劉玉忠, 宋宇寧

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

切換系統(tǒng)是由一系列連續(xù)時(shí)間的子系統(tǒng)和一個(gè)控制子系統(tǒng)之間切換的規(guī)則組成的混合動(dòng)態(tài)系統(tǒng),在控制領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1]。各種實(shí)際系統(tǒng)經(jīng)常會(huì)遇到時(shí)滯現(xiàn)象,如化工系統(tǒng)、艾滋病流行、飛行器穩(wěn)定、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。在數(shù)學(xué)模型中,系統(tǒng)的不確定性、時(shí)滯等是經(jīng)常會(huì)遇到的問題,其也是導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定和性能差的原因。近年來,帶有不確定性的時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題備受重視[2-7]。

然而在許多實(shí)際系統(tǒng)中,系統(tǒng)的狀態(tài)不能直接測量時(shí),狀態(tài)反饋控制器就無法保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性,這時(shí)就需要觀測器來估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)而對系統(tǒng)進(jìn)行控制?；谟^測器的狀態(tài)反饋控制器常被用來穩(wěn)定系統(tǒng)或改善系統(tǒng)的性能。在H∞這一概念提出之后,基于狀態(tài)觀測器的時(shí)滯系統(tǒng)H∞控制問題得到廣泛關(guān)注[8-11]。

1 問題的描述

考慮如下含有不確定性的一類時(shí)滯切換系統(tǒng):

(1)

ΔAi(t)=EiΣT(t)Fi、ΔAdi(t)=EdiΔΣT(t)Fdi

其中:Ei,Fi,Edi,Fdi是適維已知常矩陣;Σ(t),ΔΣ(t)為具有不確定參數(shù)的矩陣且滿足ΣT(t)Σ(t)≤I和ΔΣT(t)ΔΣ(t)≤I。

對于不確定時(shí)滯切換系統(tǒng)(1),當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)不能直接獲得時(shí),就需要構(gòu)造適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)觀測器來估測系統(tǒng)的狀態(tài)。本文構(gòu)造如下非脆弱狀態(tài)觀測器:

(2)

(3)

2 主要結(jié)論

定義1 對任意給定常數(shù)γ,帶有不確定性的時(shí)變時(shí)滯切換系統(tǒng)(1)在考慮基于觀測器存在加性攝動(dòng)形式的非脆弱狀態(tài)反饋增益情況下,可以得到非脆弱基于狀態(tài)觀測器的控制器存在形式,且滿足給定常數(shù)γ。運(yùn)用對應(yīng)切換規(guī)則進(jìn)行系統(tǒng)之間的切換,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)(1)是可以鎮(zhèn)定的,如果存在形如(2)式的觀測器和控制器及相應(yīng)的切換規(guī)則σ(t),那么對于給定的性能指標(biāo),閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)滿足以下2個(gè)條件:

1) 當(dāng)外部擾動(dòng)ω(t)=0時(shí),構(gòu)造對應(yīng)切換規(guī)則σ(t),使得系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的;

2) 當(dāng)系統(tǒng)(1)在t=0時(shí)刻的初始狀態(tài)為0時(shí),下述不等式對于所有非零的ω(t)∈L2[0,T], 0≤T<∞成立:

選取2016年5月—2018年5月到我院接受治療的80例結(jié)直腸癌患者，所有患者均接受持續(xù)治療，按隨機(jī)數(shù)字表法將其分為A組和B組。A組收入結(jié)直腸癌患者40例，其中男性患者28例，女性患者為12例；該組患者年齡最小為59歲，最大為72歲，平均年齡為（65.58±5.50）歲。B組收入結(jié)直腸癌患者40例，其中男性患者為25例，女性患者為15例；該組患者年齡最小為60歲，最大為71歲，平均年齡為（65.55±5.51）歲。對比兩組患者的年齡、性別等相關(guān)資料發(fā)現(xiàn)差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，P＞0.05，具有可比性。

‖z‖2≤γ‖ω(t)‖2

引理1 設(shè)x∈q,y∈p,D和E是適維的已知常數(shù)矩陣,如對任意適維矩陣F滿足FTF≤I,則對任意ε>0有

2xTDEy≤εxTDDTx+ε-1yTEETy

成立。

定理對于系統(tǒng)(1)中基于觀測器的狀態(tài)反饋控制器,其中控制器參數(shù)矩陣如下所示:

(4)

對于給定的性能指標(biāo)γ,給定常數(shù)εi>0(i=1,2,…,9),如果對于系統(tǒng)(1)存在對稱正定矩陣Pc∈n×n,P0∈n×n和且的n個(gè)實(shí)數(shù),則有如下矩陣不等式成立:

其中

取切換規(guī)則如下:

(11)

其中

證明 對閉環(huán)系統(tǒng)(3),設(shè)ω(t)≠0為對應(yīng)切換規(guī)則在x(t0)=0上構(gòu)成的切換序列。首先考慮系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定性,令ω(t)=0,構(gòu)造Lyapunov泛函如下:

對V(x)沿著切換系統(tǒng)(3)軌跡的時(shí)間求導(dǎo),并利用引理1和時(shí)滯導(dǎo)數(shù)上限可知式(7)～(10)是定義矩陣M1,M2,Q1,Q2,GGT,經(jīng)整理后變?yōu)槿缦滦问?

使得閉環(huán)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。

其次考慮當(dāng)ω(t)≠0時(shí),在x(t0)=0初始條件下,對于?T>0,構(gòu)造性能指標(biāo)泛函:

所以當(dāng)矩陣Π′<0時(shí),系統(tǒng)(1)在基于狀態(tài)觀測器反饋控制下漸進(jìn)穩(wěn)定且滿足給定性能指標(biāo)γ。若式(13)成立,如下形式的不等式也一定成立。

根據(jù)Schur補(bǔ)引理將上述矩陣不等式轉(zhuǎn)化為等價(jià)于定理中的2個(gè)線性矩陣不等式(5)和式(6),且定理在無擾動(dòng)輸入情況下,Pc仍能滿足,定理得證。

注: 定理中有2個(gè)待求的矩陣變量Pc和P0不能同時(shí)獲得,需要利用迭代求解方法進(jìn)行數(shù)值仿真求解線性矩陣不等式(LMI),方法是先計(jì)算式(5)中Pc的一些可行解,然后將Pc帶入到式(6)中解得P0。

3 結(jié) 論

本文針對一類不確定性的時(shí)變時(shí)滯切換系統(tǒng)基于狀態(tài)觀測器的非脆弱H∞控制問題,利用凸組合技術(shù)和單李雅普諾夫函數(shù)方法構(gòu)造合適的切換規(guī)則,利用不等式引理對求導(dǎo)后的李雅普諾夫泛函中的含不確定性的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和時(shí)滯導(dǎo)數(shù)項(xiàng)進(jìn)行放縮,得到時(shí)滯無關(guān)矩陣不等式且不等式只與時(shí)滯導(dǎo)數(shù)上界有關(guān),利用Schur補(bǔ)引理將得到的矩陣不等式分解為等價(jià)的2個(gè)線性矩陣不等式組,同時(shí)得到不確定時(shí)變時(shí)滯切換系統(tǒng)(1)滿足非脆弱H∞控制的充分條件和基于觀測器的非脆弱控制器的具體形式,并通過實(shí)例進(jìn)行數(shù)值仿真,驗(yàn)證了定理的實(shí)用性和有效性。得到的非脆弱H∞控制器針對本文的系統(tǒng)定理有效。