楊牧沄 吳晉祿 黃潔潔 高嶧涵 高乃平

1 同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院

2 上海新型煙草制品研究院有限公司

多孔介質(zhì)是指由固體骨架和其構(gòu)成的孔隙空間所組成的一類復(fù)合介質(zhì)。與孔隙內(nèi)只有氣或液一相存在的飽和多孔介質(zhì)不同，非飽和多孔介質(zhì)孔隙內(nèi)同時(shí)存在氣液兩相，其應(yīng)用廣泛存在于食品干燥、熱泵系統(tǒng)、巖土工程、建筑材料、煙草制品等領(lǐng)域，其研究往往涉及兩相流動(dòng)，毛細(xì)壓力，流體相變和非線性孔隙空間等復(fù)雜機(jī)理。在不同的研究背景下，大量學(xué)者的研究?jī)?nèi)容往往具有不同的研究重點(diǎn)。王剛等[1]采用數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法，基于多孔介質(zhì)模型研究了蒸發(fā)器內(nèi)部速度，溫度和壓力分布，提出風(fēng)道結(jié)構(gòu)的優(yōu)化方向。Talih 等[2]建立了受熱多孔霧化芯的集總參數(shù)模型，得到加熱功率，液體組成和運(yùn)行參數(shù)對(duì)特定成分通量的影響規(guī)律。Ha 等[3]采用動(dòng)力學(xué)方法，建立了多孔纖維素在電加熱器內(nèi)的蒸發(fā)熱解的二維瞬態(tài)模型，數(shù)值模擬結(jié)果與經(jīng)典模型相比顯示模型具有優(yōu)勢(shì)。在現(xiàn)有文獻(xiàn)中，少見對(duì)非飽和多孔介質(zhì)內(nèi)發(fā)生的毛細(xì)輸運(yùn)和相變傳質(zhì)相耦合的研究。因此，本文以非飽和多孔介質(zhì)為研究對(duì)象，考慮介質(zhì)的毛細(xì)輸運(yùn)能力對(duì)孔隙內(nèi)液氣相變傳質(zhì)的影響，建立了毛細(xì)輸運(yùn)與相變傳質(zhì)耦合計(jì)算的數(shù)值模型，基于Matlab 軟件模擬并討論了不同加熱功率，液體組成和孔隙率下的非飽和多孔介質(zhì)傳質(zhì)特性。

1 數(shù)值模型

1.1 模型介紹

本文所研究的柱形多孔介質(zhì)總長(zhǎng)L，直徑D。介質(zhì)中央部分區(qū)域外有電熱絲纏繞（加熱區(qū)），加熱區(qū)長(zhǎng)度為L(zhǎng)h，電熱絲功率可控。作為液氣相變出口的柱形氣流通道與介質(zhì)中央垂直相交，通道直徑同樣為L(zhǎng)h，其中的空氣流速固定。多孔介質(zhì)事先被液體工質(zhì)浸潤(rùn)，液體工質(zhì)組成為純丙二醇（PG），純丙三醇（VG）以及兩者按1:1 體積比混合的溶液。當(dāng)孔隙內(nèi)的液體被氣化時(shí)，外部的液體工質(zhì)從多孔介質(zhì)兩端通過毛細(xì)作用自發(fā)向內(nèi)輸運(yùn)填充。為了確定多孔介質(zhì)的液體毛細(xì)輸運(yùn)能力的極限，需要進(jìn)一步研究工質(zhì)的軸向流動(dòng)過程。由于物理模型的幾何結(jié)構(gòu)存在對(duì)稱性，取多孔介質(zhì)無電熱絲纏繞區(qū)域（輸運(yùn)區(qū)）的一端進(jìn)行建模分析，模型示意圖如圖1 所示。

圖1 數(shù)值模型示意圖

圖1 中：Lt為多孔介質(zhì)輸運(yùn)區(qū)一端長(zhǎng)度，m；x 為所取微元體與加熱區(qū)邊界的軸向距離，m；h(x)為所取微元體視為液相連續(xù)體的液面高度，m；u 為液體毛細(xì)輸運(yùn)速度，m/s；為單位距離上的液體氣化質(zhì)量速率，kg/(m·s)，加熱區(qū)的液體氣化簡(jiǎn)化視為軸向平均分布；為單位距離上的液體輸運(yùn)質(zhì)量速率，kg/(m·s)。

