堯 磊 秦雪飛 蔡 順 沈建新

（浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院浙江省電機(jī)系統(tǒng)智能控制與變流技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 杭州 310027）

0 引言

電機(jī)設(shè)計(jì)通常僅考慮名義尺寸，因此加工過程的形位公差會(huì)使得實(shí)際電機(jī)的性能偏離設(shè)計(jì)值。為此，研究人員分析了永磁體尺寸誤差對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩[1-6]、反電動(dòng)勢(shì)[7]等的影響，進(jìn)而提出了一些彌補(bǔ)電機(jī)性能的措施。但是，所有相關(guān)研究都隱含了一個(gè)假定條件，即硅鋼片疊裝成鐵心時(shí)是完全整齊的，而這與實(shí)際情況不符。

在內(nèi)置式永磁同步電機(jī)或無(wú)刷直流電機(jī)中，永磁體與轉(zhuǎn)子硅鋼片采用間隙配合，其間隙大小取決于加工工藝。若硅鋼片采用高速?zèng)_床沖制和疊裝，則配合間隙較小，且沖片疊裝整齊，可以忽略疊裝錯(cuò)位。但是，采用普通沖床沖制及手工疊裝時(shí)，疊裝錯(cuò)位比較嚴(yán)重，因此配合間隙必須設(shè)計(jì)得比較大。

根據(jù)已有文獻(xiàn)的分析可知，較大的配合間隙顯然會(huì)削弱氣隙磁通密度。但是，沖片的疊裝錯(cuò)位對(duì)氣隙磁通密度又會(huì)帶來(lái)什么影響？這在國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)中尚未見報(bào)道。本文針對(duì)內(nèi)置式永磁電機(jī)搭建簡(jiǎn)化模型，分別就永磁體與硅鋼片的間隙配合、硅鋼片疊裝錯(cuò)位對(duì)氣隙磁場(chǎng)的影響進(jìn)行理論分析和數(shù)值仿真。

1 名義尺寸下的理想電機(jī)

為了專注于研究間隙配合及疊裝錯(cuò)位的影響而避免其他因素的干擾，并考慮三維有限元作精細(xì)網(wǎng)格剖分對(duì)計(jì)算資源的巨大需求，對(duì)永磁電機(jī)的物理模型進(jìn)行簡(jiǎn)化：僅考慮一對(duì)極的情況，定、轉(zhuǎn)子鐵心用 “回”字形鐵心替代，并在“轉(zhuǎn)子鐵心”中放置兩個(gè)永磁體。簡(jiǎn)化模型如圖1所示。假定電機(jī)無(wú)加工誤差，均為名義尺寸，永磁體與轉(zhuǎn)子沖片的配合沒有間隙，沖片疊裝完全整齊。

圖1 理想電機(jī)的簡(jiǎn)化模型Fig.1 Simplified model of ideal motor

以磁極中心位置（即圖1中的仿真點(diǎn)位置）的氣隙磁通密度為例進(jìn)行研究。沿著圖1中的主磁路（如虛線所示）做剖視圖，則得圖2。其中的疊厚方向就是圖1的Z軸方向，可以看到定子、轉(zhuǎn)子鐵心均由若干硅鋼片整齊疊裝而成。圖2的最左端應(yīng)與最右端連接在一起，構(gòu)成完整的定子磁路。主磁路中各部分的磁阻包括：Rs是定子鐵心磁阻（注：圖2中為了表示清晰，標(biāo)注了兩個(gè)Rs，但是實(shí)際上整個(gè)定子鐵心用一個(gè)Rs等效）；兩個(gè)Rg表示兩個(gè)極下的氣隙磁阻；兩個(gè)Rr2表示轉(zhuǎn)子上氣隙與永磁體之間鐵心部位（即極靴）的磁阻；兩個(gè)Rpm為兩個(gè)永磁體的磁阻；而Rr1是轉(zhuǎn)子上兩個(gè)永磁體之間的鐵心部位（即轉(zhuǎn)子軛部）的磁阻。圖2只標(biāo)示了磁路各部分的磁阻，而沒有標(biāo)示永磁體的磁動(dòng)勢(shì)。為圖示清晰，圖1的二維圖和圖2均未按實(shí)際尺寸比例描繪。

圖2 理想電機(jī)的主磁路Fig.2 Main magnetic circuit in ideal motor

得到主磁路各部分的磁阻為

式中，Lpm、Lr1、Lr2、Lg、Ls分別為永磁體、磁阻Rr1、Rr2、Rg、Rs對(duì)應(yīng)磁路的長(zhǎng)度。為磁路各部分的長(zhǎng)度；A為磁通經(jīng)過的面積。永磁體磁導(dǎo)率μpm約等于空氣磁導(dǎo)率μ0，鐵心磁導(dǎo)率是μcore。令永磁體具有線性去磁曲線，剩余磁通密度為Br，則氣隙磁通密度為

式中，系數(shù)KB表示極靴與永磁體不等寬、轉(zhuǎn)子磁橋等各個(gè)部位的漏磁、三維效應(yīng)等因素的影響，定、轉(zhuǎn)子鐵心磁阻對(duì)氣隙磁通密度的影響也計(jì)入KB中。

