頻移鍵控(MFSK)

多進(jìn)制頻移鍵控（Multibase Frequency-Shift Keying，MFSK）系統(tǒng)是2FSK 系統(tǒng)的簡單擴(kuò)展。在4FSK 中，使用4 個不同的頻率表示四元符號，每個符號包含2 bit 信息，如圖5 所示。此時(shí)，條件仍然與2FSK 中的條件相同，也就是說，每個載波頻率之間的距離必須足夠大，以使不同頻率的符號頻譜能夠被濾波器分開，或者使不同的符號彼此正交。由于MFSK 的符號使用M個不同頻率的載波，因此它占據(jù)了較寬的頻帶。如果f1是最低載波頻率，而fm是最高載波頻率，則MFSK 信號的帶寬大約等于fM-f1+Δf。其中，Δf是單個符號的帶寬，它取決于信號的傳輸速率。

圖5 4FSK 信號的調(diào)制原理

表1 4FSK 中頻率與符號的對應(yīng)關(guān)系

MFSK 信號非相干解調(diào)器的原理框圖如圖6 所示。這時(shí)，將有M個帶通濾波器用于分離不同頻率的M個符號。當(dāng)輸入某個符號時(shí)，M個帶通濾波器的輸出中只有一個是信號加噪聲。在其他道路上只有噪聲。現(xiàn)在假設(shè)M個通道帶通濾波器中的噪聲是相互獨(dú)立的窄帶正態(tài)分布噪聲，并且其包絡(luò)服從瑞利分布[16]，因此（M-1）個噪聲的包絡(luò)不超過確定的閾值水平h的概率為[1-P(h)]M-1，其中P(h)是濾波器的輸出噪聲包絡(luò)超過該閾值h的概率。根據(jù)瑞利分布公式，可以得出式（19），其中N是濾波器輸出噪聲的包絡(luò)，是濾波器輸出噪聲的功率[19]。

圖6 MFSK 非相干解調(diào)原理方框圖

假設(shè)（M-1）個噪聲的輸出噪聲包絡(luò)超過該閾值h，則不會發(fā)生錯誤的決定。因此，如果任何一個或多個噪聲輸出的包絡(luò)超過該閾值，判決器將發(fā)生錯誤的判決。式（20）中顯示了錯誤決策的可能性。顯然，它與閾值h有關(guān)。

信號經(jīng)過帶通濾波器的輸出電壓是信號和噪聲之和，因此其包絡(luò)服從廣義瑞利分布。在式（21）中，x是輸出信號和噪聲之和的包絡(luò)。A是輸出信號符號的幅度。是輸出噪聲功率。x是上限閾值h。換句話說，如果其他任何一條路徑的輸出電壓值超過信號路徑的輸出電壓值，那么將做出錯誤的判斷。因此，式（22）中將顯示錯誤決定的可能性。

將式（19）、式（20）和式（21）帶入式（22），得出計(jì)算結(jié)果如式（23）所示[17]，其中是二項(xiàng)式展開系數(shù)。式（23）是一個正負(fù)交替的多項(xiàng)式?？梢宰C明其第一項(xiàng)是其上界[18]，即式（24）。在式（24）中，A是信號幅度；是噪聲功率；E是能量的象征；是噪聲單邊帶功率譜密度；r是信噪比。由于r=krb，式（24）可用于獲得式（25）。在式（25）中，用M代替（M-1）/2，右端的值將增加，但是這種不等式仍然成立，因?yàn)椋钥梢缘玫绞剑?6）：

觀察式（26），當(dāng)k→∞時(shí)，Pe根據(jù)指數(shù)定律逼近0，但必須確保，即rb＞2ln2。

式（26）的條件要求信噪比rb＞1.39。在這種情況下，只要k足夠大，就可以獲得任意小的誤碼率。對于MFSK 系統(tǒng)，將占用更寬的帶寬以換取降低誤碼率。但是，隨著k的增加，設(shè)備的復(fù)雜性也成倍增加。因此，k的增加受到實(shí)際應(yīng)用條件的限制。