1.2 控制方程

為便于計(jì)算，采用多孔介質(zhì)連續(xù)介質(zhì)假設(shè)和局部熱平衡假設(shè)[4]，多孔介質(zhì)視為剛性骨架，內(nèi)部孔隙均與外界環(huán)境連通且均勻分布，液相按不可壓縮流動(dòng)處理，氣相按飽和理想氣體處理，各相均為各向同性且采用常物性參數(shù)。

提取微元體進(jìn)行連續(xù)性分析，相應(yīng)的質(zhì)量守恒方程為：

式中：ρl為液體密度，kg/m3，混合液的密度取為各組分密度以組分質(zhì)量分?jǐn)?shù)乘積加權(quán)作和，其他混合參數(shù)的計(jì)算方法類似。

非飽和多孔介質(zhì)中液體的毛細(xì)流動(dòng)滿足達(dá)西定律[6]，即流動(dòng)驅(qū)動(dòng)力為液體流動(dòng)方向前后壓差，相應(yīng)的動(dòng)量方程表示為：

式中：μl為液體動(dòng)力粘度，N·s/m2；pl為孔隙內(nèi)液體壓力，Pa；K 為多孔介質(zhì)滲透率，m2?；贙ozeny[7]和Carman[8]的研究，多孔介質(zhì)滲透率與孔隙率、平均孔隙半徑rave和孔道彎曲因子τ 之間存在關(guān)聯(lián)式為：

而根據(jù)毛細(xì)壓力的定義，毛細(xì)壓力pc可表示為氣相壓力pg和液相壓力pl的壓力差。由于毛細(xì)壓力在這里提供液體流動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力，而氣相壓力與外界氣壓相等，因此多孔介質(zhì)內(nèi)毛細(xì)輸運(yùn)流動(dòng)的動(dòng)量方程可化為：

對(duì)于同一多孔介質(zhì)，毛細(xì)壓力可以通過Leverett提出的無因次函數(shù)J(s)與飽和度相關(guān)聯(lián)[9]，毛細(xì)壓力的飽和度關(guān)聯(lián)式為：

式中：σ 為氣液表面張力，N/m。

忽略殘余飽和度，無因次函數(shù)采用Udell[10]提出的經(jīng)驗(yàn)式為：

2 模擬條件及求解方法

2.1 邊界條件

1）多孔介質(zhì)的液體毛細(xì)輸運(yùn)入口處的具體邊界條件為：

2）多孔介質(zhì)的液體毛細(xì)輸運(yùn)出口同時(shí)也是液體發(fā)生受熱相變的地方，此處邊界條件應(yīng)滿足：

液體的毛細(xì)輸運(yùn)質(zhì)量速率可由式（3）代入下式可得到：

式中：hD為多孔介質(zhì)表面液體對(duì)流傳質(zhì)系數(shù)，m/s；ρg為液體蒸發(fā)產(chǎn)生的氣體密度，kg/m3；As為多孔介質(zhì)表面對(duì)流傳質(zhì)面積，m2；為液體汽化潛熱耗熱率，W；hfg為單位質(zhì)量液體汽化潛熱，J/kg；T 為液體溫度，℃；Tb為沸點(diǎn)溫度，℃。

液體在多孔介質(zhì)加熱區(qū)內(nèi)發(fā)生氣化換熱過程，液體升溫和氣化的能量來自于電熱絲輸入能量中排除熱損失的剩余部分，其中熱損失包括濕介質(zhì)與繞流空氣的對(duì)流換熱損失，濕介質(zhì)的軸向?qū)釗p失以及輻射損失。因此根據(jù)能量守恒方程有：

2.2 求解方法

采用Matlab 作為計(jì)算軟件，對(duì)上述控制方程采用有限差分法進(jìn)行離散，毛細(xì)輸運(yùn)過程的求解采用二階中心差分格式，液氣相變過程的求解采用一階前向差分格式[2]。液體質(zhì)量速率的計(jì)算精度為0.0001。為了確定多孔介質(zhì)毛細(xì)輸運(yùn)極限，即通過毛細(xì)作用可輸運(yùn)的最大液體質(zhì)量速率，經(jīng)過驗(yàn)算將處于毛細(xì)輸運(yùn)極限下多孔介質(zhì)內(nèi)飽和度最低值設(shè)定為30%。多孔介質(zhì)直徑3 mm，軸長(zhǎng)16 mm，其中加熱區(qū)長(zhǎng)度為8 mm，輸運(yùn)區(qū)一端長(zhǎng)度為4 mm。氣流通道直徑8 mm，空氣流速0.36 m/s。多孔介質(zhì)孔隙率實(shí)測(cè)平均值為44%，平均孔隙半徑為100，孔道彎曲因子為1。介質(zhì)固體骨架密度為500 kg/m3，比熱容為1275 J/(kg·K)，軸向熱導(dǎo)率0.049 W/(m·K)。介質(zhì)表面與繞流空氣的對(duì)流換熱系數(shù)8.5 W/(m2·K)，介質(zhì)輻射系數(shù)為5.67×10-8W/(m2·K4)。加熱時(shí)長(zhǎng)同時(shí)也是模擬總時(shí)長(zhǎng)為3 s。介質(zhì)和液體的初始溫度以及環(huán)境溫度均為10 ℃。數(shù)值模擬采用的液體物性參數(shù)如表1 所示。

