張節(jié)松

淮北師范大學經(jīng)濟與管理學院, 安徽淮北 235000

中華人民共和國國務院于2014年發(fā)布《關于加快發(fā)展現(xiàn)代保險服務業(yè)的若干意見》(國發(fā)[2014]29號)，明確保險是現(xiàn)代經(jīng)濟的重要產(chǎn)業(yè)和風險管理基本手段，圍繞保障和改善民生，將保險納入災害事故防范救助體系，鼓勵各地根據(jù)風險特點，探索對臺風、地震、滑坡、泥石流、洪水及森林火災等自然災害的有效保障模式，建立巨災保險制度．同年7月，深圳成為中國第1個巨災保險試點，隨后寧波、云南、四川、廣東、黑龍江等地相繼開展巨災保險試點，巨災保險試點工作拉開帷幕．

巨災破壞性強，隨時可能產(chǎn)生高額索賠．保險公司的承保能力有限，巨災風險的合理分散直接關系到保險公司的經(jīng)營穩(wěn)定性與長足發(fā)展．為了轉移風險并增加承保風險能力，近年來出現(xiàn)一種新型風險轉移工具——保險連接債券[1]．保險公司或再保險公司通過與銀行合作，發(fā)行巨災保險債券，搭起保險與資本市場之間的橋梁．借助資本市場的雄厚資金提高保險公司的承保能力，同時也為投資者提供一種新的投資途徑[2]．2015年7月1日，中國第1只以地震風險為保障對象的巨災債券在境外市場成功發(fā)行．此類巨災債券在邏輯特征上具有保險產(chǎn)品屬性，結構特征上又具備金融產(chǎn)品屬性，這種雙重屬性特征、巨災風險發(fā)生頻率及其造成損失規(guī)模的難以預測性，使得巨災風險債券的估值比純金融衍生品定價更困難，至今仍未形成統(tǒng)一的定價理論體系[3]．

巨災衍生品定價的一個重要因素是恰當選擇巨災損失隨機模型[3-4]．經(jīng)典的極值風險理論假定風險發(fā)生的時間間隔服從指數(shù)分布[1-6]，但地球物理學的現(xiàn)代應用研究發(fā)現(xiàn)，極端災害事件發(fā)生的時間間隔具有記憶性，服從冪律分布[7-10]．MUSSON等[8]研究了日本和希臘幾個地區(qū)的地震間隔時間，發(fā)現(xiàn)對數(shù)正態(tài)分布的擬合效果更好．SALIM等[9]采用廣義Bartlett-Lewis模型與Pareto風暴到達時間間隔，研究愛爾蘭西南部每小時的降雨數(shù)據(jù)．STOYNOV等[10]提出一種轉換時間分布預測長江和黃河的洪水到達時刻．REPIN等[11]運用隨機過程方法考慮極端災害事件發(fā)生時間間隔的非指數(shù)分布現(xiàn)象，并首次提出分數(shù)Poisson過程．BIARD等[12]進一步將索賠間隔變量的分布函數(shù)由指數(shù)分布替換為Mittag-Leffer分布，采用復合分數(shù)Poisson過程描述保險公司的盈余過程，構建了適用于巨災沖擊情形的復合分數(shù)Poisson盈余過程，并應用于破產(chǎn)理論．與經(jīng)典的復合Poisson風險模型不同，復合分數(shù)Poisson過程為非平穩(wěn)非馬氏過程[12-13]．BIARD 等[12, 14]研究了復合分數(shù)Poisson過程的長相依性和短相依性，WANG等[15]給出相應參數(shù)估計，SCALAS等[16]證明其二次變差過程的收斂性，ZHANG等[17]則在最大化調節(jié)系數(shù)的優(yōu)化標準下研究該過程分層再保險問題．

本研究考慮巨災沖擊的影響，采用復合分數(shù)Poisson過程刻畫保險公司的承保風險；為合理分散高額索賠風險，在利用矩匹配方法給出累積損失廣義Pareto型逼近分布的基礎上，給出CIR(Cox-Ingersoll-Ross)利率模型下零息票巨災債券的定價公式；結合數(shù)值示例驗證分布逼近的有效性，特別是對大額索賠情形擬合效果理想．本研究還分析記憶參數(shù)對期望風險和債券價格的動態(tài)影響，揭示不同債券期限水平下的變化趨勢．研究結果可為保險公司在巨災沖擊情形下準確估測并合理轉移風險、維護公司的穩(wěn)定經(jīng)營、以及減輕災后恢復時政府的財政壓力提供理論依據(jù)．