上面計(jì)算的是誤碼率，即符號錯誤概率?，F(xiàn)在來看符號錯誤率Pe和MFSK 信號的比特錯誤率Pb之間的關(guān)系。假設(shè)當(dāng)M元符號中發(fā)生錯誤時(shí)，它將隨機(jī)成為其他（M-1）個符號之一。由于M進(jìn)制信號具有M個不同的代碼元素，所以每個代碼元素包含k個比特，即M=2k。因此，在任何給定的比特位置，出現(xiàn)“1”和“0”的符號的一半，即出現(xiàn)“1”的符號是M/2 種，出現(xiàn)“0”的符號是M/2 種。在2 表中，M=8，k=3，任何列中有4 個“1”和“0”。因此，如果一個符號與另一個符號有誤，則在給定的位位置發(fā)生錯誤的概率僅為4/7。一般而言，在給定符號中，任何位位置的信息與其他2k-1-1 類型符號的相同位置的信息相同。同一位置的2k-1種代碼元素的信息不同。因此，在式（27）中示出了位錯誤率Pb和符號錯誤率Pe之間的關(guān)系。

當(dāng)k很大時(shí)，Pb≈Pe/2。

表2 M=8 時(shí)的碼元

1.6 步進(jìn)頻率隨機(jī)變化的MFSK-步進(jìn)頻信號

步進(jìn)頻率信號是雷達(dá)常用的大時(shí)間帶寬乘積信號，可以在不增加系統(tǒng)瞬時(shí)帶寬的情況下實(shí)現(xiàn)高范圍分辨率。MFSK-步進(jìn)頻率信號的調(diào)制解調(diào)原理圖如圖7 所示。具有相等間隔的步進(jìn)頻率信號的特征在于，每個子脈沖具有固定的頻率，相鄰脈沖之間的頻率間隔為固定的頻率差Δf，其信號由式（28）確定[20,23]。

在式（25）中，fn=f0+(n-1)Δf是第n個子脈沖頻率。在實(shí)現(xiàn)通信傳輸中，步進(jìn)頻率信號可以看作是特殊的MFSK 調(diào)制信號。步進(jìn)頻率信號的脈沖序列越多，MFSK 調(diào)制信號中的M值越大。當(dāng)步進(jìn)頻率信號的脈沖序列的數(shù)量等于N時(shí)，步進(jìn)頻率信號的脈沖序列的數(shù)量只能取對應(yīng)于2 的冪的數(shù)量。因?yàn)椴竭M(jìn)頻率信號在同一時(shí)間發(fā)送M個頻率脈沖，此時(shí)當(dāng)使用按頻率發(fā)送的不同通信符號時(shí)，無法知道哪個頻率對應(yīng)最先到達(dá)的通信符號，因此步進(jìn)頻率信號本身無法通過該頻率。

在2FSK 信號中，基本頻率為f0，f0=f-Δf，f1=f+Δf。當(dāng)基本頻率為0 時(shí)，2FSK 調(diào)制使用頻率差±Δf表示通信信息。根據(jù)這一思路，針對步進(jìn)頻率信號，設(shè)計(jì)了基于步進(jìn)頻率信號的MFSK 雷達(dá)通信的積分波形，并采用頻差法表示不同的通信信息。由于通信信號的隨機(jī)變化，相鄰信號之間的頻率差是隨機(jī)的。通過再增加一個脈沖序列來保持雷達(dá)帶寬不變，因此，發(fā)射脈沖序列的總數(shù)為N+1（最后一個頻率差不傳達(dá)脈沖信息）。當(dāng)M等于n1時(shí)，意味著步進(jìn)頻率信號的頻率差是從n1個頻率中隨機(jī)選擇的。不同的頻率差對應(yīng)于不同的通信符號。本文基于參考文獻(xiàn)[21]，提出了一種改進(jìn)的步進(jìn)頻率信號，如式（29）所示，其中k是任意正實(shí)數(shù)（可以是十進(jìn)制）。

1.7 MFSK-步進(jìn)頻信號的調(diào)制解調(diào)原理

觀察圖7，解調(diào)時(shí)每個帶通濾波器濾出得到一個頻率的信號，F(xiàn)FT 變換后觀察頻譜得到fi，根據(jù)fn-fn-1的差值來判斷通信輸出符號。以2FSK 為例，fn-fn-1在f0和f1中隨機(jī)取值。當(dāng)fn-fn-1=f1時(shí)，傳輸通信符號“1”；當(dāng)fn-fn-1=f0時(shí)，傳輸通信符號“0”。

