（蘭州理工大學(xué)電氣工程與信息工程學(xué)院 蘭州 730050）

1 引言

目標(biāo)跟蹤是指基于噪聲傳感器量測連續(xù)確定動態(tài)目標(biāo)狀態(tài)的過程。大多數(shù)目標(biāo)跟蹤算法是基于點(diǎn)目標(biāo)模型的，即目標(biāo)在每個(gè)采樣周期內(nèi)最多只生成一個(gè)量測值，這就導(dǎo)致對目標(biāo)的狀態(tài)識別較為單一，僅能依據(jù)單一量測信息對目標(biāo)的運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)行識別。然而，隨著高分辨率傳感器在目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，每個(gè)目標(biāo)在每個(gè)每個(gè)采樣周期將對應(yīng)多個(gè)傳感器量測值，稱這樣的目標(biāo)為擴(kuò)展目標(biāo)（Extended Target，ET）。近幾年來，擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤（ET Tracking，ETT）［1～2］問題引起了學(xué)者們的極大關(guān)注。通過充分利用ET的多個(gè)量測信息可以對其進(jìn)行更為深入的跟蹤識別，即在實(shí)時(shí)跟蹤目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)信息的同時(shí)對目標(biāo)的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)信息也進(jìn)行一定程度的識別。

眾所周知，目標(biāo)的形狀（輪廓）信息是擴(kuò)展目標(biāo)最為典型也最為重要的特征之一。因此，實(shí)現(xiàn)對擴(kuò)展目標(biāo)形狀的精確估計(jì)是提高擴(kuò)展目標(biāo)識別的關(guān)鍵所在。而完成擴(kuò)展目標(biāo)形狀的準(zhǔn)確建模是實(shí)現(xiàn)形狀精確估計(jì)的前提。近些年來，對擴(kuò)展目標(biāo)形狀估計(jì)的研究已經(jīng)取得了一定的成果［3～5］，提出了各種擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤算法。這些算法中絕大多數(shù)是基于擴(kuò)展目標(biāo)的形狀參數(shù)化建模，而隨機(jī)矩陣模型（Random Matrix Model，RMM）［6～8］是其最為典型的參數(shù)化建模方法之一。RMM在利用橢圓近似參數(shù)化表示擴(kuò)展目標(biāo)形狀特征的基礎(chǔ)上，利用高斯逆Wishart分布來描述目標(biāo)的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)密度。但是，僅僅利用橢圓近似描述擴(kuò)展目標(biāo)的形狀較為粗略，這就導(dǎo)致不能準(zhǔn)確估計(jì)出擴(kuò)展目標(biāo)的局部復(fù)雜輪廓特征。而Baum提出擴(kuò)展目標(biāo)量測源的近似非參數(shù)隨機(jī)超曲面模型（Random Hypersurface Model，RHM）［9～12］較好地彌補(bǔ)了RMM的缺陷，RHM非參數(shù)模型的核心思想是利用星凸參數(shù)曲面估計(jì)擴(kuò)展目標(biāo)的形狀。具體而言，RHM是在利用徑向函數(shù)描述星凸形擴(kuò)展目標(biāo)形狀的基礎(chǔ)上，對徑向函數(shù)進(jìn)行有限階的傅里葉級數(shù)展開，通過展開的系數(shù)完成擴(kuò)展目標(biāo)形狀參數(shù)化建模，再結(jié)合尺度因子縮放擴(kuò)展目標(biāo)的輪廓完成對其表面量測源的建模。在這種方式建模下，選取的傅里葉級數(shù)的階數(shù)越高也就意味著對擴(kuò)展目標(biāo)的形狀估計(jì)越精確。但是，這種建模方式下擴(kuò)展目標(biāo)量測源的方程具有較強(qiáng)的非線性。因此，本文利用Arasaratnam提出的具有高濾波精度和數(shù)值穩(wěn)定性的容積卡爾曼濾波（Cubature Kalman Filter，CKF）［13～14］算法對擴(kuò)展目標(biāo) RHM 的非線性偽量測方程的高斯加權(quán)積分進(jìn)行近似，進(jìn)而完成對不規(guī)則形狀擴(kuò)展目標(biāo)的跟蹤估計(jì)。

