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        一類巨災(zāi)沖擊模型及其債券定價

        2021-03-17 01:43:06張節(jié)松
        關(guān)鍵詞:巨災(zāi)保險公司債券

        張節(jié)松

        淮北師范大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院, 安徽淮北 235000

        中華人民共和國國務(wù)院于2014年發(fā)布《關(guān)于加快發(fā)展現(xiàn)代保險服務(wù)業(yè)的若干意見》(國發(fā)[2014]29號),明確保險是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)的重要產(chǎn)業(yè)和風(fēng)險管理基本手段,圍繞保障和改善民生,將保險納入災(zāi)害事故防范救助體系,鼓勵各地根據(jù)風(fēng)險特點,探索對臺風(fēng)、地震、滑坡、泥石流、洪水及森林火災(zāi)等自然災(zāi)害的有效保障模式,建立巨災(zāi)保險制度.同年7月,深圳成為中國第1個巨災(zāi)保險試點,隨后寧波、云南、四川、廣東、黑龍江等地相繼開展巨災(zāi)保險試點,巨災(zāi)保險試點工作拉開帷幕.

        巨災(zāi)破壞性強(qiáng),隨時可能產(chǎn)生高額索賠.保險公司的承保能力有限,巨災(zāi)風(fēng)險的合理分散直接關(guān)系到保險公司的經(jīng)營穩(wěn)定性與長足發(fā)展.為了轉(zhuǎn)移風(fēng)險并增加承保風(fēng)險能力,近年來出現(xiàn)一種新型風(fēng)險轉(zhuǎn)移工具——保險連接債券[1].保險公司或再保險公司通過與銀行合作,發(fā)行巨災(zāi)保險債券,搭起保險與資本市場之間的橋梁.借助資本市場的雄厚資金提高保險公司的承保能力,同時也為投資者提供一種新的投資途徑[2].2015年7月1日,中國第1只以地震風(fēng)險為保障對象的巨災(zāi)債券在境外市場成功發(fā)行.此類巨災(zāi)債券在邏輯特征上具有保險產(chǎn)品屬性,結(jié)構(gòu)特征上又具備金融產(chǎn)品屬性,這種雙重屬性特征、巨災(zāi)風(fēng)險發(fā)生頻率及其造成損失規(guī)模的難以預(yù)測性,使得巨災(zāi)風(fēng)險債券的估值比純金融衍生品定價更困難,至今仍未形成統(tǒng)一的定價理論體系[3].

        巨災(zāi)衍生品定價的一個重要因素是恰當(dāng)選擇巨災(zāi)損失隨機(jī)模型[3-4].經(jīng)典的極值風(fēng)險理論假定風(fēng)險發(fā)生的時間間隔服從指數(shù)分布[1-6],但地球物理學(xué)的現(xiàn)代應(yīng)用研究發(fā)現(xiàn),極端災(zāi)害事件發(fā)生的時間間隔具有記憶性,服從冪律分布[7-10].MUSSON等[8]研究了日本和希臘幾個地區(qū)的地震間隔時間,發(fā)現(xiàn)對數(shù)正態(tài)分布的擬合效果更好.SALIM等[9]采用廣義Bartlett-Lewis模型與Pareto風(fēng)暴到達(dá)時間間隔,研究愛爾蘭西南部每小時的降雨數(shù)據(jù).STOYNOV等[10]提出一種轉(zhuǎn)換時間分布預(yù)測長江和黃河的洪水到達(dá)時刻.REPIN等[11]運用隨機(jī)過程方法考慮極端災(zāi)害事件發(fā)生時間間隔的非指數(shù)分布現(xiàn)象,并首次提出分?jǐn)?shù)Poisson過程.BIARD等[12]進(jìn)一步將索賠間隔變量的分布函數(shù)由指數(shù)分布替換為Mittag-Leffer分布,采用復(fù)合分?jǐn)?shù)Poisson過程描述保險公司的盈余過程,構(gòu)建了適用于巨災(zāi)沖擊情形的復(fù)合分?jǐn)?shù)Poisson盈余過程,并應(yīng)用于破產(chǎn)理論.與經(jīng)典的復(fù)合Poisson風(fēng)險模型不同,復(fù)合分?jǐn)?shù)Poisson過程為非平穩(wěn)非馬氏過程[12-13].BIARD 等[12, 14]研究了復(fù)合分?jǐn)?shù)Poisson過程的長相依性和短相依性,WANG等[15]給出相應(yīng)參數(shù)估計,SCALAS等[16]證明其二次變差過程的收斂性,ZHANG等[17]則在最大化調(diào)節(jié)系數(shù)的優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)下研究該過程分層再保險問題.