表1 數(shù)值模擬采用的物性參數(shù)

3 計(jì)算結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證數(shù)值模型的準(zhǔn)確性，對(duì)五組不同加熱功率（1.36～9.09 W）下的三種液態(tài)工質(zhì)（PG，VG，PG 和VG 以1:1 體積比混合）的模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[11]進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算條件均與實(shí)驗(yàn)條件相同。一定加熱功率下平均氣化質(zhì)量速率的模擬與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖2 所示。圖2 中兩種模擬結(jié)果的差異在于是否有考慮毛細(xì)輸運(yùn)極限對(duì)相變傳質(zhì)的限制作用。模擬I 為不考慮毛細(xì)輸運(yùn)限制的模擬結(jié)果，模擬II 為考慮毛細(xì)輸運(yùn)限制的模擬結(jié)果。由圖2 可知，當(dāng)加熱功率小于6 W 時(shí)，兩種模型的結(jié)果相差不大，而當(dāng)加熱功率大于6 W 時(shí)，考慮毛細(xì)輸運(yùn)限制的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值更為吻合，而不考慮毛細(xì)輸運(yùn)限制的模型計(jì)算值要遠(yuǎn)大于實(shí)測(cè)值，說明較高加熱功率下，多孔介質(zhì)內(nèi)的液氣相變傳質(zhì)受到毛細(xì)輸運(yùn)極限的限制，且這種影響不可忽略。因此，考慮毛細(xì)輸運(yùn)限制的數(shù)值模型計(jì)算相比更為復(fù)雜，也更能準(zhǔn)確反映真實(shí)物理情況。但當(dāng)加熱功率小于6 W時(shí)，采用不考慮毛細(xì)輸運(yùn)限制的數(shù)值模型能減少計(jì)算量，同時(shí)不影響結(jié)果的準(zhǔn)確性。

圖2 三種液體平均氣化質(zhì)量速率與加熱功率的關(guān)系

基于已驗(yàn)證的數(shù)值模型，對(duì)不同加熱功率和液態(tài)工質(zhì)組成下，液體平均氣化質(zhì)量速率與介質(zhì)孔隙率的關(guān)系進(jìn)行研究，結(jié)果如圖3 所示。由圖可知，當(dāng)加熱功率和介質(zhì)孔隙率不變時(shí)，對(duì)比PG-VG 雙組分液體工質(zhì)的不同組成情況，其中純丙二醇的液態(tài)工質(zhì)具有相對(duì)最高的平均氣化質(zhì)量速率。這是由于液氣相變過程由于液體溫度和氣化狀態(tài)不同，分為蒸發(fā)和沸騰兩個(gè)階段。而同時(shí)相比丙三醇，丙二醇具有較高的對(duì)流傳質(zhì)系數(shù)和較低的汽化潛熱，因而在整個(gè)液氣相變過程中都能體現(xiàn)出更強(qiáng)的傳質(zhì)特性。

圖3 不同加熱功率下平均氣化質(zhì)量速率與孔隙率和液體組成的關(guān)系

此外，由圖3 還可知，當(dāng)加熱功率和液態(tài)工質(zhì)組成不變時(shí)，存在最佳的介質(zhì)孔隙率，使得該介質(zhì)孔隙率下液體平均氣化質(zhì)量速率處于極大值，即此時(shí)多孔介質(zhì)傳質(zhì)性能最好。最佳孔隙率的取值與加熱功率有關(guān)，且隨著加熱功率增大而升高。加熱功率從1.36 W增加到9.09 W，對(duì)應(yīng)最佳孔隙率從0.3 增加到0.7。最佳孔隙率與液態(tài)工質(zhì)組成無明顯關(guān)系。對(duì)于不同液態(tài)工質(zhì)，當(dāng)加熱功率相同時(shí)，最佳孔隙率基本一致。因此根據(jù)加熱功率選取特定的介質(zhì)孔隙率有助于發(fā)揮出非飽和多孔介質(zhì)的最佳傳質(zhì)性能。

