容健榮

（廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣西桂林541004）

0 引言

移動平均模型是自回歸移動平均模型的一個特例,而自回歸移動平均模型是時間序列分析的一個重要模型。研究移動平均模型可為日后自回歸移動平均模型的研究帶來一定的借鑒。

經(jīng)驗似然方法是由Owen 在文獻[1]中提出的一種非參數(shù)推斷方法。由于它擁有類似于重抽樣方法的優(yōu)點,吸引了一大批學(xué)者投身于經(jīng)驗似然方法的研究。Li 等人在文獻[2]中利用了經(jīng)驗似然方法對移動平均模型進行研究。但是經(jīng)驗似然方法在求解過程中會出現(xiàn)沒有顯式解的情況，而且計算比較復(fù)雜。為了應(yīng)對這些問題,Ow?en 在文獻[3]中提及了使用經(jīng)驗歐氏似然來替代經(jīng)驗似然。羅旭在文獻[4]中系統(tǒng)地研究了經(jīng)驗歐氏似然,發(fā)現(xiàn)了經(jīng)驗歐氏似然方法使得在一些場合下,其解擁有顯式表達式,由此降低了計算上的復(fù)雜性,而且經(jīng)驗歐氏似然方法也同樣擁有類似于經(jīng)驗似然方法的漸近性質(zhì)?；诖?，本文通過經(jīng)驗歐氏似然方法來研究移動平均模型。

1 主要結(jié)果和證明

考慮下面的移動平均模型：

其中q是模型的階數(shù),而且q是一個正整數(shù),β1,…,βq是模型的參數(shù)。{?t}是一個獨立同分布并且具有非退化密度函數(shù)的序列,它們的均值為0,方差為σ2。令yn=(x1,…,xn)′,其中{xt}是來自模型(1)的觀測值。記β0=1,β=(β1,…,βq)′,θ=(β′,σ2)′=(θ1,…,θq+1)′。 能 夠 計 算 出E(yn) =0,Σn=Cov(yn) =(Cov(xi,xj))n×n,其中

yn的擬對數(shù)似然函數(shù)(省略常數(shù)項)

對似然函數(shù)求偏導(dǎo)可得

令上述偏導(dǎo)數(shù)等于0, 我們獲得以下估計方程：

令?(n)=(?1-q,?2-q,…,?n)′,β(i)=(0,…,0,βq,…,β0,0,…,0)′,其中βq是β(i)的第i部分。則xi=,1≤i≤n,可得

我們用bki,j表示矩陣Bk,n的(i,j)元素。并且規(guī)定，當求和的上標小于1 時，我們令該和為0。為了處理(3)式中的二次型形式，需要引入文獻[5]中介紹的鞅差序列。

定義σ-域:F0={φ,Ω},Fi=σ(?1-q,?2-q,…,?i),1-q≤i≤n。令

則Fi-1?Fi,eik,n是Fi-可測的，并且E(eik,n|Fi-1)=0。因此{eik,n,Fi,1-q≤i≤n}構(gòu)成一個鞅差序列，且

令

通過ωi(θ),我們提出θ的經(jīng)驗歐氏似然比統(tǒng)計量

其中pi滿足

在本文中，記μ4=E?4t。用Vec(diag(A))表示由矩陣A的主對角線上的元素構(gòu)成的列向量。令ΣSn=2σ4C1+(μ4-3σ4)C2, 其 中C1=(C1i,j),C1i,j=tr(Bin Bjn), 和C2=(C2i,j),C2i,j=(Vec(diag(Bin)))′×(Vec(diag(Bjn)))。為了獲得經(jīng)驗歐氏似然比統(tǒng)計量的漸近分布，需要給出以下假設(shè)條件：

(A1){?i,1-q≤i≤n}是均值為0,方差有限的獨立同分布隨機變量序列,且存在δ＞0,使E|?i|4+δ＜∞。

(A3)存在常數(shù)c＞0 使ηmin((n+q)-1ΣSn) ≥c,其中ηmin(A)表示矩陣A的最小特征值。

(A4)移動平均模型的移動平均系數(shù)多項式方程的根在單位圓外。

引理1在(A1)～(A3)假設(shè)條件下，當n→∞時,有

見文獻[2]的引理3。

定理1在(A1)～(A3)假設(shè)條件下，當n→∞時,有

其中表示自由度為q+1 的卡方分布。

證明：利用拉格朗日乘數(shù)法給出ln(θ)的表達式,為此取

其中γ∈R,λ∈Rq+1是拉格朗日乘數(shù)。對(6)式求關(guān)于pi的偏導(dǎo)數(shù)并令為零,即?G/?pi=0,得

在(7)式兩邊對i從1-q到n求和,得

上式化簡可得

由(8)～(10),得

由引理1, 得

由此完成了定理1 的證明。