考慮到磁路法的精度有限，式（1）和式（2）并不用以計(jì)算氣隙磁通密度，而用于說明影響氣隙磁通密度大小的因素。后續(xù)推導(dǎo)的磁通密度表達(dá)式同樣如此。氣隙磁通密度的精確計(jì)算則采用三維有限元法，如圖1中的三維模型所示。并且模型中每片硅鋼片單獨(dú)作為一個(gè)零件進(jìn)行刻畫，而不是把整個(gè)鐵心作為一個(gè)均質(zhì)的整體。網(wǎng)格剖分時(shí)，每片硅鋼片在厚度方向分兩層，每個(gè)氣隙（包括下文考慮的二次氣隙）在長(zhǎng)度方向分成2～3層，因此網(wǎng)格剖分足夠精細(xì)。鐵心由40片0.5mm厚的硅鋼片疊裝而成，即疊厚20mm；釹鐵硼永磁體高度（Z軸方向）與鐵心疊厚一致，寬度（Y軸方向）7mm，沿X軸方向充磁且厚度Lpm為3mm，剩磁通Br為1.37T，相對(duì)磁導(dǎo)率為1.014；硅鋼片中永磁體槽的寬度（Y軸方向）為9mm，磁橋?qū)挾?.5mm；氣隙長(zhǎng)度（X軸方向）Lg為0.8mm。圖1仿真點(diǎn)處的氣隙磁通密度波形如圖3所示。忽略端部效應(yīng)，即不考慮模型頂部和底部各3片硅鋼片面對(duì)的氣隙磁通密度，可見由于硅鋼片疊裝整齊，因此氣隙磁通密度均勻，其值為427mT（稱為理想磁通密度值）。

圖3 理想電機(jī)的氣隙磁通密度Fig.3 Air gap field of ideal motor

2 考慮尺寸公差但假定硅鋼片疊裝整齊

為簡(jiǎn)化模型，假定兩塊永磁體實(shí)際厚度均為L(zhǎng)pm+Lσ1，硅鋼片上永磁體槽的實(shí)際厚度均為L(zhǎng)pm+Lσ2，由于是間隙配合，Lσ2＞Lσ1。假定永磁體與轉(zhuǎn)子鐵心之間的二次氣隙均勻分布在每塊永磁體的兩側(cè)，即每個(gè)二次氣隙長(zhǎng)度為(Lσ2?Lσ1)/2，其磁阻為Rσ，則主磁路的磁阻模型如圖 4所示。二 次 氣 隙(Lσ2?Lσ1)/2遠(yuǎn) 小 于 主 氣 隙Lg， 所 以Rσ?Rg。

圖4 轉(zhuǎn)子鐵心疊裝整齊的實(shí)際電機(jī)主磁路Fig.4 Main magnetic circuit in real motor with evenly stacked rotor core

主磁路各部分的磁阻為

則氣隙磁通密度為

雖然并不用式（4）直接計(jì)算氣隙磁通密度，但是對(duì)比式（4）和式（2）可以看出間隙配合的二次氣隙所造成的影響。由于永磁體的公差Lσ1相對(duì)其厚度Lpm較小，而Lσ2?Lσ1相對(duì)氣隙長(zhǎng)度Lg較大，因此間隙配合往往會(huì)減小氣隙磁通密度，特別是當(dāng)永磁體厚度為負(fù)公差（即Lσ1為負(fù)值）時(shí)，氣隙磁通密度必定減小。

在不同加工條件下，公差配合有不同要求。一般來(lái)說，永磁體的公差帶為-0.05～+0.05mm；采用高速?zèng)_床沖制硅鋼片時(shí)，永磁體槽的公差帶一般為+0.05～+0.1mm，而采用普通沖床時(shí)為+0.15～+0.2mm。假定兩種沖制工藝下都能把硅鋼片疊裝得完全整齊。分別對(duì)公差配合的極端情況進(jìn)行三維有限元仿真，所得氣隙磁通密度波形與圖3類似，忽略端部效應(yīng)后氣隙磁通密度依然均勻，其值為σ：①Lσ1=-0.05mm，Lσ2=+0.1mm，磁通密度為403mT，是理想磁通密度的 94.4%；②Lσ1=+0.05mm，Lσ2=+0.05mm，磁通密度為 430mT，是理想磁通密度的 100.7%；③Lσ1=-0.05mm，Lσ2=+0.2mm，磁通密度為 389mT，是理想磁通密度的 91.1%；④Lσ1=+0.05mm，Lσ2=+0.15mm，磁通密度 413mT，是理想磁通密度的 96.7%。其中，①和②對(duì)應(yīng)高速?zèng)_床工藝。③和④對(duì)應(yīng)普通沖床工藝，假定疊裝整齊，只要加工工藝引入二次氣隙，必定會(huì)減小氣隙磁通密度，這與對(duì)比式（4）和式（2）的定性分析結(jié)果一致，也是以往文獻(xiàn)所報(bào)道過的[1-7]。