        本研究考慮巨災(zāi)沖擊的影響,采用復(fù)合分?jǐn)?shù)Poisson過程刻畫保險公司的承保風(fēng)險;為合理分散高額索賠風(fēng)險,在利用矩匹配方法給出累積損失廣義Pareto型逼近分布的基礎(chǔ)上,給出CIR(Cox-Ingersoll-Ross)利率模型下零息票巨災(zāi)債券的定價公式;結(jié)合數(shù)值示例驗證分布逼近的有效性,特別是對大額索賠情形擬合效果理想.本研究還分析記憶參數(shù)對期望風(fēng)險和債券價格的動態(tài)影響,揭示不同債券期限水平下的變化趨勢.研究結(jié)果可為保險公司在巨災(zāi)沖擊情形下準(zhǔn)確估測并合理轉(zhuǎn)移風(fēng)險、維護(hù)公司的穩(wěn)定經(jīng)營、以及減輕災(zāi)后恢復(fù)時政府的財政壓力提供理論依據(jù).

        1 模型構(gòu)建與設(shè)定

        考慮以0時刻為起點并以T時刻為終期的保險與金融市場,其不確定性表示為帶流的概率空間(Ω,F,P,(Ft)0≤t≤T). 記{Sh(t):t∈[0,T]}為累積索賠(損失)過程,其中,h為記憶參數(shù); {Xi:i≥1}為獨立同分布的隨機(jī)索賠變量; {Vh(t):t∈[0,T]}為零息票巨災(zāi)債券的價格過程; {rt:t∈[0,T]}為短期利率過程; {ωt:t∈[0,T]}為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動.

        1.1 巨災(zāi)沖擊損失模型

        鑒于巨災(zāi)發(fā)生時間間隔分布的冪律性[7-10],本研究采用文獻(xiàn)[12]提出的復(fù)合分?jǐn)?shù)Poisson模型,刻畫保險公司的承保風(fēng)險過程.因此,t時刻之前保險人的累積損失Sh(t)為

        (1)

        其中,索賠序列{Xi:i≥1}具有共同分布FX;計數(shù)過程N(yùn)h(t)為分?jǐn)?shù)Poisson過程.具體地,設(shè)索賠間隔時間序列{τi:i≥1}相互獨立且具有共同分布:

        P(τ>t)=Eh(-λth)

        其中,λ>0; 0

        若h=1, 復(fù)合分?jǐn)?shù)Poisson過程退化為經(jīng)典復(fù)合Poisson過程.但與經(jīng)典情形不同,當(dāng)0

        1.2 利率模型

        利率是金融市場的重要價格變量之一,直接決定了相關(guān)金融產(chǎn)品的價格.在利率隨機(jī)行為的眾多刻畫模型中,Vasicek和CIR單因素利率期限結(jié)構(gòu)模型應(yīng)用最為廣泛[19-20].本研究采用含平方根形式(規(guī)避短期瞬時利率可能為負(fù)的情況)的CIR利率模型,在客觀概率條件P下,將短期利率rt表示為