之所以存在圖3 中最佳介質(zhì)孔隙率的原因，一方面是液氣相變傳質(zhì)與液體溫度相關(guān)，而增大孔隙率會(huì)增加濕多孔介質(zhì)里液體的比重，從而加大導(dǎo)熱損失，造成同樣條件下液體升溫減慢，液氣相變傳質(zhì)減少。另一方面，介質(zhì)對(duì)液體的毛細(xì)輸運(yùn)能力極限可能與介質(zhì)參數(shù)和液體組成有關(guān)。為了研究不同因素對(duì)介質(zhì)毛細(xì)輸運(yùn)能力極限的影響，對(duì)不同孔隙率和液態(tài)工質(zhì)組成下液體毛細(xì)輸運(yùn)極限質(zhì)量速率進(jìn)行模擬，結(jié)果如圖4所示。由圖可知，非飽和多孔介質(zhì)的毛細(xì)輸運(yùn)能力極限僅和介質(zhì)孔隙率組成有關(guān)，與液體組成和加熱功率基本無關(guān)。主要原因是在孔隙視為均勻分布的假設(shè)下，孔隙率增大即意味著孔隙數(shù)量增多，因而多孔介質(zhì)的毛細(xì)輸運(yùn)能力的極限也隨之上升。除此之外，由控制方程可知液體毛細(xì)輸運(yùn)極限質(zhì)量速率還與液氣表面張力和液體動(dòng)力粘度有關(guān)，但其影響作用方向相反。因此對(duì)于所研究的PG-VG 雙組分液態(tài)工質(zhì)，液體毛細(xì)輸運(yùn)極限質(zhì)量速率與液態(tài)工質(zhì)組成關(guān)系不大。對(duì)于其他工質(zhì)可能會(huì)有不同結(jié)論。

圖4 毛細(xì)輸運(yùn)極限速率與介質(zhì)孔隙率和液體組成的關(guān)系

4 結(jié)論

本文考慮了介質(zhì)對(duì)液體存在的毛細(xì)輸運(yùn)極限對(duì)液氣相變的限制作用，建立了柱形多孔介質(zhì)內(nèi)雙組分液體毛細(xì)輸運(yùn)-受熱相變過程的數(shù)值模型，通過與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性，研究了加熱功率、液態(tài)工質(zhì)組成、介質(zhì)孔隙率三種因素對(duì)非飽和多孔介質(zhì)傳質(zhì)性能的影響。研究結(jié)論如下：

1）非飽和多孔介質(zhì)的傳質(zhì)性能由相變傳質(zhì)和介質(zhì)毛細(xì)輸運(yùn)極限共同決定。介質(zhì)毛細(xì)輸運(yùn)極限決定了多孔介質(zhì)傳質(zhì)性能的上限，且主要與孔隙率有關(guān)。隨著孔隙率增加，液體毛細(xì)輸運(yùn)極限質(zhì)量速率逐漸增大。加熱功率和液體組成主要影響多孔介質(zhì)的液氣相變傳質(zhì)。加熱功率越高，液體氣化越多，則多孔介質(zhì)傳質(zhì)特性越趨近其上限。

2）當(dāng)加熱功率較低時(shí)（本研究中臨界功率為6 W），采用不考慮毛細(xì)輸運(yùn)限制的數(shù)值模型能減少多孔介質(zhì)毛細(xì)輸運(yùn)-受熱相變過程傳質(zhì)的計(jì)算量，同時(shí)不影響模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性。但當(dāng)加熱功率較高時(shí)，多孔介質(zhì)內(nèi)的液氣相變傳質(zhì)可能會(huì)受到毛細(xì)輸運(yùn)極限的限制，且這種影響不可忽略，不考慮毛細(xì)輸運(yùn)限制的計(jì)算會(huì)存在較大偏差。

3）當(dāng)加熱功率和液體組成不變時(shí)，對(duì)于幾何尺寸固定的多孔介質(zhì)存在最佳的介質(zhì)孔隙率，使得多孔介質(zhì)傳質(zhì)性能最好。最佳孔隙率的取值與加熱功率有關(guān)，與液體組成關(guān)系不大。當(dāng)加熱功率從1.36 W 增加到9.09 W 時(shí)，對(duì)應(yīng)最佳孔隙率從0.3 升高至0.7。