3 考慮間隙配合且轉(zhuǎn)子硅鋼片疊裝錯(cuò)位

采用普通沖床加工硅鋼片并手工疊裝鐵心時(shí)，配合間隙設(shè)計(jì)得較大，而且沖片疊裝欠整齊。為專注于分析永磁體與轉(zhuǎn)子硅鋼片間隙配合的影響，這里假定定子鐵心疊裝整齊，僅轉(zhuǎn)子硅鋼片沿永磁體充磁方向（即圖1中X軸方向）疊裝錯(cuò)位，則主磁路各部分的磁阻如圖5所示。與圖4相比，圖5中增加了六個(gè)錯(cuò)位區(qū)域，如相鄰虛線之間的狹小空間所示。假設(shè)硅鋼片隨機(jī)錯(cuò)位范圍為±ΔL，則每個(gè)錯(cuò)位區(qū)域的磁路長(zhǎng)度（即相鄰虛線之間的距離）為2ΔL。另一方面，每個(gè)氣隙和二次氣隙的長(zhǎng)度均減小了ΔL；轉(zhuǎn)子鐵心的軛部（磁阻的下標(biāo)為r1）和每個(gè)極靴（磁阻下標(biāo)r2）的長(zhǎng)度均減小了2ΔL。

錯(cuò)位區(qū)域的等效磁導(dǎo)率用μmix表示，顯然，其值在0μ和μcore之間，則主磁路各部分的磁阻為

圖5 轉(zhuǎn)子鐵心沿永磁體充磁方向疊裝錯(cuò)位的實(shí)際電機(jī)主磁路Fig.5 Main magnetic circuit in real motor with rotor core misalignment in magnetization direction of magnets

則得氣隙磁通密度為

對(duì)比式（6）和式（4）可知，在μmix＞2μ0前提下，μmix越大、沖片疊裝錯(cuò)位范圍ΔL越大，都越有利于彌補(bǔ)間隙配合造成的氣隙磁通密度削弱部分。

建立三維有限元仿真模型，用隨機(jī)函數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子每片硅鋼片在±ΔL范圍內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)錯(cuò)位。所得仿真點(diǎn)處的氣隙磁通密度波形如圖6所示。對(duì)比圖6和圖 3，可以清楚地看到硅鋼片的細(xì)微錯(cuò)位在三維有限元模型中得到了充分的反映，使得氣隙磁通密度不再均勻，而是出現(xiàn)了隨機(jī)波動(dòng)。

圖6 轉(zhuǎn)子鐵心沿永磁體充磁方向疊裝錯(cuò)位的實(shí)際電機(jī)的氣隙磁通密度Fig.6 Airgap field of real motor with rotor core misalignment in magnetization direction of magnets

針對(duì)普通沖床沖制的硅鋼片，分別檢驗(yàn)不同的錯(cuò)位范圍±ΔL。對(duì)每種錯(cuò)位范圍都進(jìn)行多次隨機(jī)錯(cuò)位和有限元仿真，并忽略端部效應(yīng)后求取氣隙磁通密度平均值，則得：⑤針對(duì)前述條件③，硅鋼片錯(cuò)位范圍±ΔL為±0.06mm，磁通密度為394mT，是理想磁通密度的 92.3%；⑥針對(duì)前述條件③，硅鋼片錯(cuò)位范圍±ΔL為±0.125mm，磁通密度為405mT，是理想磁通密度的 94.8%；⑦針對(duì)前述條件④，硅鋼片錯(cuò)位范圍±ΔL為±0.05mm，磁通密度為418mT，是理想磁通密度的97.9%。

對(duì)比⑤、⑥和③以及⑦和④，可以證明硅鋼片疊裝錯(cuò)位確實(shí)可以提升氣隙磁通密度的大小，且錯(cuò)位范圍越大則越有效。這與式（6）和式（4）的對(duì)比分析結(jié)果一致。

進(jìn)一步，通過試湊法，利用三維有限元模型，推導(dǎo)了錯(cuò)位區(qū)域的等效相對(duì)磁導(dǎo)率μmix/μ0，分別為2.21、2.45、2.22，均滿足μmix＞ 2μ0的條件，因此，定性地講，有限元仿真與理論分析是一致的。

4 結(jié)論

眾多文獻(xiàn)已經(jīng)報(bào)道，內(nèi)置式永磁電機(jī)中永磁體與轉(zhuǎn)子硅鋼片之間的間隙配合會(huì)導(dǎo)致氣隙磁通密度下降。本文通過磁路分析與三維有限元計(jì)算，證明了轉(zhuǎn)子硅鋼片沿永磁體充磁方向的疊裝錯(cuò)位可以彌補(bǔ)間隙配合造成的氣隙磁通密度下降。因此，采用高端裝備提高加工精度固然是改善電機(jī)性能的基本要求；但是，在設(shè)備精度受限的情況下，在確定永磁體與轉(zhuǎn)子硅鋼片的間隙配合公差帶之后，硅鋼片疊裝的不齊整性反而是有利的。本文的分析結(jié)果可以為內(nèi)置式永磁電機(jī)以及具有類似轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的同步磁阻電機(jī)的形位公差設(shè)計(jì)及工藝要求提供參考。