        在風(fēng)險中性測度Q下,利率過程變化為

        1.3 零息票巨災(zāi)債券定價公式

        由于缺少可交易的標(biāo)的資產(chǎn),巨災(zāi)債券是以觸發(fā)水平為變量的結(jié)構(gòu)化支付產(chǎn)品.本研究約定以Sh(T)超過債券合約中指定的門限水平D為觸發(fā)條件.考慮面值為1,期限為T的零息票巨災(zāi)債券,其支付結(jié)構(gòu)PCAT(T)定義為

        其中,p表示在期限[0,T]內(nèi)累積索賠超越門限水平D條件下約定的支付比例.

        給定門限水平D, 巨災(zāi)抵達(dá)過程為Nh(t), 在風(fēng)險中性測度Q條件下,遵循COX等[21-22]的假定,即僅依賴巨災(zāi)風(fēng)險的變量與僅依賴金融風(fēng)險的變量獨立,且累積索賠過程從客觀概率轉(zhuǎn)換為風(fēng)險中性測度中保持特征結(jié)構(gòu)不變.因此,CIR利率模型下期限為T、 面值為1的零息票巨災(zāi)風(fēng)險債券在時刻t的價格為

        (2)

        2 分布逼近

        由定價公式(2)可知,要求出巨災(zāi)債券的價格過程,除確定待定參數(shù),還需求解Sh(t)的精確分布,然而高階卷積通常難以計算[1, 3].此類分布即使在經(jīng)典復(fù)合Poisson情形下也幾乎不能獲得[23].在保險與金融實踐中,通常運用矩匹配方法進(jìn)行分布逼近.根據(jù)擬逼近分布尾部特征的不同,存在多種矩匹配的方法.當(dāng)分布輕尾時,可選擇混合Erlang 分布[24];當(dāng)分布重尾時,LINDSKOG等[25-26]指出廣義Pareto分布具有良好適用性.這里考慮巨災(zāi)損失分布重尾的情況,令Sh(t)服從廣義Pareto分布

        FS(s)=B(υ,α,s/(η+s)),s>0

        (3)

        易見,F(xiàn)S中含有3個待定參數(shù)υ,α及η. 實際上,S=Sh(t)的m階矩可通過這些參數(shù)表示為

        記Mk=E[Sk]/(E[S])k, 由文獻(xiàn)[26]可知,3個待定參數(shù)又可通過S的前三階矩表示為

        (4)

        因此,根據(jù)矩匹配方法,對任意給定時刻t, 只要求得Sh(t)的前三階矩,再由式(3)和式(4)即可求得復(fù)合分?jǐn)?shù)Poisson模型的逼近分布.實際上,有如下結(jié)論.

        引理1記索賠變量X的前三階矩為μi,i=1,2,3, 則累積索賠Sh(t)的前三階矩分別為

        (5)

        (6)

        (7)

        【證】綜合文獻(xiàn)[27]的式(4.10)、(2.6)以及(1.5),可得Sh(t)特征函數(shù)為

        于是,

        因此,由特征函數(shù)的性質(zhì)可知,

        式(5)成立.

        于是,

        再由特征函數(shù)的性質(zhì)可得,

        式(6)成立.

        類似可證式(7)成立.證畢.

        注1隨著記憶參數(shù)h的增大,期望損失可能出現(xiàn)遞減、先增后減以及遞增的多種情形,與時間參數(shù)t的大小有關(guān),并不具有統(tǒng)一的單調(diào)性.

        注2由引理1可得,累積損失的方差等于

        在h=1時, Var[Sh(t)]退化為λμ2t. 但當(dāng)0

        至此,根據(jù)式(3)給出如下分布逼近結(jié)果.

        定理1記Mk=E[(Sh(t))k]/(E[Sh(t)])k, 則Sh(t)近似服從廣義Pareto分布

        其中,參數(shù)υ,α及η由式(4)確定.