圖7 MFSK-步進(jìn)頻率信號的調(diào)制解調(diào)原理圖

1.8 MFSK-步進(jìn)頻率信號的模糊函數(shù)

雷達(dá)模糊度函數(shù)的定義顯示在式（30）中，其中u(t)是信號的復(fù)數(shù)包絡(luò)[22]。頻率步進(jìn)信號將寬帶信號離散化為N個頻率點(diǎn)，N個脈沖形成一個幀，并且每個頻率點(diǎn)都單獨(dú)發(fā)送。本文為隨機(jī)步驟，將步驟設(shè)置為Δf，第n個脈沖載波頻率為fn，n個脈沖的組合帶寬為nΔf，脈沖重復(fù)周期為Tr，每個調(diào)頻子脈沖的寬度為τc，子脈沖帶寬為B，頻率步進(jìn)發(fā)射信號的歸一化表達(dá)式如式（31）所示。式（32）中顯示了MFSK 步進(jìn)頻率信號的模糊函數(shù)。令p=m-n，記住fp=fm-fn，簡化式（32）即可得到：

2 性能仿真

2.1 通信性能仿真

2FSK 的simulink 仿真原理圖和仿真圖如圖8和圖9 所示。2FSK 信號的調(diào)制原理圖如圖10 所示。觀察圖10 中的第2 張圖，發(fā)現(xiàn)FSK 調(diào)制是通過不同的頻率來傳輸不同的通信符號，其中符號“1”對應(yīng)的頻率大于符號“0”對應(yīng)的頻率。當(dāng)把LFM信號當(dāng)作FSK 調(diào)制對應(yīng)的載波時(shí)，信號的頻率會隨時(shí)間不斷發(fā)生變化，有可能出現(xiàn)符號“1”對應(yīng)的頻率大于符號“0”對應(yīng)的頻率，進(jìn)而導(dǎo)致錯誤的判決，因此從這點(diǎn)上看FSK 調(diào)制不適合采用LFM信號作為載波。AWGN 信道中2FSK 調(diào)制對應(yīng)的誤碼率曲線如圖11 所示。觀察圖11 中的仿真曲線，好的仿真效果驗(yàn)證了仿真的準(zhǔn)確性。

圖8 2FSK 的simulink 仿真原理圖

圖9 2FSK 的simulink 仿真圖

對應(yīng)于式（27）的理論誤碼率曲線如圖12 所示。圖中的橫坐標(biāo)為rb，它是每位能量與噪聲功率譜密度的比率。給定誤碼率，所需的rb隨著M的增大而減小，即所需的信號功率隨著M的增大而減小。但是，由于M的增大，MFSK 信號占用的帶寬也增大了，這相當(dāng)于將頻帶交換為功率。

基于隨機(jī)頻率差的MFSK-步進(jìn)頻信號的誤碼是由于頻率差過近導(dǎo)致帶通濾波器無法把其余頻率雜波濾除掉而產(chǎn)生的。這個誤碼產(chǎn)生的原理與MFSK 調(diào)制下誤碼產(chǎn)生的原理是一樣的，因此其誤碼率也是一樣的。由于雷達(dá)發(fā)射脈沖是不連續(xù)的，受制于雷達(dá)本身的特性，當(dāng)雷達(dá)發(fā)射脈沖間隔與脈沖持續(xù)時(shí)間一樣時(shí)，基于隨機(jī)頻率差的MFSK-步進(jìn)頻雷達(dá)通信一體化信號發(fā)射的通信信息比單個MFSK 通信系統(tǒng)發(fā)射的通信信息少一半。

2.2 雷達(dá)性能仿真

根據(jù)步進(jìn)頻率脈沖序列信號模糊度函數(shù)的具體表達(dá)式，可以分析其模糊特性。為了直觀地顯示分析結(jié)果，采用無單元雷達(dá)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真。