本文針對不規(guī)則形狀星凸形擴(kuò)展目標(biāo)的跟蹤問題。首先利用RHM對星凸形擴(kuò)展目標(biāo)的形狀進(jìn)行建模。然后詳細(xì)推導(dǎo)了基于RHM的CKF擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤算法。此外，文中分別利用均方根誤差和擬Jaccard距離［15］對擴(kuò)展目標(biāo)的運(yùn)動參數(shù)估計(jì)和形狀估計(jì)進(jìn)行評測。最后，通過構(gòu)造多種具有不同形狀的星凸形擴(kuò)展目標(biāo)的跟蹤實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文跟蹤算法的有效性。

2 隨機(jī)超曲面模型星凸形擴(kuò)展目標(biāo)建模

本文研究的擴(kuò)展目標(biāo)類型為星凸形擴(kuò)展目標(biāo)，這種類型的目標(biāo)輪廓可以完全通過徑向函數(shù)描述。首先，星凸形可以定義為：如果一個(gè)形狀參數(shù)向量為的擴(kuò)展目標(biāo)S(ek)中至少存在一個(gè)點(diǎn)，以至目標(biāo)中其他點(diǎn)與連接的線段完全屬于該目標(biāo)，則稱這樣的擴(kuò)展目標(biāo)為星凸形擴(kuò)展目標(biāo)，其中目標(biāo)參數(shù)向量為。

下面是利用RHM對擴(kuò)展目標(biāo)的形狀建模過程：

3 RHM擴(kuò)展目標(biāo)容積卡爾曼濾波跟蹤算法

RHM擴(kuò)展目標(biāo)容積卡爾曼濾波跟蹤算法由預(yù)測步與量測更新步構(gòu)成。首先，給出該算法的預(yù)測步，其預(yù)測步與傳統(tǒng)的高斯濾波算法的預(yù)測步一樣。

1）預(yù)測步

2）更新步

RHM擴(kuò)展目標(biāo)容積卡爾曼濾波跟蹤算法量測更新步的核心是結(jié)合k時(shí)刻擴(kuò)展目標(biāo)的所有量測信息以及基于RHM建立的擴(kuò)展目標(biāo)的量測源模型完成對擴(kuò)展目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)和形狀的估計(jì)。具體流程如下。

首先，計(jì)算基本容積點(diǎn)ξi以及相應(yīng)的權(quán)值wi，即

根據(jù)三階容積規(guī)則可知容積點(diǎn)總數(shù)nc為擴(kuò)展目標(biāo)狀態(tài)維數(shù)nx的2倍，即nc=2nx。完全對稱點(diǎn)集[1]可通過對單位向量e=[1，0，…，0]T的元素進(jìn)行全排列和改變元素符號的方式得到，其中單位向量e的維數(shù)與nx相等，[1]i表示完全對稱點(diǎn)集[1]的第i個(gè)點(diǎn)。另外，由k時(shí)刻預(yù)測的擴(kuò)展目標(biāo)狀態(tài)向量xk|k-1和協(xié)方差矩陣Pk|k-1根據(jù)下式計(jì)算容積點(diǎn)，即

最后，計(jì)算增益矩陣并結(jié)合偽量測0更新擴(kuò)展目標(biāo)的狀態(tài)向量和協(xié)方差矩陣

4 擴(kuò)展目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)性能評價(jià)

不規(guī)則形狀星凸形擴(kuò)展目標(biāo)的狀態(tài)由運(yùn)動狀態(tài)與形狀兩部分構(gòu)成。為了全面評估文中所提算法對擴(kuò)展目標(biāo)的跟蹤性能。文中利用RMSE對目標(biāo)質(zhì)心位置估計(jì)進(jìn)行評測，同時(shí)利用文獻(xiàn)［15］提出的擬Jaccard距離對擴(kuò)展目標(biāo)的形狀跟蹤性能進(jìn)行評價(jià)。

擴(kuò)展目標(biāo)質(zhì)心位置評測指標(biāo)RMSE的定義為：如果k時(shí)刻的擴(kuò)展目標(biāo)真實(shí)位置向量為mk，利用本文跟蹤算法估計(jì)的位置為，那么RMSE的計(jì)算公式如下所示：

由擬Jaccard的計(jì)算公式可知，Jk的值越小，對擴(kuò)展目標(biāo)的形狀估計(jì)越精確。

5 仿真實(shí)驗(yàn)