1 模型構建與設定

考慮以0時刻為起點并以T時刻為終期的保險與金融市場，其不確定性表示為帶流的概率空間(Ω,F,P,(Ft)0≤t≤T)． 記{Sh(t):t∈[0,T]}為累積索賠(損失)過程，其中，h為記憶參數(shù)； {Xi:i≥1}為獨立同分布的隨機索賠變量； {Vh(t):t∈[0,T]}為零息票巨災債券的價格過程； {rt:t∈[0,T]}為短期利率過程； {ωt:t∈[0,T]}為標準布朗運動．

1.1 巨災沖擊損失模型

鑒于巨災發(fā)生時間間隔分布的冪律性[7-10]，本研究采用文獻[12]提出的復合分數(shù)Poisson模型，刻畫保險公司的承保風險過程．因此，t時刻之前保險人的累積損失Sh(t)為

(1)

其中，索賠序列{Xi:i≥1}具有共同分布FX；計數(shù)過程Nh(t)為分數(shù)Poisson過程．具體地，設索賠間隔時間序列{τi:i≥1}相互獨立且具有共同分布：

P(τ>t)=Eh(-λth)

其中，λ>0； 0

若h=1， 復合分數(shù)Poisson過程退化為經(jīng)典復合Poisson過程．但與經(jīng)典情形不同，當0

1.2 利率模型

利率是金融市場的重要價格變量之一，直接決定了相關金融產(chǎn)品的價格．在利率隨機行為的眾多刻畫模型中，Vasicek和CIR單因素利率期限結構模型應用最為廣泛[19-20]．本研究采用含平方根形式(規(guī)避短期瞬時利率可能為負的情況)的CIR利率模型，在客觀概率條件P下，將短期利率rt表示為

在風險中性測度Q下，利率過程變化為

1.3 零息票巨災債券定價公式

由于缺少可交易的標的資產(chǎn)，巨災債券是以觸發(fā)水平為變量的結構化支付產(chǎn)品．本研究約定以Sh(T)超過債券合約中指定的門限水平D為觸發(fā)條件．考慮面值為1，期限為T的零息票巨災債券，其支付結構PCAT(T)定義為

其中，p表示在期限[0,T]內累積索賠超越門限水平D條件下約定的支付比例．

給定門限水平D， 巨災抵達過程為Nh(t)， 在風險中性測度Q條件下，遵循COX等[21-22]的假定，即僅依賴巨災風險的變量與僅依賴金融風險的變量獨立，且累積索賠過程從客觀概率轉換為風險中性測度中保持特征結構不變．因此，CIR利率模型下期限為T、 面值為1的零息票巨災風險債券在時刻t的價格為

(2)

2 分布逼近

由定價公式(2)可知，要求出巨災債券的價格過程，除確定待定參數(shù)，還需求解Sh(t)的精確分布，然而高階卷積通常難以計算[1, 3]．此類分布即使在經(jīng)典復合Poisson情形下也幾乎不能獲得[23]．在保險與金融實踐中，通常運用矩匹配方法進行分布逼近．根據(jù)擬逼近分布尾部特征的不同，存在多種矩匹配的方法．當分布輕尾時，可選擇混合Erlang 分布[24]；當分布重尾時，LINDSKOG等[25-26]指出廣義Pareto分布具有良好適用性．這里考慮巨災損失分布重尾的情況，令Sh(t)服從廣義Pareto分布

FS(s)=B(υ,α,s/(η+s))，s>0

(3)

易見，F(xiàn)S中含有3個待定參數(shù)υ,α及η． 實際上，S=Sh(t)的m階矩可通過這些參數(shù)表示為

記Mk=E[Sk]/(E[S])k， 由文獻[26]可知，3個待定參數(shù)又可通過S的前三階矩表示為

(4)

因此，根據(jù)矩匹配方法，對任意給定時刻t， 只要求得Sh(t)的前三階矩，再由式(3)和式(4)即可求得復合分數(shù)Poisson模型的逼近分布．實際上，有如下結論．