仿真參數(shù)：脈沖寬度τ=1 μs，脈沖重復(fù)周期Tr=5μs，脈沖周期數(shù)N=4，頻率步進(jìn)增量Δf=1MHz，時(shí)間軸間隔Δτ=0.1μs，頻率軸間隔Δfd=0.02MHz。

2.2.1 步進(jìn)頻雷達(dá)性能仿真

圖13～圖16 為步進(jìn)頻信號的雷達(dá)模糊函數(shù)。步進(jìn)頻率脈沖串信號的模糊圖由互不重疊的模糊帶組成。在整個時(shí)頻表面的分布步進(jìn)頻率脈沖串信號采用了離散線性調(diào)頻技術(shù)。從時(shí)頻面投影圖上可見到線性時(shí)間軸上脈沖寬度變窄，因此其距離分辨率得到提高。由于采用了脈沖串形式，步進(jìn)頻率信號的等效時(shí)寬增加到NT，提高了速度分辨率。

圖13 步進(jìn)頻信號的模糊函數(shù)

圖14 頻率步進(jìn)脈沖序列的模糊圖

圖15 頻率步進(jìn)脈沖序列時(shí)域中的主峰

圖16 頻率步進(jìn)脈沖串的頻域主峰

與相同雷達(dá)參數(shù)的恒定載頻脈沖串信號相比，在保持高速度分辨率的同時(shí)，步進(jìn)頻率脈沖串信號獲得更高的距離分辨率特性，并且其距離模糊旁瓣衰減更快。步進(jìn)脈沖串信號的這些特點(diǎn)加上小的瞬時(shí)帶寬使它成為高距離分辨率信號形式之一。

2.2.2 基于隨機(jī)頻率差的2FSK-步進(jìn)頻雷達(dá)性能仿真

圖17～圖20 為基于隨機(jī)頻率差的步進(jìn)頻信號的雷達(dá)模糊函數(shù)。由于通信符號的隨機(jī)變化，步進(jìn)頻率隨機(jī)變化，因此模糊函數(shù)的幅度隨機(jī)變化。對比圖13 和圖17，由于通信符號的隨機(jī)性影響，時(shí)域頻率步進(jìn)脈沖序列的旁瓣變得更大。對比圖16 和圖20 發(fā)現(xiàn)通信符號的隨機(jī)性不影響步進(jìn)脈沖序列頻域中的主峰和旁瓣。對比圖15 和圖19，發(fā)現(xiàn)隨機(jī)的通信符號會使時(shí)域步進(jìn)脈沖序列主峰旁的旁峰隨機(jī)變大。

圖17 隨機(jī)頻率差的頻率步進(jìn)脈沖序列的模糊函數(shù)

圖18 具有隨機(jī)頻率差的步進(jìn)脈沖序列的模糊

圖19 時(shí)域隨機(jī)頻率差頻率步進(jìn)脈沖序列的主峰

圖20 具有隨機(jī)頻率差的步進(jìn)脈沖序列頻域中的主峰

3 結(jié)語

不可否認(rèn)，一體化的雷達(dá)通信波形在性能上肯定劣于單個雷達(dá)和通信系統(tǒng)。在保證通信性能不變的條件下，本文設(shè)計(jì)步進(jìn)頻雷達(dá)-MFSK 雷達(dá)通信一體化波形可以有效地逼近雷達(dá)性能。

從調(diào)制雷達(dá)通信一體化信息的角度出發(fā)，本文提出了一種基于步進(jìn)頻率信號的一體化雷達(dá)通信波形。結(jié)合步進(jìn)頻率信號和頻移鍵控調(diào)制方法，建立了步進(jìn)頻率-MFSK 一體化信號模型。通過推導(dǎo)雷達(dá)通信一體化信號模糊函數(shù)χ(τ,ξ)，可以很明確地知道隨機(jī)通信信息的調(diào)制對一體化信號檢測性能的影響。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該波形解決了時(shí)分或頻分波形設(shè)計(jì)方法所造成的時(shí)寬和帶寬浪費(fèi)。隨機(jī)的通信信息對頻域步進(jìn)脈沖序列無影響，但是其對時(shí)域的步進(jìn)脈沖序列有負(fù)面的隨機(jī)影響。