        3 示例與分析

        令個體索賠額X(單位:萬元)服從Pareto型重尾分布

        FX(x)=1-(300/(300+x))4,x>0.

        給定λ=1,T=2及h=0.5, 對累積索賠Sh(T)的分布進(jìn)行隨機(jī)模擬(其中,分?jǐn)?shù)Poisson過程的模擬方法可參考文獻(xiàn)[28]),并與逼近分布FS進(jìn)行比較,結(jié)果如圖1.

        由圖1可見,定理1所給出的逼近效果良好,特別是對大額索賠擬合程度非常高,這與本研究更關(guān)注巨災(zāi)索賠厚尾特性的考慮相一致.

        由圖2(b)可知,債券合約的期限T越長,債券價格越低,因為利率風(fēng)險增多且觸發(fā)條件發(fā)生的巨災(zāi)風(fēng)險也越大(門限水平固定).進(jìn)一步對比圖2(b)與圖2(a)發(fā)現(xiàn),對給定的期限T, 隨著記憶參數(shù)的增大,債券價格出現(xiàn)單調(diào)遞增(T=0.2)、 先減后增(T=1.0)及單調(diào)遞減(T=1.8)多種情形,并無確定的變化趨勢,且與期望損失的變化情形正好相反.這符合風(fēng)險與收益成正比的均衡原則,因為期望損失越大,投資者面臨的風(fēng)險增大,債券價格下降,期望收益提高.至于記憶參數(shù)增大的條件下,期望損失及債券價格均沒有確定變化趨勢的現(xiàn)象,主要與索賠次數(shù)有關(guān).實際上,Mittag-Leffer型等待時間變量具有重尾特性,記憶參數(shù)h的增大可能引起索賠次數(shù)期望值的遞增或遞減.與傳統(tǒng)指數(shù)型索賠等待時間不同,Mittag-Leffer型等待時間具有無窮均值.

        圖2 不同T條件下h的動態(tài)影響Fig.2 Dynamic effect of h under different term of bond contract T

        結(jié) 語

        中國是世界上受自然災(zāi)害影響最嚴(yán)重的幾個國家之一,盡快建立合理的巨災(zāi)保險制度具有重要意義.目前,中國巨災(zāi)保險試點工作不斷推進(jìn),但仍需進(jìn)一步創(chuàng)新產(chǎn)品設(shè)計開發(fā),建立多層次巨災(zāi)風(fēng)險分散機(jī)制.本研究為了準(zhǔn)確評估承保巨災(zāi)風(fēng)險可能給保險公司帶來的沖擊,采用更貼近保險實務(wù)的復(fù)合分?jǐn)?shù)Poisson模型刻畫保險公司的風(fēng)險過程,并考慮巨災(zāi)風(fēng)險的厚尾特征,運用廣義Pareto型逼近分布;為合理分散和轉(zhuǎn)移巨額損失,研究了CIR利率模型下巨災(zāi)保險連接債券的定價問題,并給出相應(yīng)定價公式.結(jié)合數(shù)值示例驗證分布逼近的有效性,其對高額索賠的擬合效果理想.在不同債券期限水平下,考察記憶參數(shù)對期望風(fēng)險和債券價格的影響.結(jié)果表明,記憶參數(shù)的增大對期望風(fēng)險和債券價格的影響呈現(xiàn)出相反而多形態(tài)的趨勢,與期限水平密切相關(guān).研究說明了單調(diào)性相反的現(xiàn)實意義,多形態(tài)趨勢的原因主要與記憶參數(shù)對期望索賠次數(shù)的影響有關(guān).然而,該影響機(jī)制的更深層次原因還有待進(jìn)一步探究,可能與記憶效應(yīng)的長期和短期性有關(guān).鑒于Mittag-Leffer分布的特殊性及其非初等密度函數(shù)處理的非平凡性,要探明其確切原因還需要一些處理技術(shù)的突破,這將作為下一步研究的重要方向.

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