引理1記索賠變量X的前三階矩為μi，i=1,2,3， 則累積索賠Sh(t)的前三階矩分別為

(5)

(6)

(7)

【證】綜合文獻[27]的式(4.10)、(2.6)以及(1.5)，可得Sh(t)特征函數(shù)為

于是，

因此，由特征函數(shù)的性質可知，

式(5)成立．

于是，

再由特征函數(shù)的性質可得，

式(6)成立．

類似可證式(7)成立．證畢．

注1隨著記憶參數(shù)h的增大，期望損失可能出現(xiàn)遞減、先增后減以及遞增的多種情形，與時間參數(shù)t的大小有關，并不具有統(tǒng)一的單調性．

注2由引理1可得，累積損失的方差等于

在h=1時， Var[Sh(t)]退化為λμ2t． 但當0

至此，根據(jù)式(3)給出如下分布逼近結果．

定理1記Mk=E[(Sh(t))k]/(E[Sh(t)])k， 則Sh(t)近似服從廣義Pareto分布

其中，參數(shù)υ,α及η由式(4)確定．

3 示例與分析

令個體索賠額X(單位：萬元)服從Pareto型重尾分布

FX(x)=1-(300/(300+x))4，x>0．

給定λ=1，T=2及h=0.5， 對累積索賠Sh(T)的分布進行隨機模擬(其中，分數(shù)Poisson過程的模擬方法可參考文獻[28])，并與逼近分布FS進行比較，結果如圖1．

由圖1可見，定理1所給出的逼近效果良好，特別是對大額索賠擬合程度非常高，這與本研究更關注巨災索賠厚尾特性的考慮相一致．

由圖2(b)可知，債券合約的期限T越長，債券價格越低，因為利率風險增多且觸發(fā)條件發(fā)生的巨災風險也越大(門限水平固定)．進一步對比圖2(b)與圖2(a)發(fā)現(xiàn)，對給定的期限T， 隨著記憶參數(shù)的增大，債券價格出現(xiàn)單調遞增(T=0.2)、 先減后增(T=1.0)及單調遞減(T=1.8)多種情形，并無確定的變化趨勢，且與期望損失的變化情形正好相反．這符合風險與收益成正比的均衡原則，因為期望損失越大，投資者面臨的風險增大，債券價格下降，期望收益提高．至于記憶參數(shù)增大的條件下，期望損失及債券價格均沒有確定變化趨勢的現(xiàn)象，主要與索賠次數(shù)有關．實際上，Mittag-Leffer型等待時間變量具有重尾特性，記憶參數(shù)h的增大可能引起索賠次數(shù)期望值的遞增或遞減．與傳統(tǒng)指數(shù)型索賠等待時間不同，Mittag-Leffer型等待時間具有無窮均值．

圖2 不同T條件下h的動態(tài)影響Fig.2 Dynamic effect of h under different term of bond contract T

結 語

中國是世界上受自然災害影響最嚴重的幾個國家之一，盡快建立合理的巨災保險制度具有重要意義．目前，中國巨災保險試點工作不斷推進，但仍需進一步創(chuàng)新產(chǎn)品設計開發(fā)，建立多層次巨災風險分散機制．本研究為了準確評估承保巨災風險可能給保險公司帶來的沖擊，采用更貼近保險實務的復合分數(shù)Poisson模型刻畫保險公司的風險過程，并考慮巨災風險的厚尾特征，運用廣義Pareto型逼近分布；為合理分散和轉移巨額損失，研究了CIR利率模型下巨災保險連接債券的定價問題，并給出相應定價公式．結合數(shù)值示例驗證分布逼近的有效性，其對高額索賠的擬合效果理想．在不同債券期限水平下，考察記憶參數(shù)對期望風險和債券價格的影響．結果表明，記憶參數(shù)的增大對期望風險和債券價格的影響呈現(xiàn)出相反而多形態(tài)的趨勢，與期限水平密切相關．研究說明了單調性相反的現(xiàn)實意義，多形態(tài)趨勢的原因主要與記憶參數(shù)對期望索賠次數(shù)的影響有關．然而，該影響機制的更深層次原因還有待進一步探究，可能與記憶效應的長期和短期性有關．鑒于Mittag-Leffer分布的特殊性及其非初等密度函數(shù)處理的非平凡性，要探明其確切原因還需要一些處理技術的突破，這將作為下一步研究的重要方向．