本文構(gòu)造3種不同形狀且做CV運(yùn)動（勻速直線運(yùn)動）的星凸形擴(kuò)展目標(biāo)進(jìn)行跟蹤仿真實(shí)驗(yàn)。仿真場景設(shè)定擴(kuò)展目標(biāo)的運(yùn)動區(qū)域?yàn)閇0 ， 1000] m×[0 ，1000] m，擴(kuò)展目標(biāo)隨時(shí)間的狀態(tài)演化服從線性高斯模型。采樣周期T=1s，采樣50個(gè)時(shí)刻，擴(kuò)展目標(biāo)的形狀參數(shù)的階數(shù)nf=11。過程噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σw為0.03，量測噪聲是協(xié)方差矩陣為R=diag(0.32，0.32)的高斯白噪聲，尺度因子s～N( )2/3，1/18 。擴(kuò)展目標(biāo)在每個(gè)采樣周期內(nèi)產(chǎn)生的量測數(shù)服從均值λ=50的泊松分布。

場景1：設(shè)置目標(biāo)的形狀為十字架形，初始形狀是半徑為3的圓，初始狀態(tài)服從均值和方差分別為

的高斯分布。在上述仿真場景下，利用RHM擴(kuò)展目標(biāo)容積卡爾曼濾波跟蹤算法對擴(kuò)展目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，跟蹤結(jié)果如圖1所示。

圖1 十字架形擴(kuò)展目標(biāo)的跟蹤效果圖

由圖1十字架形擴(kuò)展目標(biāo)的整體跟蹤效果以及形狀的局部放大圖可知，文中所提的RHM擴(kuò)展目標(biāo)容積卡爾曼濾波跟蹤算法能夠同時(shí)實(shí)現(xiàn)對十字架形擴(kuò)展目標(biāo)質(zhì)心和形狀的精確估計(jì)。進(jìn)一步，由圖2給出的RMSE與評測形狀估計(jì)效果的擬Jaccard距離的時(shí)間統(tǒng)計(jì)值看出，文中算法對十字架形擴(kuò)展目標(biāo)能夠進(jìn)行準(zhǔn)確的定位，與此同時(shí)，隨著量測信息的累積，對擴(kuò)展目標(biāo)的形狀也能實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的估計(jì)。

圖2 十字架形擴(kuò)展目標(biāo)RMSE與擬Jaccard距離

為了驗(yàn)證文中所提出的RHM擴(kuò)展目標(biāo)容積卡爾曼濾波跟蹤算法的有效性和普適性，在上述仿真的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步設(shè)定場景2與場景3進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

場景2：設(shè)定目標(biāo)的真實(shí)形狀為做CV運(yùn)動的五角星，初始形狀設(shè)置為半徑為6的圓形，其他參數(shù)與場景1相同。仿真結(jié)果如下所示。

由圖3和圖4五角星形擴(kuò)展目標(biāo)的跟蹤效果可得，當(dāng)改變擴(kuò)展目標(biāo)的形狀時(shí)，RHM擴(kuò)展目標(biāo)容積卡爾曼濾波跟蹤算法也能夠依據(jù)擴(kuò)展目標(biāo)的量測信息對擴(kuò)展目標(biāo)的位置和形狀進(jìn)行準(zhǔn)確的估計(jì)。

圖3 五角星形擴(kuò)展目標(biāo)的跟蹤效果圖

圖4 五角星形擴(kuò)展目標(biāo)RMSE與擬Jaccard距離

場景3：設(shè)定擴(kuò)展目標(biāo)的真實(shí)形狀為正方形，目標(biāo)的初始形狀為半徑為4的圓形，同時(shí)改變目標(biāo)的運(yùn)動參數(shù)，即，其他參數(shù)與場景1和場景2相同。

由圖5與圖6正方形擴(kuò)展目標(biāo)的跟蹤效果圖可知，當(dāng)改變擴(kuò)展目標(biāo)的運(yùn)動速度和形狀時(shí)，并不能影響文中提出的RHM擴(kuò)展目標(biāo)容積卡爾曼濾波跟蹤算法的跟蹤性能。

圖5 正方形擴(kuò)展目標(biāo)的跟蹤效果圖

圖6 正方形擴(kuò)展目標(biāo)RMSE與擬Jaccard距離

6 結(jié)語

本文針對不規(guī)則形狀星凸形擴(kuò)展目標(biāo)的跟蹤問題，首先利用RHM對擴(kuò)展目標(biāo)的量測源進(jìn)行建模，其次利用徑向函數(shù)對擴(kuò)展目標(biāo)的形狀進(jìn)行參數(shù)化表示。然后詳細(xì)推導(dǎo)了基于RHM的容積卡爾曼擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤算法。最后，構(gòu)造多種形狀的星凸形擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤仿真，驗(yàn)證了本文所提算法的有效性。