戴曉娟

(寧夏師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,寧夏 固原 756000)

1 模型的建立

H7N9亞型禽流感病毒是甲型流感中的一種,它對全球經(jīng)濟(jì)和人類健康造成了嚴(yán)重影響.為了防止H7N9禽流感從家禽向人傳播,衛(wèi)生部門采取了一系列措施,例如關(guān)閉活家禽市場,屠宰和隔離流感禽等[1].但是,尚未完全了解H7N9禽流感的傳播動態(tài).因此，本文借助禽流感數(shù)學(xué)模型,通過開發(fā)、比較、實(shí)施,評估等措施對H7N9禽流感進(jìn)行檢測和控制.

本文將提出一種新型的禽流感模型,并討論時(shí)間延遲對疾病傳播的影響.首先,分別模擬了禽類和人類種群的動力學(xué)系統(tǒng),建立了適合兩種種群系統(tǒng)的禽流感模型[2-5],其次,要求被感染的禽類持續(xù)處于疾病狀態(tài),不能康復(fù).而被感染的人可以康復(fù),并且康復(fù)的人要獲得永久的免疫力.

故假設(shè)禽類種群和人類種群分別為Na(t),Nh(t),其中禽類種群的總變量取決于疾病狀態(tài)的易感和感染群Sa(t )和Ia(t),人類種群取決于疾病狀態(tài)的易感人群,感染人群和恢復(fù)人群,即Sh(t)和Ih(t),Rh(t).同時(shí)假設(shè)所有的禽類和人類都易感.

故延遲型的非線性禽流感模型如下

(1)

模型(1)中的所有參數(shù)均非負(fù),描述如下:Λa代表禽類的自然增長和新生數(shù)量，βa代表禽類從感染到易感染性的傳播率，μa和δa分別代表禽類種群的自然死亡率和與疾病相關(guān)的死亡率,δ1和δ2分別代表禽類易感染種群和感染種群的屠宰率，Λh代表人的新增數(shù)量和新生兒數(shù)量，βh是感染禽類向可感染人類的傳播率,μh是人類的自然死亡率,δh是感染人群得病的概率,γ是感染人群的恢復(fù)率.

在時(shí)間t-τ1處感染的禽(或在時(shí)間t-τ2處感染的人類)從時(shí)間t開始具有傳染性,可以用βae-μaτ1S(t)I(t-τ1)(或βhe-μhτ2S(t)I(t-τ2))表示t時(shí)刻被感染的禽(或人類)種群的傳染性,其中e-μaτ1(或e-μaτ2)是被感染的禽類(或人類)存活到t時(shí)刻的概率,以此表示時(shí)間延遲.用-δ1Sa(t)和-δ2Ia(t)表示易感和傳染禽類的屠宰率,因?yàn)榍萃涝鬃鳛橐环N人工造成的死亡,在一段時(shí)間內(nèi)可以顯著提高禽畜的死亡率.

備注1實(shí)際上,當(dāng)禽類被屠宰時(shí),往往無法區(qū)分易感禽類種群和感染禽類種群.所以δ1和δ2的值可以相等,這是模型(1)的一個(gè)特例.又因?yàn)榛謴?fù)的種群對Sh,Ih的動力學(xué)沒有影響,因此本文未考慮恢復(fù)的相關(guān)情況.

所以系統(tǒng)(1)可以變?yōu)橄铝邢到y(tǒng)

(2)

該系統(tǒng)的初始條件為

(3)

其中τ=max{τ1,τ2},R+={x∈R:x≥0}.

系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性通常由稱為基本再生數(shù)R0的閾值控制,它是處于感染期的感染個(gè)體在完全易感人群中產(chǎn)生的繼發(fā)感染數(shù).對于模型(2),基本再現(xiàn)數(shù)可以計(jì)算為[6-7]

系統(tǒng)(2)有兩個(gè)平衡點(diǎn)

定理1系統(tǒng)(2)在初始條件(3)下的解為正且有界的,即存在一個(gè)正不變集[8].

證明由系統(tǒng)(2),有

(4)

備注2定理1證明了系統(tǒng)(2)的解是非負(fù)的,即現(xiàn)實(shí)世界中,禽類和人類的數(shù)量是非負(fù)的.

2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

下面討論無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性[9-10].

定理2如果R0<1時(shí),系統(tǒng)(2)的無病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的;如果R0>1,則是不穩(wěn)定的.

證明系統(tǒng)(2)的特征方程如下

(5)

由(5)得出,前三個(gè)特征值是

λ1=-(μa+δ1),λ2=-μh,λ3=-(μh+δh+γ),

都是負(fù)的.考慮方程(5)的其余特征值,即下面方程的根

(6)

如果τ1=0，R0<1,則λ4=(μa+δa+δ2)(R0-1)<0,而當(dāng)R0>1時(shí)，λ4>0.因此,當(dāng)τ1=0，R0<1,無病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的.

令λ=iv,v>0是一個(gè)實(shí)數(shù)且i2=-1,代入(6)式,將實(shí)部和虛部分開,得到

(7)

將(7)式兩邊平方并相加,得

(8)

在定理2中,當(dāng)R0>1時(shí)無病平衡點(diǎn)E0不穩(wěn)定,下面討論R0<1情況下無病平衡點(diǎn)E0的全局漸近穩(wěn)定性.

定理3當(dāng)R0<1時(shí),系統(tǒng)(2)的無病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定.

證明僅考慮系統(tǒng)(2)的前兩個(gè)方程,即以下僅禽類的子系統(tǒng)

(9)

(10)

則

(11)

(12)

對于上述系統(tǒng),定義一個(gè)Lyapunov函數(shù)為

(13)

因此,

(14)

定理4如果存在R0>1,則系統(tǒng)(2)的地方病平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的.

證明平衡點(diǎn)E*處的雅可比矩陣

相應(yīng)的特征方程為

(15)

相當(dāng)于

[λ+(μa+δ1)R0](μa+δa+δ2+λ)=(λ+μa+δ1)(μa+δa+δ2)e-λτ.

(16)

當(dāng)R0>1時(shí),(16)解的實(shí)部是非負(fù)的,則得到

|λ+(μa+δ1)R0|>|λ+μa+δ1|,|μa+δa+δ2+λ|>|μa+δa+δ2|,|e-λτ|≤1.

(17)

因此,在(16)中,左側(cè)的模大于右側(cè)的模,這導(dǎo)致了矛盾.因此,(15)的所有根都應(yīng)具有負(fù)實(shí)部.所以,地方病平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的.

下面,研究E*的全局穩(wěn)定性.通過以下定理將證明R0是模型(2)的閾值.

定理5當(dāng)R0>1時(shí),系統(tǒng)(2)的地方病平衡點(diǎn)E*是全局漸近穩(wěn)定.

(18)

其中,

因此,有

(19)

(20)

定義一個(gè)Lyapunov函數(shù):

UB=U4+U5，

(21)

備注3定理3和定理5表明,如果R0<1，禽流感將消亡;而如果R0>1，禽流感將流行.由此說明R0是模型(2)的閾值.

3 結(jié)論

本文研究了一類帶有禽屠宰的延遲型禽流感模型,利用穩(wěn)定性理論對模型進(jìn)行了分析,證明了該模型唯一的全局正解,并通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù),利用LaSalle的不變性原理,建立了模型無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性,即當(dāng)R0<1，禽流感將消亡;當(dāng)R0>1，禽流感將流行.此結(jié)論說明時(shí)間延遲可以抑制禽流感的爆發(fā),幫助公共衛(wèi)生機(jī)構(gòu)控制流行病的傳播.